V. LA TURBULENCIA
Aqu� vamos a considerar algunas de las ideas mencionadas con anterioridad para esbozar lo que constituye uno de los desaf�os m�s grandes de la f�sica, el problema de la turbulencia. El problema aparece en casi todas las ciencias experimentales y, por su formulaci�n, en las matem�ticas. La "soluci�n" a este problema ha eludido a matem�ticos, ingenieros y f�sicos por m�s a�os de los que el decoro permite aceptar. Los intentos de abordar el problema han generado o estimulado ramas de las matem�ticas, han introducido m�ltiples ideas en f�sica y han generado una gran variedad de m�todos matem�ticos y experimentales; todos de una utilidad notable en otras disciplinas. Muchos cient�ficos sobresalientes estudiaron el problema y luego prefirieron cambiar de tema para lograr las contribuciones que los hicieron figurar en la historia. Por intentos no ha quedado, si bien las cosas no est�n como al principio.
Al iniciarse la d�cada de los a�os setenta se abrieron varias perspectivas te�ricas y experimentales de muy diversa �ndole. Cada una por separado parec�a ser la adecuada para atacar en forma definitiva el problema. Cada una de ellas inici� una etapa de intenso, extenso y excitante trabajo en todo el mundo. Combinando ideas y m�todos reci�n desarrollados en las matem�ticas, desde las muy abstractas como la topolog�a diferencial, hasta las m�s pr�cticas como el an�lisis num�rico (aunado a la construcci�n de computadoras cada vez m�s grandes y veloces), se revisaron experimentos cl�sicos desde una nueva perspectiva y se encontraron elementos que estaban a la vista, pero que no se hab�an buscado o que simplemente se ignoraban invocando diversos argumentos. Tambi�n, nuevas t�cnicas experimentales y cuidadosas observaciones hicieron cambiar algunas ideas preconcebidas y el enfoque te�rico que sistem�ticamente se hab�a estado siguiendo. As�, se revisaron las teor�as y repitieron experimentos. Si bien cada una de las nuevas ideas y m�todos, te�ricos y experimentales, siguen en una efervescente actividad, el optimismo inicial sobre la comprensi�n del fen�meno de la turbulencia ha ido decayendo con el tiempo en vista de los exiguos resultados espec�ficos. Muchas cosas han quedado m�s claras y los horizontes por explorar se han abierto en forma sorprendente.
Algo claro e irreversible que sucedi� a lo largo de este proceso, fue el inicio de un cambio en la actitud de la mayor�a de los f�sicos; en los que no se ha dado es porque no lo requer�an o porque todav�a no lo pueden aceptar.
El enfoque reduccionista de la ciencia, llevado a su culminaci�n en la f�sica, busca explicar todos los fen�menos con base en un conjunto reducido de leyes fundamentales. As�, la materia se redujo, pasando por las mol�culas y los �tomos, a las part�culas elementales, los cuarks. De todas las fuerzas en la naturaleza, pasando por las el�ctricas, las magn�ticas, las nucleares y las gravitacionales se lleg� (casi) a una sola, la gravitacional - cu�ntica (supersim�trica). Logrado esto, dir�an (y aun dicen) pomposamente algunos, el resto es un problema de aplicaciones; esta imagen va diluy�ndose poco a poco ante los hechos y la humildad regresa al lugar de donde no debi� salir.
Todav�a hace poco se dec�a que las leyes b�sicas hab�an sido encontradas en la primera mitad del siglo XX y que con esto se cerraba una etapa gloriosa del pensamiento humano (algo parecido se pensaba hace cien a�os con la mec�nica newtoniana y el electromagnetismo de Maxwell). Aun suponiendo que conocemos estas leyes fundamentales, en forma clara y precisa, lo que ser�a decepcionantemente pretencioso, algo ha cambiado. Se ha puesto de manifiesto que esto no es suficiente y que para explicar el mundo se requiere mucho m�s.
El argumento es m�s o menos el siguiente. La direcci�n opuesta al reduccionismo, creciendo en grado de complejidad, ha tra�do sorpresas que muy pocos preve�an. A partir de casi cualquier punto en esta direcci�n aparecen nuevos fen�menos, ricos y variados, con elementos ausentes en el nivel anterior, m�s sencillo; se generan nuevas simetr�as y emergen formas nuevas de organizaci�n. Si a un nivel de descripci�n parece s�lo haber desorden, al siguiente aparece orden en el caos, como en un acto de magia medieval donde los encantamientos son las fuerzas ocultas que nos desaf�an a descubrirlas. El comportamiento de grupos de �tomos o mol�culas parece tener poco que ver con sus elementos constituyentes, c�mulos de estos grupos tienen a�n menos memoria de sus elementos b�sicos. Estos c�mulos se autorganizan, duplican y evolucionan solos; confabulados en grupos de c�mulos cada vez m�s grandes llegan a producir patrones de flujo cuya belleza adorna la superficie de algunos planetas, a ladrar en las esquinas oscuras de colonias olvidadas o se atreven a construir m�quinas que empiezan a pensar sobre ellas mismas...
Comienza a verse claro que el buscar las leyes b�sicas de los constituyentes �ltimos de la materia es tan fundamental como investigar las leyes que rigen los procesos que se dan con el aumento en la complejidad de los sistemas. Casos caracter�sticos son los estudios sobre los mecanismos que dan lugar a la autorganizaci�n, a la formaci�n de patrones, a la aparici�n de simetr�as o a la desaparici�n de �stas y al orden que nace cada d�a en lo que s�lo parece ser el caos...
Como siempre, cuando parece que se alcanza el horizonte, la naturaleza nos muestra que hay otro igualmente lejano, nuevo, m�s rico que el imaginado, m�s estimulante para ser estudiado. La investigaci�n fundamental sigue tan abierta y hay tanto por hacer como lo hab�a antes del descubrimiento de las leyes b�sicas. Los grandes pasos que se han dado en el avance del conocimiento son sobre un camino que no tiene final. En el mejor de los casos, el camino se volver� infinitamente autorreferente, como la espiral de Arqu�medes o los conjuntos de Julia. Con esta frase cr�ptica podemos ahora regresar al asunto que nos re�ne.
�Cu�l es el problema y qu� sabemos de �l?
Todos los flujos que se observan pueden clasificarse en dos grandes grupos, los laminares y los turbulentos. Los casos m�s sencillos que ejemplifican a los primeros son el flujo uniforme, donde la velocidad del fluido es la misma en todos lados, y el flujo de Couette plano, ilustrado en la figura IV. 3. Los hay m�s complicados, como los que aparecen en las figuras II. 7, II. 8, IV. 2, IV. 4 y IV. 7. En todos estos el fluido se mueve en l�minas y parece obedecer reglas m�s o menos claras. Estudiando los flujos laminares es como se han entendido los principios b�sicos que describen a los fluidos. Por otra parte, son los flujos turbulentos los que dominan el foro.
Cuando el movimiento de un fluido es irregular y complicado se dice que el flujo es turbulento. En la figura V.1 se muestra un chorro turbulento de agua; aunque muy familiar, la complicada estructura ilustra las caracter�sticas de la turbulencia. Esta definici�n, como tantas otras en nuestro negocio, no parece muy precisa: pod�amos haber dejado el pudor a un lado y caracterizar simplemente a la turbulencia como el estado no- laminar. �sta es parte de la dificultad.
Figura V. I. Chorro turbulento de agua.
�Cu�ndo es un flujo lo suficientemente complicado como para ser bautizado como turbulento? Como con el estado mental de las personas, es relativamente f�cil distinguir los casos extremos. A quienes est�n totalmente desquiciados los confinamos a una habitaci�n acolchonada, dejando fuera a los normales (�?), pero siempre nos preocupa distinguir la ubicaci�n de la l�nea que separa los casos marginales. A los "fluidicistas" les pasa un poco lo que a los psiquiatras (con la �nica ventaja de no ser sujetos de su propio estudio).
Una caracter�stica del estado turbulento es la completa irreproducibilidad de los detalles de un flujo; hay un elemento aparentemente ca�tico que es inherente a este estado de movimiento. Al abrir completamente la llave de un lavabo observamos un chorro de agua que cae, choca con el fondo del vertedero, se re�ne con la que cay� previamente y, movi�ndose de manera irregular, se va por el desag�e. Si midi�ramos alg�n par�metro del flujo con mucha precisi�n, como la velocidad en el chorro encontrar�amos que conforme transcurre el tiempo, tal par�metro va cambiando de valor y da lugar a un patr�n como el que se muestra en la figura V.2. Si despu�s medimos muchas veces, abriendo la llave de la misma forma, esperando el mismo tiempo y a la misma distancia de la boca de la llave, el resultado ser� muy parecido al anterior, pero nunca igual.
Figura V. 2. Gr�fica de la velocidad (vertical) contra el tiempo (horizontal). El valor medio de la velocidad es vo.
No s�lo la velocidad cambia en esta forma irregular. Casi todas las variables hacen lo mismo. Por ejemplo, supongamos que se determina el gasto, que es la cantidad de agua que sale cada segundo, manteniendo todo fijo. El resultado ser�a de -digamos- un litro cada diez segundos (100 ml/s), aproximadamente; a veces unos mililitros m�s, a veces otros menos. Es decir, fluct�a alrededor de un valor promedio, el de 100ml/s. El asunto no tiene remedio, siempre es as� cuando el valor promedio de alguna cantidad excede de cierto valor, llamado cr�tico. Para ciertos casos muy simples se ha logrado predecir razonablemente el valor cr�tico que debe alcanzar cierto par�metro (usualmente el n�mero de Reynolds) para que el flujo pase de un movimiento laminar a uno turbulento. Es decir, que se pierda completamente la estabilidad del flujo (se vuelva un tanto loco). Por otra parte, el describir estas fluctuaciones, que podemos observar y cuantificar, es uno de los aspectos m�s dif�ciles de abordar que tiene el problema, ya que se trata de poderlos predecir, no s�lo de medirlos; la medici�n es hoy en d�a un trabajo de rutina en muchos laboratorios, si bien es necesaria una tecnolog�a relativamente complicada.
Los cientos de trabajos que se publican sobre estudios te�ricos y experimentales de la turbulencia, cada a�o y desde hace muchas d�cadas, hacen que una rese�a de los avances logrados se convierta en una obra de vol�menes. El uso de las m�s variadas t�cnicas experimentales y matem�ticas las hace, adem�s, de dif�cil lectura aun para los especialistas. Sin embargo, algunas de las ideas m�s viejas y m�s recientes, que comparten elementos, nos permiten asomarnos a este mundo agitado y convulso que llamamos turbulencia.
Lewis Fry Richardson (1881-1953), uno de los pioneros de la meteorog�a moderna y miembro representativo de la tradici�n cient�fica inglesa, estudi� la din�mica atmosf�rica y, desde luego, se enfrent� con la turbulencia, siempre presente en el monumental laboratorio de la atm�sfera. En un poema sencillo, que todav�a se cita en los textos, resumi� lo que Da Vinci plasm� en sus lienzos al observar el fluir de las aguas y lo que los cient�ficos creen que sucede en un fluido excitado.
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| as� hasta la viscosidad |
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Dejando a un lado el adagio latino de "traductor, �traidor!", el contenido del verso expresa el proceso que parece sufrir la energ�a que se le comunica a un fluido para mantenerlo en estado turbulento, el llamado modelo de la cascada de energ�a.
Imaginemos un tanque con agua, a la que agitamos con una paleta de cierto tama�o (escala). Al mover la paleta se producen v�rtices de la misma escala. Observamos que estos v�rtices migran y se desintegran, gener�ndose en el proceso otros v�rtices de una escala menor. Este mecanismo se contin�a de una escala a otra, hasta que la escala es lo suficientemente peque�a como para que el movimiento de los vorticillos resultantes sea dominado por los efectos de la fricci�n interna del fluido, la viscosidad. Ah�, los peque�os remolinos comienzan una etapa de decaimiento, disip�ndose hasta desaparecer; la longitud t�pica de esta �ltima escala es de fracciones de mil�metro.
De acuerdo con estas ideas, la energ�a pasa de una escala a otra, como en una cascada en la que el agua cae de un nivel a otro, perdiendo altura (energ�a potencial) pero ganando movimiento (energ�a cin�tica). En el fondo de las escalas el movimiento se convierte en calor, disip�ndose la energ�a, y queda el fluido en reposo. En la medida en que se siga agitando la paleta (inyectando energ�a al fluido) se podr�n apreciar las estructuras en las distintas escalas, siendo la m�s peque�a la m�s dif�cil de ver.
