AP�NDICE II
Seg�n se vio, la actividad A es proporcional al n�mero de n�cleos N presente en la muestra radiactiva en un instante dado, a trav�s de la constante de decaimiento:
Como actividad implica transmutaci�n nuclear, al ir decayendo la muestra con el tiempo, el n�mero N va disminuyendo con una rapidez -dN/dt. El signo negativo indica disminuci�n de N al avanzar el tiempo t. Por lo tanto,
Si tomamos la segunda parte de esta ecuaci�n, tenemos una ecuaci�n diferencial que debe resolverse por separaci�n de variables:
en donde K es la constante de integraci�n y In indica el logaritmo natural. Ahora se toma la exponencial en ambos miembros, recordando que la funci�n exponencial es la inversa del logaritmo natural, quedando
Para encontrar el valor de la constante de integraci�n K, sup�ngase que al iniciar el proceso de decaimiento (t = 0) el valor de N es N0. Substituyendo estos valores en la ecuaci�n, si t = 0, N = N0,
que es la ley de decaimiento radiactivo. Indica la forma anal�tica en que el n�mero de n�cleos va disminuyendo con el tiempo.
La actividad correspondiente se obtiene con:
Si se define A0 = lN0, la ecuaci�n para A toma la misma forma exponencial que la de N, o sea, la actividad disminuye con el tiempo en la misma forma que el n�mero de n�cleos:
La vida media t1/2 de un is�topo es el tiempo que tarda en disminuir su actividad a la mitad. Si en la ecuaci�n de decaimiento se substituyen los valores cuando t = t1/2, A =A0 /2, se obtiene que
Eliminando A0 y tomando el inverso,
Ahora se toma el logaritmo natural en ambos miembros:
De aqu� se obtiene la relaci�n entre la constante de decaimiento y la vida media de un is�topo:
