V. EQUILIBRIO EN CUALQUIER POSICI�N
EL PROP�SITO de este cap�tulo es dar una respuesta afirmativa al siguiente problema de Ulam.
| Si un s�lido descansa en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje sobre una superficie plana horizontal, �deber� ser �ste una esfera? |
Empezaremos pensando en la versi�n bidimensional del problema. Para abordarlo necesitamos algunas definiciones, —no muchas— y un criterio de equilibrio.
Para todo s�lido, o para toda figura, existe un punto que se comporta como si toda la masa estuviese concentrada en �l. A este punto lo llamaremos el centro de masas de la figura o del s�lido.
Si y es una figura, K es su centro de masas y L es una l�nea soporte de y, denotamos por LK al punto sobre L que es el pie de la perpendicular a L que pasa por K (ver figura V.1). Si pensamos que L es el piso, entonces LK denota al punto sobre el piso que est� exactamente abajo del centro de masas de y.
Decimos que una figura y est� en equilibrio con respecto a una l�nea soporte L de y si sobre L, tanto a la izquierda de LK (incluyendo a LK como a la derecha de LK (incluyendo a LK podemos encontrar puntos de y. Intuitivamente estos puntos de y, a la izquierda y a la derecha de LK, ser�n los puntos de apoyo de la figura y que permiten que �sta no se voltee ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. El caso extremo en el que LK es el �nico punto en el que se apoya y, la figura est� en equilibrio, pues hemos acordado que LK est� tanto a la derecha como a la izquierda de s� mismo. La siguiente serie de figuras ilustra, de acuerdo con el criterio anterior, cuando una figura est� o no en equilibrio.
Una figura est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje si est� en equilibrio con respecto a cualquiera de sus l�neas soporte.
A continuaci�n demostraremos que si una figura "est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje", es porque la figura es un c�rculo. Recordemos que una interpretaci�n f�sica de este problema se refiere a que el cilindro circular es el �nico cilindro que tiene la propiedad de que, mientras su eje es paralelo a la superficie plana, permanece en equilibrio sin voltearse, en cualquier posici�n en la que se le deje.
Si una figura y est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje y L es una l�nea soporte de y entonces L toca a la figura y s�lo en el puntoLK.
Demostraci�n. Supongamos que no: supongamos que existe una linea soporte L —podemos pensarla como el piso— y un punto X sobre ella, distinto de LK en donde y se apoya (ver figura V.3). Veremos que esto es imposible, pues si as� fuera existir�a una (posici�n) l�nea soporte con respecto a la cual y no est� en equilibrio. De hecho, intuitivamente, la demostraci�n consistir� de "palanquearse" en el punto X para desequilibrarla.
Sea R el rayo que parte de K y pasa por el punto medio de LK y X, al que llamaremos a. Perpendicular a este rayo, quiz� muy abajo, existe una l�nea L1 que no toca a la figura y y que corta al rayo R en un punto al que llamaremos b. Vamos a deslizar paralelamente la l�nea L1 hasta que toque a la figura y. Al deslizarla, el punto b se ir� desplazando sobre R hacia el punto K. Sean L1' y b' las posiciones finales de L1 y b en su viaje hacia y. En su camino, b nunca sale a la superficie. Quiero decir; "el punto b' est� bajo tierra y con �l tambi�n uno de los rayos de L1' que empieza en b' " (v�ase figura V.3). Si no fuera as�, querr�a decir que en su camino b pas� por a. Un poquito antes de ese momento la l�nea L1 a�n no tocaba a la figura —quedamos en que la l�nea L1 se paraba en el momento en que tocara a la figura—, pero esto es imposible pues, siendo a el punto medio de X y LK' , la l�nea que pasa por a y es paralela a L1 deja a K de un lado y a X del otro.
Giremos tantito la cabeza y pensemos que ahora el piso es L1.
Es claro que y no est� en equilibrio con respecto
a L1 pues a un lado de b' no hay
ning�n punto en donde y se apoye. 
Si una figura y est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje es porque la figura es un c�rculo.