Por consiguiente el estudio de la din�mica de v�rtices es uno de los m�s importantes en los trabajos de turbulencia. El objetivo es entonces entender c�mo se generan, c�mo interaccionan entre s�, c�mo se rompen y, finalmente, c�mo decaen. Algunas de las teor�as m�s comunes abordan estos problemas desde diversos puntos de vista, tratando de encontrar cantidades que se conserven en este proceso y estudiando la forma en que van cambiando otras, al pasar a trav�s de las distintas escalas.
Uno de los resultados m�s c�lebres en la teor�a de la turbulencia se debe a Andrei Nikolayevich Kolmogorov (1903-) y a A. M. Obukhov, quienes obtuvieron el mismo resultado, en forma independiente, en 1941. La importancia de la expresi�n se debe a que es uno de los pocos resultados generales y cuantitativos y a que es v�lida para todo flujo turbulento isotr�pico y homog�neo. Que la turbulencia sea homog�nea significa que se ve igual si nos trasladamos a distintos puntos del fluido; que sea isotr�pica quiere decir que parece igual si vemos en cualquier direcci�n. Para que lo anterior sea (aproximadamente) cierto se requiere que la regi�n en estudio se encuentre lejos de objetos o de las paredes que contienen al fluido; se dice entonces que la turbulencia es localmente isotr�pica. Esta simplificaci�n fue introducida por Geoffrey Ingram Taylor (1886-1975) en 1936. Muchas ideas fundamentales en la din�mica de fluidos moderna fueron propuestas por Taylor en los profundos trabajos que hizo a lo largo de su prol�fica carrera cient�fica.
Kolmogorov, quien era un distinguido matem�tico sovi�tico, fundador de la teor�a moderna de la probabilidad, logr� atraer la atenci�n de numerosos colegas hacia la teor�a de la turbulencia. Al ver la naturaleza f�sica, m�s que matem�tica, de la contribuci�n de Kolmogorov, la mayor�a opt� por volver a sus intereses originales.
Curiosamente, el mismo resultado fue obtenido en 1948 por tres f�sicos del m�s alto nivel, en forma independiente y por caminos diferentes. Werner Karl Heisenberg (1901-1976) y Karl Friedrich von Weizsacker (1912), durante su detenci�n en Inglaterra con otros cient�ficos alemanes, y Lars Onsager (1903-1976), en los EUA. Como ha sucedido en otros casos, la ley descubierta por estos investigadores deb�a llevar como nombre un anagrama con sus iniciales, algo como wookh; afortunadamente no fue as�.
La famosa expresi�n establece en forma cuantitativa varios aspectos relacionados con la cascada de energ�a propuesta por Richardson. Para percibir la esencia del resultado seguiremos a Kolmogorov en su razonamiento. Empezaremos por formular el resultado, que parece m�s un criptograma de la Guerra Fr�a que una descripci�n de lo que puede pasarle a un fluido. Despu�s, intentaremos descifrarlo.
La ley de los dos tercios de Kolmogorov, como se le conoce, afirma
lo siguiente. En un flujo turbulento, la autocorrelaci�n de velocidades entre
dos puntos separados por una distancia l, dentro del subintervalo inercial,
es igual a C(
l)
2/3; C es una constante num�rica universal y
es el flujo promedio de la energ�a (por unidad de masa). Todo indica que para
entender el enunciado har�an falta estudios serios de paleolog�a. Realmente
no es as�, es suficiente con algo de f�sica y de matem�ticas; para apreciar
el sabor basta un poco de paciencia.
La cascada de energ�a "a la Richardson", sugiere la existencia de una serie de escalas a trav�s de las cuales la energ�a transita, hasta disiparse en calor. En la escala m�s grande, las estructuras (v�rtices) llevan "impresa" la forma en que fueron generadas. Chorros y estelas ejemplifican este hecho; cada uno parece estar estructurado de manera muy distinta. A este nivel, son aspectos como la geometr�a del sistema los que definen el tama�o y la forma de los v�rtices portadores de la mayor parte de la energ�a. En el otro extremo, los vorticillos m�s peque�os consumen toda la energ�a al disiparse por efecto directo de la viscosidad. En este proceso de cascada, en el que las estructuras se van descomponiendo en otras m�s peque�as, el flujo va perdiendo la memoria del mecanismo generador de la turbulencia.
Con estas ideas en mente, Kolmogorov introduce su primera hip�tesis. Propone
la existencia de un intervalo de escalas en el que el comportamiento turbulento
es universal (olvid� sus or�genes...). Es decir, el flujo turbulento es homog�neo,
isotr�pico y estacionario. Este �ltimo atributo indica que, en promedio, el
estado no cambia con el tiempo; la amnesia es permanente, digamos. Adem�s, nos
asegura el abstracto pensador, en este intervalo las cosas no pueden depender
m�s que de dos par�metros: el flujo de energ�a ()
que se le inyecta al flujo para mantenerlo agitado (algo as� como el sufrimiento
que experimenta el que mueve la paleta o sopla el chorro) y la viscosidad (v),
que caracteriza la disipaci�n de la energ�a (el calentamiento del fluido).
Hecha esta suposici�n, recurre a algo muy ingenioso. Estima el tama�o de la
escala m�xima para la cual los efectos de la fricci�n todav�a desempe�an un
papel. Al efecto demuestra que s�lo hay una manera de combinar los par�metros
y v para que formen
una longitud, �as� de simple! (s�lo con prop�sitos morbosos cito el resultado:
()-1/4 v3/4).
La escala as� determinada, que con suma originalidad fue bautizada de Kolmogorov,
se denota por h.
Entonces - se atreve a postular de nuevo- a escalas mayores que h
no hay disipaci�n, por lo que la viscosidad debe ser una cantidad irrelevante.
De esta manera, hay una zona de escalas (subintervalo) en la que v debe
desaparecer, quedando como
el �nico par�metro importante. La energ�a inyectada para mantener la turbulencia
se va transfiriendo a escalas cada vez m�s chicas, hasta aparecer una envidiable
amnesia. Sigue pasando a escalas todav�a m�s peque�as, hasta que la viscosidad
aparece en la escena, iniciando su destructivo papel, y luego el final fatal,
que a todo le llega. Como la energ�a s�lo transita por estas escalas intermedias,
al subintervalo se le llama inercial, �como de paso!
As�, en la traducci�n de la ley de los dos tercios se aclara un poco lo de
subintervalo inercial y el significado de .
