IV. EL "LIBRO ESCOC�S"

EN LA matem�tica, como en cualquier otro arte, existen corrientes, influencias y misteriosas afinidades. Mi vida como matem�tico ha estado ligada sin que yo as� lo hubiera decidido, a la escuela polaca de matem�ticas y al maravilloso y m�gico mundo que rodea, no a ese libro, sino a ese mito que es el "Libro escoc�s". No recuerdo qui�n me habl� o d�nde o� hablar por primera vez del "Libro escoc�s" . S�lo recuerdo haber quedado hechizado por la noticia de la existencia de un cuaderno de problemas de matem�ticas escrito en un caf� o en un bar polaco por unos, m�s que matem�ticos, bohemios. Recuerdo haber o�do que el cuaderno fue enterrado en un campo de futbol durante la segunda Guerra Mundial y recuperado misteriosamente al t�rmino de �sta, sin que en ese momento se supiera bien a bien d�nde estaba y qu� tipo de problemas conten�a. Me imaginaba, no a Banach, a Ulam o a Steinhaus, sino a nuestros bohemios: D�az Mir�n, Guti�rrez N�jera, Acu�a, y en el colmo del delirio, a m� mismo, pasar los d�as en un bar, platicando de poes�as, mujeres y matem�ticas, por el solo gusto de derrocharse la vida por ellas, pensando en ellas. Ten�a noticias tambi�n de que los autores ofrec�an botellas de cognac, de whisky, o un simple caf�, como recompensa a quien resolviera alguno de sus problemas.

Ese era el mito, la realidad no estaba muy lejos.

Dejemos que Ulam, uno de los autores del "Libro escoc�s", nos la relate: Para aquellos que no lo sepan, empezar� diciendo que el as� llamado "Libro escoc�s" (Scottish Book) es una colecci�n informal de problemas en matem�ticas. Empez� a escribirse en Lvov, Polonia —mi ciudad natal— en 1935; c�mo y por qu�, ser� explicado a su debido tiempo. La mayor�a de los problemas fueron propuestos por un peque�o grupo de matem�ticos de la localidad, entre los que me encontraba yo. De hecho, muchos de los primeros problemas se originaron antes de 1935 —quiz� seis o siete a�os antes— durante el periodo en el que a�n era yo estudiante. Como principiante, asist�a regularmente a todos los seminarios y conferencias en el campo de mi inter�s, y me hice amigo de varios de los viejos matem�ticos ya establecidos. Fue entonces cuando me permitieron tomar parte en las discusiones informales —generalmente discut�amos dos o tres al mismo tiempo—, lo que era la manera usual de convivir entre los matem�ticos del Lvov de antes de la segunda Guerra. Por muchos a�os, yo fui invariablemente el m�s joven de ese grupo; al final apareci� Mark Kac y tuve que cederle el privilegio de haber sido el m�s joven durante cinco a�os. La historia del "Libro escoc�s" podr�a tambi�n ser llamada "La rivalidad entre dos caf�s", el Caf� Roma y el de al lado, el Caf� Szkocka, o Caf� Escoc�s. Estos dos establecimientos est�n situados en una peque�a placita a unos 50 o 100 metros de la Universidad de Lvov. No hace mucho, mi amigo Mazur —uno de los autores m�s prol�ficos representados en el "Libro escoces"— me envi� una postal en la que aparecen estos dos caf�s tal y como estaban a principios de los a�os setenta (quiz� est�n a�n ah�). Hasta donde pude ver, nada ha cambiado desde aquellos d�as antes de la segunda Guerra Mundial. Para nuestra historia, el Caf� Roma fue, en un principio, el m�s importante de estos dos caf�s. Fue ah� en donde los matem�ticos empezaron a reunirse despu�s de las reuniones semanales de nuestra secci�n de la Sociedad Matem�tica Polaca. Estas reuniones ten�an lugar com�nmente los s�bados en un sal�n de seminarios de la Universidad —y por lo tanto cercano a los caf�s—. Pod�an ser en la tarde o en la ma�ana. Usualmente el programa consist�a en pl�ticas que duraban cuatro o cinco minutos; las pl�ticas de media hora eran poco comunes y, afortunadamente, las pl�ticas de una hora eran muy raras. Por supuesto hab�a cierta discusi�n en el sal�n de seminarios, pero la discusi�n realmente fruct�fera se daba en el Caf� Roma despu�s de que la reuni�n se acababa oficialmente.

Figura IV. 1 El Caf� Escoc�s a principio de los a�os setenta.


Entre los matem�ticos ya formados que frecuentaban el Caf� Roma, el m�s prominente era sin lugar a dudas Banach. Los otros profesores titulares o asistentes eran Stozek, Ruziewick, y Lomnicki. Adem�s asist�an algunos ayudantes j�venes y uno que otro estudiante como yo. Kuratowski, que era profesor en el Instituto Polit�cnico, y Steinhaus, que estaba en la Universidad, prefer�an ir a un caf� m�s elegante. Pero Banach, Mazur y algunos visitantes como Sierpinski, eran clientes del Caf� Roma. Ah� nos sent�bamos a discutir matem�ticas, chiquiteando una taza de caf� o de t�, durante tres o cuatro horas —algo que a�n puede hacerse en algunos caf�s de Par�s. Adem�s de matem�ticas, hab�a ajedrez. Auerbach era un jugador muy fuerte. Frecuentemente jugaba una o dos partidas con Stozek o Nikliborc mientras Banach miraba y por supuesto met�a su cuchara. Pero adem�s de todo esto, los matem�ticos continu�bamos con la discusi�n que hab�amos empezado m�s temprano en la reuni�n de la Sociedad Matem�tica. La atm�sfera que se viv�a, especialmente en Lvov, era de una colaboraci�n entusiasta; la gente estaba realmente interesada en los problemas de los otros. Esto tambi�n era cierto en Varsovia, en donde hab�a much�sima colaboraci�n entre top�logos, aqu�llos que hac�an teor�a de conjuntos, y l�gicos. En Lvov, el inter�s no s�lo estaba en la teor�a de conjuntos sino, debido a la influencia de Steinhaus y Banach, tambi�n en el an�lisis funcional y algunos otros campos. Fue Steinhaus quien descubri� a Banach; de hecho, sol�a decir que fue su descubrimiento m�s grande. Steinhaus cuando joven, fue profesor en Cracovia, una ciudad que se encuentra a 300 kil�metros al oeste de Lvov. Una ma�ana, mientras caminaba por un parque, oy� discutir a dos j�venes, que se encontraban sentados en una banca, acerca de la integral de Lebesgue. La integral de Lebesgue era en ese entonces una teor�a muy novedosa (esto suced�a en 1917). Steinhaus estaba tan intrigado que comenz� a platicar con los dos j�venes, uno de los cuales era Banach. Qued� muy impresionado y desde entonces apoy� y aconsej� a Banach para que continuara con sus estudios. Banach, por otro lado, era una persona muy exc�ntrica en sus h�bitos y en su vida personal. Jam�s present� un examen, pues los odiaba intensamente. Pero escribi� tantos art�culos originales y propuso tantas nuevas ideas, que a�os m�s tarde fue premiado con el grado de doctor sin haber pasado por ninguno de los ex�menes regulares. Todo esto suced�a a finales de la primera Guerra Mundial, alrededor de 1919.

Figura IV.2 Del "Libro escoc�s" original, manuscrito de Banach.