Demostraci�n. Para mostrar que la figura y
es un c�rculo vamos a hacer uso del resultado principal del cap�tulo III.
Con tal motivo necesitamos comprobar que por cada punto frontera M de
y pasa una l�nea soporte que es perpendicular
al segmento KM, donde K es el centro de masas de y.
Como cualquier l�nea soporte de y corta a
y en un solo punto, la figura y
es convexa. Tomemos un punto M de la frontera de y
y ya que y es convexa tracemos una l�nea soporte
L de y por M. Nosotros sabemos que L corta a la figura
y precisamente en el punto LK,
donde LK es el punto sobre L
con la propiedad de que el segmento MLK
es perpendicular a L. Por tanto, el segmento KM es perpendicular
a la l�nea soporte L, que era lo que necesit�bamos comprobar. Una vez
hecho esto, por el resultado principal del cap�tulo III, sabemos que
y es un c�rculo.
Pasemos a trabajar con s�lidos que est�n en equilibrio en cualquier posici�n en la que se les deje.
En forma an�loga a lo hecho en las figuras, si q es un s�lido, K es su centro de masas y P es una plano soporte de q, denotamos por PK al punto sobre P que es el pie de la perpendicular a P que pasa por K (ver figura V.4). Si pensamos que P es el piso, entonces PK denota al punto sobre el piso que est� exactamente abajo del centro de masas de q.
Intuitivamente, un s�lido q est� en una posici�n en la que pierde el equilibrio, es decir, se cae, si sobre el piso existe una l�nea que separa a todos los puntos de apoyo del s�lido, del punto del piso que est� abajo del centro de masas (ver figura V.4).
F�jese que en tal caso existe una l�nea en el piso que pasa por el punto que est� abajo del centro de masas, que no toca al s�lido y que deja a los puntos, en los que el s�lido se apoya sobre el piso, en uno de los lados determinados por ella
Es por esto que vamos a decir que un s�lido q est� en equilibrio con respecto a un plano P si cualquier l�nea de P que pase por Pk, o bien toca a q o deja a puntos de Q a ambos lados de ella.
De hecho, lo que estamos diciendo es que q est� en equilibrio con respecto al plano P, si cualquier subconjunto convexo de P que contenga a los puntos en los que q toca a P, tambi�n contiene a Pk. Es decir, si Pk est� en el casco convexo de la parte com�n entre P y q.
Finalmente, un s�lido q est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le de, si est� en equilibrio con respecto a cualquiera de sus planos soporte.
Supongamos que q es un s�lido que est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje; entonces todas sus sombras son figuras que est�n en equilibrio en cualquier posici�n en las que se les deje. �Ha visto usted perder el equilibrio a alguna sombra sin que lo pierda quien la proyecta?
Demostraci�n. Vamos a ver que si en alguna direcci�n la sombra de q no est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje; entonces, el s�lido tampoco est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se lo deje. De esta manera, si q est� en equilibrio tambi�n lo estar�n todas sus sombras. Supongamos por tanto que la proyecci�n de q en la direcci�n d sobre el plano P1, a la que llamaremos y no est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje (ver figura V.5). Entonces existe en P1 una l�nea soporte L de y y un punto T de ella que no est� en y, pero que tiene la propiedad de que todos los puntos en los que y toca a L est�n de un lado de T y Lk est� del otro lado. Llamemos P a el plano paralelo a la direcci�n d que corta a P1 en L, y sea L1 la l�nea paralela a la direcci�n d que corta a P1 en el punto T. Es f�cil ver que P es un plano soporte de q y que la l�nea L1 de P no toca a q pero deja a los puntos en los que q se apoya en P de un lado y a PK del otro lado. Evidentemente, el s�lido Q no est� en equilibrio con respecto al plano soporte P.
De lo anterior se deduce que si un s�lido est� en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le deje entonces todas sus proyecciones son c�rculos y, por lo tanto, que:
Si un s�lido descansa en equilibrio en cualquier posici�n en la que se le
deje sobre una superficie plana horizontal, entonces el s�lido es una esfera.