Sigamos adelante con la interpretaci�n.
En un flujo turbulento la velocidad cambia (fluct�a) en el tiempo y en el espacio. Es decir, al medir la velocidad en un punto fijo del espacio, conforme transcurre el tiempo, se obtienen datos como los que se muestran en la figura V.2. Un patr�n semejante se obtiene si se mide la velocidad, simult�neamente, en varios puntos. Desde luego, el promedio de la fluctuaci�n es cero; igual aumenta que disminuye, o se mueve a uno u otro lado.
�Qu� tan independiente es el valor que tiene la velocidad en un punto del que tiene en otro punto o del valor que tom� tiempo antes? La respuesta a esta pregunta se encuentra en la autocorrelaci�n de las velocidades, espacial o temporal, respectivamente. Nos dice c�mo est�n (cor)relacionados los valores de la velocidad (el prefijo auto indica que es la correlaci�n de una cantidad dada consigo misma). Si los puntos est�n muy cercanos, es de esperarse que exista alguna conexi�n entre los valores de la velocidad, mientras que si est�n muy separados probablemente no tendr�n relaci�n alguna. En lenguaje t�cnico se dice que la autocorrelaci�n de las velocidades decae con la distancia. Por ejemplo, mi autocorrelaci�n temporal de memoria es de corto alcance; hay quienes aseguran que no pasa mucho tiempo para que mis recuerdos sean cada vez m�s vagos...
Regresando a la ley de los dos tercios, podemos resumirla de la siguiente manera.
Primero, existe una escala a partir de la cual el movimiento turbulento es independiente
de la forma en que se gener�. Segundo, para dos puntos en el fluido separados
por una distancia l, las velocidades est�n relacionadas. Tercero, si
la escala de l es suficientemente grande, los efectos disipativos (la
viscosidad) no desempe�an un papel determinante. Cuarto, la relaci�n entre las
velocidades (su producto) depende, a lo m�s, de
y de la distancia l. Al recapitular hemos introducido dos puntos adicionales.
Uno, que la autocorrelaci�n est� definida como el promedio del producto; aunque
es importante este punto, no es necesario entrar en m�s detalles. El otro consiste
en proponer la dependencia exclusiva en
y l. Si l est� en el subintervalo inercial, cualquier cantidad depender�
s�lo de , como par�metro
caracter�stico del flujo.
El �ltimo ingrediente para obtener el resultado de Kolmogorov es el argumento
dimensional. Nuevarnente, la �nica forma de combinar
y l para que formen el producto de dos velocidades (una autocorrelaci�n)
es... �la escala de Kolmogorov! El factor restante s�lo puede ser un n�mero
(sin dimensiones, igual para los que miden en pies, que para los civilizados
que miden en metros) y, no sabiendo cu�nto val�a, le llam� C. Los experimentos
indican que su valor es cercano a 0.5.
Los intentos por extender las ideas de Kolmogorov, Obukhov, Heisenberg, Von Weizs�cker y Onsager han sido hasta ahora infructuosos. Las extensiones han requerido de aparatos matem�ticos formidables y en ellas el esfuerzo realizado contrasta con los escasos resultados o lo poco significativo que son. Una de ellas fue desarrollada por Robert H. Kraichnan, durante los a�os cincuenta y sesenta, con t�cnicas importadas de la teor�a cu�ntica del campo, desarrolladas para el tratamiento de fen�menos relacionados con las part�culas elementales.
En un contexto distinto aparecieron los enfoques de la siguiente d�cada, la de los setenta. Las ideas de estructuras coherentes, de atractores extra�os y de fractales generaron un frenes� que todav�a no acaba, aunque el optimismo inicial ha disminuido. A�n es prematuro hacer una evaluaci�n justa de la repercusi�n de las ideas actuales sobre el problema de la turbulencia; todav�a hay muchas esperanzas y es posible que alguien sepa combinarlas en las proporciones adecuadas para dar el siguiente gran paso. Con la sobriedad y la madurez que s�lo vienen con el tiempo se podr� apreciar la perspectiva con m�s objetividad. Veamos en qu� consisten algunas de estas ideas.
La tecnolog�a usada en la investigaci�n experimental se ha mantenido en constante desarrollo a trav�s del tiempo. Una parte considerable de la llamada tecnolog�a de punta ha sido el fruto de las necesidades espec�ficas de la investigaci�n en diversos campos de la f�sica; tristemente, han sido las aplicaciones a la industria de la violencia las que han sido argumentadas para justificarla y el motor para su desarrollo.
El uso de computadoras cada vez m�s grandes y veloces, de electr�nica cada vez m�s r�pida y vers�til, de sondas mec�nicas, �pticas y ac�sticas m�s complejas y delicadas han dado lugar a una revoluci�n en la forma de hacer experimentos en las ciencias naturales. Los laboratorios dedicados al estudio de la turbulencia no son la excepci�n, es m�s, son un excelente ejemplo. No ser�a exagerado afirmar que, por ejemplo, el desarrollo de computadoras cada vez m�s grandes ha tenido como principal promotora a la din�mica de fluidos. Sin embargo, a�n no existe un problema de turbulencia que se pueda solucionar con la computadora m�s grande disponible, aunque ya se empiezan a acercar...
Al iniciarse la era de la electr�nica moderna, acoplada a sistemas de adquisici�n de datos y t�cnicas de medici�n y visualizaci�n, basadas en la �ptica de l�seres, se llevaron a cabo algunas observaciones que influyeron decisivamente en la investigaci�n de la turbulencia. Curiosamente, �stas se realizaron con m�todos �pticos sencillos que se ven�an usando por d�cadas. El descubrimiento central fue que la mayor�a de los flujos turbulentos no son tan irregulares como se cre�a; dentro del evidente caos hay cierto orden en el movimiento del fluido. Al azar, aparecen estructuras con caracter�sticas bien definidas estad�sticamente: la distribuci�n de sus escalas, sus tiempos de vida (periodos), etc�tera.
Estos sorprendentes resultados dieron lugar a una reconsideraci�n profunda de los experimentos que se ven�an realizando. Una calificaci�n m�s cuidadosa de la estructura espacial de cada flujo turbulento se hizo necesaria para llegar a entender las observaciones (Figura V. 1).