Pero para volver a la escuela polaca de matem�ticas, a los caf�s y al "Libro escoc�s" debo se�alar que las �reas tratadas por nosotros formaban parte de algo muy novedoso. La teor�a de conjuntos era todav�a muy nueva y la topolog�a de conjuntos m�s a�n. La teor�a de funciones de variable real y la idea de espacio de funciones fueron, en cierto sentido, descubiertas y desarrolladas en Polonia, espec�ficamente en Lvov. A�n no he explicado c�mo naci� esta colecci�n de problemas. Volvamos entonces al Caf� Roma y a Banach. Él sol�a pasar horas, y aun d�as enteros ah�, especialmente hacia el final del mes, que era cuando la Universidad pagaba. Un d�a se enoj� much�simo, pues ya no le quer�an fiar en el Caf� Roma y decidi� cambiarse al Caf� Escoc�s que se encontraba en la puerta de al lado, a s�lo diez metros del Roma. Stozek y algunos qu�micos y f�sicos continuaron frecuentando el Roma, pero el Caf� Escoc�s se convirti�, desde ese momento, en el lugar de reuni�n de un peque�o grupo de matem�ticos, que inclu�an a Banach, a Mazur, a m�, y ocasionalmente a algunos otros. A esto se debe que muchos de los problemas de esta colecci�n lleven nuestros nombres. Hab�a, por supuesto, visitantes, mi amigo Schreier entre otros, pero los consumidores habituales �ramos nosotros tres. �C�mo naci� el libro? Un d�a Banach decidi� que ya que habl�bamos de tantas cosas, deber�amos escribir las ideas, cuando era posible, para que no se nos olvidaran. Trajo un cuaderno muy largo y muy bien empastado en el que empezamos a escribir los problemas. El primero de ellos tiene la fecha del 17 de julio de 1935. Esto sucedi� cuando yo todav�a viv�a en Polonia. El cuaderno era guardado en el Caf� Escoc�s por un mesero que conoc�a el ritual —cuando Banach o Mazur llegaban, bastaba con que dijeran "el libro, por favor", para que el mesero lo trajera inmediatamente junto con unas tazas de caf�. Los a�os pasaron, hubo m�s y m�s problemas propuestos por otros matem�ticos polacos, Borsuk, por ejemplo —un top�logo amigo m�o de Varsovia— y muchos otros. El "Libro" creci� y lleg� a ser una colecci�n de unos 190 problemas, de los cuales ahora, cerca de cincuenta a�os m�s tarde, tres cuartas partes han sido resueltos. Algunos de los problemas fueron propuestos sin que se hubiera pensado mucho desde antes en ellos; pocos fueron resueltos inmediatamente. Todo esto est� anotado en el libro. El documento permaneci� en Polonia. En mi �ltimo viaje a Polonia antes de la guerra, en el verano de 1939, Mazur, m�s realista que yo acerca de la situaci�n del mundo, me dijo que cre�a que una gran guerra era inminente. Dijo que nuestros resultados acerca de grupos numerables, entre otros, algunos de los cuales no estaban publicados para entonces, no deber�an de perderse. Entonces propuso que cuando viniera la guerra pondr�a el libro en una peque�a caja y lo enterrar�a donde pudiera ser encontrado m�s tarde, cerca de la porter�a de un campo de futbol. Nunca supe si ésta fue la forma en la que el "Libro escoc�s" fue conservado, pues cuando volv� a ver Mazur en Varsovia hace pocos a�os olvid� preguntarle. De cualquier forma el "Libro escoc�s" sobrevivi� la guerra y Banach lo tuvo a la mano. Cuando Banach muri� en 1945, su hijo Stephan Banach, Jr. (ahora un neurocirujano en Varsovia) lo encontr�, y se lo ense�� a Steinhaus inmediatamente despu�s de la guerra. Steinhaus entonces lo copi� a mano palabra por palabra y en 1956 me envi� esta copia a los Alamos. Yo lo traduje y le saqu� en mime�grafo 300 copias, despu�s envi� por correo esas copias a varias universidades tanto de aqu� como del exterior y se lo envi� tambi�n a varios amigos. Desde entonces, el libro empez� a conocerse en los c�rculos matem�ticos.