Nuevamente se repitieron experimentos y se formularon otros para delinear las propiedades de estas formas semiordenadas que parec�an pulular entre el caos. La explosi�n en la capacidad de c�mputo, que todav�a no acaba, vino a dar mayores posibilidades a este nuevo giro experimental. Las medidas m�s extensas que se hac�an con anterioridad eran autocorrelaciones de la velocidad, lo que daba lugar a que, al observar en dos puntos distintos y promediar el resultado, se borraran estas estructuras; las medidas tend�an a registrar estados distintos de estas estructuras que poco ten�an de relaci�n unas con otras. Al promediar entre pulpos y ni�os se obtienen seres que en promedio tienen seis ap�ndices; este dato promedio no parecer�a ser muy �til a un observador externo. As�, la forma de medir y sobre todo, de analizar los datos, sufri� un cambio de fondo.
Un hurac�n que se mueve en el Oc�ano Atl�ntico, visto desde un sat�lite orbital a 300 km de distancia, parece una estructura (v�rtice) perfectamente organizada, regular, que se mueve lentamente. Para el capit�n de una nave camaronera y para sus asustados tripulantes, que lo ven en una escala de metros, o decenas de �stos, parece un infierno h�medo e irregular que var�a violentamente de un lugar a otro y de un instante al siguiente. Ni lo ven muy organizado (excepto para ahogarlos) ni lo ven variar lentamente. Esta estructura coherente, vista por el astronauta, est� conformada por miles de v�rtices m�s peque�os en plena algarab�a, que sufre el argonauta.
En la figura V.3 se ilustra una de las primeras fotograf�as que exhib�an estas estructuras coherentes. En �sta se pone de manifiesto una estructura bidimensional de v�rtices sobre la que hay superpuesta una complicada trama de vorticillos (la turbulencia). El flujo corresponde a lo que se llama la capa de mezclado. Dos fluidos, uno arriba y otro abajo, se mueven de derecha a izquierda con velocidades distintas. En este caso se trata de nitr�geno (arriba) y de una mezcla de helio y arg�n (abajo). Las velocidades son de 1 000 cm/s y de 380 cm/s, respectivamente, y la presi�n es de 8 atm�sferas. La fotograf�a fue tomada por el grupo de Anatol Roshko, en la d�cada de los setenta, usando un m�todo que podr�amos llamar sombragraf�a.
Figura V. 3. Estructuras coherentes en un flujo turbulento; capa de mezclado.
El procedimiento para obtener estas fotograf�as es relativamente sencillo y el fen�meno que lo genera es muy com�n. Quien ha visto una fogata o un mont�n de brasas encendidas, recordar� que las im�genes que se ven del otro lado parecen bailar; sobre un fondo claro y uniforme pueden verse ciertas sombras irregulares, como ondas de calor. El efecto es producido por las variaciones que sufre la direcci�n de la luz al pasar por regiones con temperaturas distintas. Al aumentar la temperatura del aire, �ste se expande, cambia su densidad y tiende a moverse hacia arriba. La luz que va pasando, tan r�pido que ni se entera que se mueve el aire, modifica su direcci�n al pasar de un medio m�s denso a otro menos denso; decimos que cambia el �ndice de refracci�n. Las zonas de diferente densidad, irregulares en forma, generan un patr�n tembloroso de im�genes. En el flujo en cuesti�n, cada uno de los fluidos tiene un �ndice de refracci�n distinto y deja pasar a la luz de diferente manera. As�, en la regi�n de mezclado turbulento hay una complicada combinaci�n de ambos �ndices de refracci�n y la luz sigue estas variaciones. Al poner una pantalla del otro lado del flujo se pueden ver los patrones resultantes (una criatura con una c�mara fotogr�fica de pl�stico puede hacer el resto).
Es interesante notar que destacados investigadores hab�an estudiado este flujo y hab�an determinado todo lo que entonces se consideraba necesario para caracterizar sus propiedades estad�sticas. Descubrir la existencia, persistencia y evoluci�n de estas estructuras, en lo que parec�a un flujo sin orden alguno, fue una verdadera revelaci�n.
La caracterizaci�n de estructuras coherentes sigue siendo el gran tema de actualidad en la investigaci�n experimental. La parte te�rica se encuentra todav�a en sus inicios, cosa no del todo rara en este churrigueresco problema. Los intentos por elaborar una explicaci�n cuantitativa de estos fen�menos siguen desafiando a la imaginaci�n y al colmillo de la comunidad cient�fica que se interesa en el problema. Las dificultades se inician desde la forma de definir matem�ticamente a estas criaturas que viven en el caos. Si recordamos que la definici�n de un v�rtice sencillo nos elude todav�a, no es de sorprender que este asunto le quite el sue�o a m�s de uno.
Hay la sospecha fuerte de que una de las mejores formas de acorralar a las elusivas estructuras coherentes es estudiar el problema en t�rminos de la vorticidad, y los enfoques te�ricos se mueven en esta direcci�n. De esta manera, los experimentales tratan de medir la vorticidad y los te�ricos de ver c�mo se distribuye en el espacio y el tiempo. Aqu�, de nuevo, los investigadores depositan sus esperanzas en las computadoras. Los experimentales, para la adquisici�n, manejo y an�lisis de grandes cantidades de datos; sin ellas, este trabajo tomar�a cientos de miles de a�os, de todos aquellos que trabajan en el tema, �para un solo caso! A los te�ricos les pasa algo semejante. Para todos se ha convertido en la herramienta indispensable y la fuente de inspiraci�n para muchos estudios, desde las simulaciones directas de flujos sobresimplificados hasta el terreno de juego para los experimentos pensados.
El estado actual de esta situaci�n es todav�a nebuloso (�turbulento!), si bien hay m�ltiples ideas cualitativas sobre el papel que desempe�an las estructuras coherentes. Estas ideas platicadas son el motor del trabajo experimental y te�rico que se puede consultar en la bibliograf�a especializada. La forma de plantear matem�ticamente lo que sugiere la intuici�n y la informaci�n acumulada es parte de la tarea para llevar a casa.
El problema contin�a abierto y ofrece la posibilidad de ganarse el pan cotidiano a muchos curiosos y necesitados de la ciencia y el conocimiento, ya sea motivados por razones pr�cticas o est�ticas.
V.3. ATRACTORES EXTRA�OS Y CAOS
Una serie de revolucionarias ideas y de descubrimientos paralelos a los anteriormente descritos, independientes, diferentes y aparentemente desconectados, pero sobre el mismo problema general de la turbulencia, ocurrieron en la misma prol�fica d�cada en que se descubrieron las estructuras coherentes. Describiremos s�lo una parte, pero no tocaremos las sugerentes ideas e importantes teor�as como las de Mitchel Feigenbaum, Benoit Mandelbrot, Pierre Manneville e Yves Pomeau.
Uno de los antecedentes fue el descubrimiento hecho por otro meteor�logo, Edward N. Lorenz, en 1963. Estaba interesado en comprender ciertos aspectos de la atm�sfera terrestre con el prop�sito de avanzar en los m�todos para la predicci�n del tiempo. Con esto en mente elabor� un modelo muy sencillo para estudiar lo que le pasa a un fluido sometido a una diferencia de temperaturas en presencia del campo gravitacional, conocido como el problema de Rayleigh- B�nard. A partir de las ecuaciones b�sicas de la mec�nica de fluidos, las de Navier- Stokes, introdujo varias hip�tesis para reducir las ecuaciones a lo que en su opini�n a�n ten�a elementos suficientes para generar una din�mica interesante. Luego, procedi� a resolverlo en forma num�rica. Cu�l no ser�a su sorpresa al encontrar que, para ciertos valores de los par�metros que caracterizaban al problema, la soluci�n mostraba un comportamiento err�tico. Curiosamente, no tir� a la basura los resultados.
�C�mo era posible que el resultado de una ecuaci�n, compuesta por t�rminos bien definidos y perfectamente regulares, diera lugar a un comportamiento no determinista? Otros, seguramente, hubieran descartado los resultados y pensado que hab�a algo equivocado con el m�todo de soluci�n o con la computadora misma. Para Lorenz hab�a algo nuevo y profundo en lo que acababa de encontrar; hab�a descubierto a los atractores extra�os. Pasaron varios a�os para que la comunidad cientifica se percatara de la enorme importancia de su hallazgo. Baste decir que gracias a su trabajo, ahora sabemos que nunca podremos predecir el tiempo m�s all� de siete d�as. Si o�mos que se espera buen clima para la semana pr�xima, podemos asegurar que es precisamente eso, una esperanza.
A la impredictibilidad del clima a largo plazo se le ha dado por llamar el efecto mariposa. La raz�n para este nombre proviene del hecho de que una peque�a diferencia en las condiciones iniciales digamos, hoy dar� lugar a una profunda diferencia a lo que puede estar ocurriendo tiempo despu�s. El efecto de la imperceptible variaci�n ir� creciendo con el tiempo, acumul�ndose poco a poco, como una avalancha; para exagerar el punto, se dice que el aleteo de una mariposa modificar� el clima en unos meses. Desde luego, aqu� nos referimos a la predicci�n detallada de las condiciones meteorol�gicas despu�s de unos d�as. Caracter�sticas burdas o promediadas sobre muchos eventos y muchos a�os no se ver�n modificadas en forma sustancial por estos peque�os mariposeos; la erupci�n de un volc�n o la desmesurada producci�n de contaminantes en alguna regi�n hipot�tica del planeta, no estar�an incluidos entre estos �ltimos. La temporada de lluvias ser� igual, si por ello entendemos que es parecida a la temporada del b�isbol; no tienen fechas fijas y los caprichos de los protagonistas respectivos siempre est�n presentes.
�Qu� es un atractor extra�o? Veamos primero qu� son los no extra�os, por extra�os (o triviales) que parezcan.
Si estiramos un resorte con una canica de cada lado y lo soltamos dentro del agua, observaremos que empieza a oscilar y que poco a poco se va parando. Si hacemos la misma prueba fuera del agua, en el aire sucio que algunos respiran, sucede lo mismo, aunque el amortiguamiento ser� mucho menor y se tardar� m�s en detenerse. Decimos que la disipaci�n es menor en este caso. Si lo pudi�ramos hacer en el vac�o, tardar�a m�s en detenerse; habr�amos reducido a�n m�s la fricci�n. Al cambiar el material del que est� hecho el resorte por uno m�s el�stico (m�s caro), la disipaci�n podr�a reducirse a�n m�s. A pesar de que nunca podr�amos quitar la fricci�n (disipaci�n) por completo, podr�amos ver que cada vez tarda m�s en detenerse. En condiciones ideales se quedar�a oscilando ad infinitum. Estas observaciones ilustran el punto siguiente.
El estado final de un resorte (oscilador) es el reposo total o la oscilaci�n perenne. �Pues que trivialidad!, decimos todos. La ventaja del ejemplo, que no es el �nico, es que todo puede hacerse con un lenguaje matem�tico preciso y entonces puede demostrarse que los movimientos posibles tienden (son atra�dos) a un punto, el del reposo. Este estado final es un atractor y su dimensi�n es cero.
En el espacio en el que viven estos movimientos, que llamamos variedades, hay diferentes tipos de atractores: puntos (como en el caso de osciladores con fricci�n), curvas (como en el caso de los osciladores no amortiguados, de dimensi�n uno), superficies (de dimensi�n dos), etc.; objetos m�s o menos simples. Antes de Lorenz se cre�a que todos eran de este tipo y fue entonces que aparecieron los extra�os, que resultaron ser cosas (variedades) conocidas, aunque eran consideradas como curiosidades matem�ticas sin conexi�n alguna con el mundo real. Baste decir que su dimensi�n no es ningun n�mero entero (si no ser�n raros).
Para poder imaginar a los atractores extra�os es conveniente mencionar una de sus principales caracter�sticas, la de ser autosemejantes, lo cual en este caso significa que mientras m�s le vemos menos ense�a, o que ense�a lo mismo (por algo son extra�os). Un objeto autosemejante que puede ilustrar (�confundir?) la autosemejanza y que tiene una dimensi�n fraccionaria (fractal), es lo que se conoce como el conjunto de Cantor y se construye de la siguiente manera.
Consideremos el segmento de recta del cero al uno (Figura V.4). Lo dividimos en tres partes iguales y quitamos la del centro (segundo rengl�n de la Figura V.4). Ahora, a cada segmento restante lo dividimos en tres y volvemos a quitar los tramos centrales (tercer rengl�n). Luego repetimos este proceso hasta el cansancio y... le seguimos ad nauseam. El resultado es algo que tiene la propiedad de que si lo vemos parece una serie de puntitos con cierta distribuci�n espacial que no alcanzamos a distinguir claramente. Si tomamos una parte y la amplificamos cien veces —digamos— se ve una serie de puntitos con cierta distancia... �exactamente igual! No importa cu�nto o cuantas veces amplifiquemos, �siempre se ver� igual!