Una vez terminado el relato de Ulam (que hemos traducido en sus partes esenciales), diremos que el "Libro escoc�s" consta de exactamente 193 problemas, algunos de ellos resueltos, algunos otros a�n sin resolverse. Los temas que se tocan son muy variados, pero todos ellos tienen como com�n denominador la sencillez y nitidez con la que est�n planteados. Todos ellos fueron escritos en el cuaderno original, en el Caf� Escoc�s, ya sea por el grupo de matem�ticos que lo frecuentaba o por amigos suyos que llegaban de visita. La mayor�a de los problemas est�n planteados por Banach, Ulam, Steinhaus o Mazur, pero existen adem�s nombres tan famosos como: Erdoz, Frechet, Infeld, Kuratowski, Sierpinski, Eilenberg, Lusternik, von Neumann, Knaster, Alexandroff, etc. Aunque Ulam afirma que los primeros problemas datan del a�o de 1928, el primer problema tiene la fecha del 17 de julio de 1935 y el �ltimo la fecha del 31 de mayo de 1941. Muchos de los problemas permanecen a�n sin resolverse y los premios o recompensas que se ofrecen van desde una botella de champagne, una botella de whisky, una botella de vino, una copa de brandy, una cerveza peque�a, una taza de caf�, 100 gramos de caviar, cenas en varios restaurantes, hasta un kilo de tocino o un ganso vivo.

Hablaremos sobre un problema en particular de este libro: el problema n�mero 19, planteado por Ulam:

Si un s�lido de densidad uniforme tiene la propiedad de flotar en equilibrio —sin voltearse— en cualquier posici�n en la que se le deje, �deber� ser �ste necesariamente una esfera? En particular, cuando la densidad es cero: Si un s�lido descansa en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje sobre una superficie plana horizontal, �deber� ser �ste una esfera?

Existe una versi�n bidimensional de este problema —se refiere a figuras y no a s�lidos. En este caso, pensamos en un cilindro de densidad uniforme y suponemos que el cilindro tiene la propiedad de que, mientras su eje permanezca paralelo a la superficie del agua, flota en equilibrio, de acuerdo con la Ley de Arqu�medes, sin voltearse en cualquier posici�n en la que se le deje. �Deber� ser este cilindro un cilindro circular?

En 1938, H. Auerbach —el mismo que era muy buen jugador de ajedrez en el Caf� Roma— estudi� el caso cuando la densidad es un medio. Se dio cuenta de que cuando la secci�n transversal del cilindro es radialmente sim�trica, entonces el cilindro tiene que ser un cilindro circular. Sin embargo, y es lo m�s sorprendente, mostr� que en general el cilindro no necesariamente es circular.

En la figura IV.3 mostramos dos posibles soluciones. En ambas existe un segmento de l�nea que rota dentro de la figura y que, en cada posici�n, corta el �rea y el per�metro a la mitad.

Figura IV.3

En 1921 el matem�tico Zindler encontr� figuras F con la curiosa propiedad de que todas las cuerdas que cortan el �rea de F a la mitad tienen la misma longitud y cortan el per�metro tambi�n a la mitad. Auerbach prob� que son precisamente estas figuras, o curvas de Zindler, aquellas que flotan en equilibrio en cualquier posici�n cuando la densidad es un medio. M�s adelante describiremos un m�todo m�s o menos sencillo para trazar curvas de Zindler.

El problema original —en tres dimensiones— adquiere a la luz de estos ejemplos un aspecto mucho m�s interesante e intrigante —despu�s de los ejemplos de Auerbach no es f�cil decidirse por un s� o por un no como respuesta— y aun despu�s de m�s de cincuenta a�os "nadie sabe la respuesta".

Con respecto al segundo problema —cuando la densidad es cero— vamos a ver en el siguiente cap�tulo que la respuesta es un rotundo s� —tanto en la versi�n bidimensional como en la versi�n original.

Quiz� el caso m�s simple que queda a�n sin responder se refiere a la versi�n bidimensional, cuando la densidad es distinta de cero o un medio, y la secci�n del cilindro es radialmente sim�trica. Es decir, nadie conoce —que yo sepa— la respuesta a la siguiente pregunta:

Si un cilindro con densidad uniforne distinta de cero y un medio, cuya secci�n transversal es radialmente sim�trica, tiene la propiedad de que flota en equilibrio —manteniendo su eje paralelo a la superficie del agua— en cualquier posici�n en la que se le deje, �deber� ser �ste un cilindro circular?