Figura V. 4. Conjunto de Cantor.
Un atractor extra�o, llamado de Hen�n-Heiles en honor a sus descubridores en un modelo astrof�sico, se muestra en la figura V.5. Se han hecho varias amplificaciones que exhiben parte de su estructura. En el problema correspondiente, todos los movimientos son atra�dos por el atractor.
Figura V. 5. (a) Atractor de Hen�n-Heiles. Forma general.
Figura V. 5. (b) Atractor de Hen�n-Heiles. Amplificación del recuadro de la parte (a).
Figura V. 5. (c) Atractor de Hen�n-Heiles. Amplificaci�n del recuadro de la parte (b).
En 1971, David Rouelle y Floris Takens propusieron una nueva teor�a de la turbulencia basados en el descubrimiento de Lorenz. En 1978 Rouelle y Takens, en colaboraci�n con Steven Newhouse, publicaron una importante extensi�n a la teor�a y es la versi�n que ahora se maneja. La propuesta ha permitido cambiar el marco conceptual desde el que contemplamos el problema de la turbulencia, aunque su utilidad pr�ctica para describir la turbulencia totalmente desarrollada se ve tan cercana como la colonizaci�n de la galaxia m�s cercana; es cosa de tiempo, un tanto largo, desde luego. El resultado fue una verdadera explosi�n de trabajos te�ricos y experimentales sobre el tema, abri�ndose por completo un �rea de investigaci�n que se hab�a circunscrito a los iniciados en matem�ticas relativamente complejas.
Lev Davidov Landau (1908-1968), tal vez el m�s brillante f�sico sovi�tico, famoso por sus profundos trabajos en la m�s variada gama de temas de la f�sica, public� en 1944 un c�lebre art�culo. En �ste propuso un modelo sobre la forma en que se genera la turbulencia en todos los flujos. En forma esquem�tica, la idea era que si en cierto flujo se iba aumentando el par�metro b�sico, como el n�mero de Reynolds, el estado de movimiento cambiar�a con el tiempo a otro de naturaleza un poco mas complicada. Al seguir aumentando el par�metro de nuevo ocurrir�a un cambio en la estructura del flujo, y as� sucesivamente. A la larga dec�a, el flujo es lo suficientemente complicado como para que se vea turbulento.
Por ejemplo, en el flujo alrededor de un cilindro, inicialmente laminar (Figura II. 7 y II. 8), se observa que al aumentar la velocidad con la que llega el fluido se transforma en otro flujo, tambi�n laminar, con m�s estructura. A mayor velocidad los v�rtices posteriores se desprenden y aparece una estela hermosa y compleja, dif�cil de describir matem�ticamente (Figura V.6). Al continuar el proceso la estela se va complicando hasta verse completamente turbulenta.
Figura V. 6. Estela detr�s de un cilindro circular en flujo uniforme. La velocidad del flujo es mayor que en los casos de las figuras II. 7. Y II. 8.
La teor�a de Landau, de car�cter esencialmente cualitativo, prevaleci� hasta la d�cada de los setenta. Hoy en d�a tiene s�lo valor hist�rico; sin embargo, motiv� numerosos trabajos para estudiar estas transiciones y sirvi� para desarrollar diversos m�todos matem�ticos para atacar el problema. Lo anterior, que parec�a perfectamente plausible, fue modificado por Rouelle y Takens; su teor�a, construida sobre bases conceptuales y matem�ticas m�s s�lidas tambi�n es, por lo pronto, de car�cter cualitativo. Vencer las dificultades para utilizarla en forma expl�cita para hacer predicciones concretas es un proyecto a futuro. Si bien la teor�a parece sumamente abstracta (matem�tica), las ideas f�sicas pueden verse con relativa sencillez. Estas pueden resumirse en dos principales.
El primer resultado sobre el que est� construida la teor�a es la demostraci�n de que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen dependencia sensible en las condiciones iniciales. Esto quiere decir, en t�rminos normales, que todo lo que le pasa a un fluido depende de los detalles de su estado inicial. M�s directo, que los fluidos tienen muy buena memoria cuando se les excita demasiado. Lo que hacen depende de c�mo empezaron.
Esto explica por qu� cada vez que se empieza un flujo dentro de un t�nel de viento, por ejemplo, se observan patrones muy diferentes. Sucede que nunca podemos repetir un experimento exactamente en la misma forma; siempre partimos de un estado muy parecido, pero no del mismo. Todo tiene que ver con la forma en que un movimiento va a evolucionar; la contaminaci�n del aire en el t�nel, la deformaci�n nocturna del dispositivo mec�nico y, podr�a argumentarse, el humor del investigador. Ernst Mach (1838-1916), uno de los profundos pensadores sobre el quehacer cient�fico, hubiera estado fascinado por tal resultado; el llamado principio de Mach, en pocas palabras, postula la influencia de cada parte del Universo sobre el resto. Esto, "aunque usted no lo crea", le ocurre a los queridos fluidos; algo as� ten�a que andar pasando.
De hecho, desde el siglo XIX, James Clerk Maxwell fue expl�cito al respecto cuando dec�a: "Es una doctrina metaf�sica que de las mismas causas se siguen los mismos efectos... Pero es poco �til en un mundo como �ste, en el que las mismas causas nunca se repiten y nada ocurre dos veces..." Luego agregaba: "[....] el axioma f�sico an�logo es que de causas semejantes se siguen efectos semejantes. Ahora hemos pasado de la igualdad a la semejanza, de la certeza absoluta a la burda aproximaci�n [...]; cuando sucede, el curso de los acontecimientos es estable. Hay fen�menos m�s complicados en los que ocurren inestabilidades [...] que aumentan r�pidamente con el n�mero de variables relacionadas". Con la intuici�n que lo llev� al Olimpo de la ciencia, conclu�a: "[...] el estudio de las singularidades y las inestabilidades, m�s que el de las cosas continuas y estables, tal vez elimine el prejuicio en favor del determinismo [...]."
La segunda parte de la receta para cocinar la teor�a de Rouell-Takens-Newhouse est� ligada muy de cerca con el punto anterior. El meollo del asunto radica en que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen atractores, como casi todas las ecuaciones, pero que resultan ser de los extra�os; esto sucede en el espacio (variedad) en el que se encuentran sus posibles soluciones. As�, el movimiento de un fluido se va transformando en otros al ir cambiando el n�mero de Reynolds, a la Landau. Pero, y aqu� es donde cambian las cosas, al ocurrir el tercer cambio es muy probable que el flujo sea turbulento. Matem�ticamente se dice que la soluci�n que describe el tercer estado de movimiento est� cerca de un atractor extra�o. En estas condiciones las cosas se van a ver por dem�s extra�as (o sea turbulentas). Veamos un poco m�s de cerca la raz�n.
Digamos que la forma del atractor es la que se ilustra en la figura V.5. El estado inicial del fluido corresponde a un punto cualquiera en el papel de la gr�fica; el punto escogido podr�a describir un movimiento regular y sencillo que no cambia en el tiempo.
Ahora cambiamos el n�mero de Reynolds (abrimos m�s la llave, digamos) lo suficiente como para que el estado de movimiento cambie a otro estado (cambiamos de punto en la gr�fica). Si est� lejos del atractor, desde luego que ser� atra�do a �l. Repetimos el proceso y... se acerca al atractor (como en las novelas de terror). La siguiente ocasi�n en que repetimos la operaci�n el movimiento cambia, muy probablemente, a uno turbulento. Visto en la gr�fica, el punto se acerc� tanto que empieza a moverse sobre la curva ilustrada; va cambiando en el tiempo. Como s�lo lo podemos ver cada cierto tiempo (con la vista, menos de treinta veces cada segundo), parecer� brincar de un lugar a otro, sin ton ni son, siendo que en realidad se mueve sobre el atractor que se muestra.
Cuando parece que el estado es uno que se registr� anteriormente, en realidad es uno parecido que se encuentra en otra parte de la curva; en una amplificaci�n parecer�a estar en una de las l�neas adyacentes. En realidad no es ni curva ni superficie..., es un atractor extra�o.
Al publicarse la teor�a, los investigadores pensaron que las cosas eran demasiado abstractas como para tener conexi�n alguna con los experimentos. Despu�s de todo, a pesar de que los autores ten�an un reconocido prestigio, se trataba de matem�ticas muy complicadas. Al irse traduciendo la teor�a al lenguaje de los interesados en el tema, se vio que hab�a formas de poner a prueba algunas de las afirmaciones de la teor�a.
Varios investigadores se dieron a la tarea de reexaminar, con las nuevas ideas, algunos flujos conocidos; unos a�os despu�s, Jerry Golub y Harry Swinney, experimentales reconocidos en el campo de los superfluidos, hab�an logrado demostrar que hab�a un flujo que segu�a el camino que insinuaba la teor�a. Reinterpretando observaciones anteriores, encontraron que tras de un par de cambios, el flujo perd�a la br�jula y su estabilidad; en su locura exhib�a la turbulencia en forma descarada y de la manera esperada.
Los experimentos consistieron en estudiar los patrones de flujo que ocurren cuando se pone agua entre dos cilindros conc�ntricos y uno de �stos se pone a girar (Figura V.7(a)). Este arreglo se conoce como el flujo de Couette-Taylor, recordando a quien lo estudi� por primera vez y a quien mejor lo hizo, respectivamente. Lo que ocurre en este sencillo arreglo es sorprendente.
Figura V. 7. (a) Flujo de Couette-Taylor. Diagrama del arreglo experimental.
Al ir aumentando la velocidad con la que gira el cilindro interior, con el cilindro exterior fijo, se llega a un valor para el cual el fluido deja de dar vueltas en �rbitas circulares alrededor del cilindro. Ahora se mueve siguiendo una trayectoria que -puede decirse- est� enrollada en la superficie de una dona contenida entre los cilindros. Observando el sistema se aprecian estas donas, bautizadas celdas de Taylor, a todo lo largo del cilindro exterior (Figura V.7(b)); �sta es la primera transici�n. El patr�n se hace visible cuando se agregan al agua part�culas peque�as.
Figura V. 7. (b) Flujo de Couette-Taylor. Celdas de Taylor.
Al seguir aumentando la velocidad de giro aparece un patr�n de celdas de Taylor moduladas. Como si distintas partes de las donas quisieran ir hacia arriba y parte hacia abajo; una especie de onda congelada se superpone a las celdas de Taylor. Esta segunda transici�n se puede apreciar en la figura V.7(c). Luego, se viene abajo el espect�culo y hace su aparici�n la turbulencia.
Figura V. 7. (c) Flujo de Couette-Taylor. Celdas de Taylor moduladas.
Un movimiento ca�tico alrededor del cilindro es lo �nico que sobrevive del flujo (Figura V.7(d)).
Figura V. 7. (d) Flujo de Couette-Taylor. R�gimen turbulento.
Como lo indica la nueva teor�a, despu�s de un par de transiciones aparece la turbulencia. Desechada la teor�a de Landau, hered� el foro la nueva prima donna (excepto que ahora no est� sola...); pero al igual que con los aplaudidos artistas, deportistas, etc., su tiempo dura en tanto llegan los nuevos.
Como dijera hace unos a�os Uriel Frisch, destacado f�sico contempor�neo: "Yo creo que tenemos un conocimiento peor sobre lo que sucede en un mil�metro c�bico de agua, que sobre lo que ocurre en el interior del n�cleo at�mico." Sabiendo que se refer�a al problema de la turbulencia, como prototipo de esta ignorancia crasa que cargamos sobre los hombros, no puede uno menos que compartir su visi�n.
Una an�cdota sobre este punto la debemos a Sir Horace Lamb (1849-1934), destacado investigador ingl�s en el campo de la mec�nica de fluidos. En un homenaje internacional que se le brind� al cumplir los ochenta a�os, en 1929, declar� lo siguiente: "Cuando muera, espero ir al cielo. Ah�, espero ser iluminado sobre la soluci�n de dos problemas, la electrodin�mica cu�ntica y la turbulencia. Sobre el primero, soy muy optimista..." En cuanto al segundo esperamos que Lamb haya ido al cielo. Seguramente as� sabr� la respuesta del primero. Cabe agregar que el primero fue resuelto por uno de los grandes f�sicos de este siglo, Richard P. Feynman (1918-1988), por lo que le fue otorgado el premio Nobel en 1965. En palabras de Feynman: "la turbulencia es el �ltimo problema importante por resolver de la f�sica cl�sica."
