VI. UNA CUBETA EN ROTACI�N

El sistema del mundo s�lo oscila alrededor de un estado medio del que nunca se aparta salvo por una cantidad muy peque�a. ...P. S. LAPLACE (1788)

A FIN de poder explicar mejor la causa de que se produzca el efecto de Coriolis en la superficie terrestre, perm�taseme empezar por un caso m�s sencillo: sea una cubeta de agua a la que se obliga a rotar en forma uniforme en direcci�n antihoraria y, una vez que la forma de su superficie alcanza el equilibrio, se la congela; la idealizaci�n que estamos haciendo es que esta superficie no ejerce ninguna fuerza de fricci�n sobre cuerpos que se mueven sobre ella. Vamos primero a analizar las fuerzas que act�an sobre una part�cula que gira con la cubeta y luego haremos otro tanto con un objeto que se mueva respecto de ella. Las descripciones se har�n desde dos puntos de vista: el de una observadora fija al laboratorio y el de uno que est� fijo a la cubeta: Inercina y Rotancio, a quienes ya conocimos en el cap�tulo III.

Part�culas en la superficie: Sistema inercial

En la figura se representan las fuerzas que act�an sobre un cuerpo que gire con la cubeta, en un punto de la superficie. Desde el punto de vista de Inercina, la resultante del peso del cuerpo P (que es vertical) m�s la reacci�n del hielo R_N (que es normal a la superficie, ya que no hay fricci�n) es una fuerza horizontal proporcional a la distancia al eje de rotaci�n; �sta es la fuerza que produce la aceleraci�n centr�peta a, es decir, que mantiene la rotaci�n. (N�tese que estoy usando flechas sencillas para representar todos los vectores.) De hecho, de esta construcci�n y la suposici�n de rotaci�n uniforme se deduce la forma de la superficie, que en este caso es un paraboloide de revoluci�n (es decir, la secci�n mostrada en la figura es una par�bola).

Part�culas en la superficie: Sistema no inercial

En esta figura se muestra el equilibrio de fuerzas desde el punto de vista de Rotancio, quien gira con la cubeta y por lo tanto ve al cuerpo en reposo. Seg�n Rotancio hay tres fuerzas que est�n en perfecto equilibrio (o sea, que su resultante es nula): el peso P la reacci�n del hielo R_N y la fuerza centr�fuga F_CF. En resumen:

Inercina: Peso + Reacci�n normal = Aceleraci�n centr�peta

Rotancio: Peso + Reacci�n normal + Fuerza centr�fuga = 0

donde la suma se realiza teniendo en cuenta no s�lo la magnitud, sino tambi�n la direcci�n y sentido de las fuerzas (es decir, "+" indica el proceso de calcular la resultante). Matem�ticamente tan s�lo se ha dicho que la aceleraci�n centr�peta = fuerza centr�fuga, pero las experiencias de ambos observadores son bien diferentes: uno ve al cuerpo girar y el otro lo ve en reposo; no es dif�cil percibir la analog�a con el caso de la piedra de la honda (segunda figura del cap�tulo III) que tambi�n analizaron nuestros personajes.

Antes de estudiar movimientos m�s interesantes sobre la superficie congelada, supongamos que existe gente muy chiquita, de manera que lo que vemos como un simple punto girando con ella es toda una ciudad, Cubet�polis, con todo y su Universidad con su correspondiente laboratorio de f�sica.

Definici�n de "peso" y "vertical" local

Para los cubet�colas, "vertical" y "horizontal" significan perpendicular y tangente a la superficie, respectivamente. Al igual que en la Tierra, estas direcciones dependen del lugar donde se est�; —us� las comillas para no confundirlas con la direcci�n del eje (de rotaci�n) de la cubeta que es la direcci�n del peso (tal y como lo mide Inercina, por ejemplo)—. En cambio, para los buenos alba�iles cubet�colas, "vertical" es la direcci�n de la plomada; es m�s, ellos llaman "peso" a una fuerza igual en magnitud y direcci�n, pero de sentido contrario, a la reacci�n del hielo, es decir

Cubet�cola: "Peso" + Reacci�n normal + 0.

Los f�sicos cubet�colas luego de mucho estudiar (y de viajes a tierras extranjeras, esto es, a otros puntos de la cubeta), descubren que "vertical" y "peso" son conceptos locales, es decir, que constituyen una funci�n de la distancia al centro de la cubeta, al que llaman "polo". M�s precisamente, enuncian que "peso" = peso + centr�fuga, donde peso, sin comillas, es la atracci�n gravitatoria de una tortuga gigantesca sobre la que gira la cubeta congelada; la "vertical" es la direcci�n del "peso". Los terr�colas tenemos por supuesto m�s en com�n con los cubet�colas que con Inercina.

En Cubet�polis vive un f�sico cuyo nombre es Bonifacio Ord��ez, pero que insiste en ser llamado Newtonius Coriolensis (nadie le hace caso). Bonifacio se dedica a estudiar el movimiento de los objetos sobre la superficie de Cubet�polis, la cual, como sabemos, no ejerce ninguna fuerza de fricci�n. Ha descubierto que siempre que le da impulso a un peque�o objeto, �ste se mueve aproximadamente en un c�rculo, como si existiera una fuerza que lo desviara continuamente hacia la derecha. El tiempo que tarda el cuerpo en recorrer el c�rculo es el mismo en todos los experimentos (aproximadamente igual a la mitad del periodo de rotaci�n de la cubeta). Por lo tanto, el di�metro de cada c�rculo es proporcional a la rapidez con que se mueve el cuerpo en cada experimento, la cual permanece constante.

Voy ahora a analizar como explica Inercina el movimiento de los objetos de Bonifacio. Para ella todo cuerpo en la superficie de la cubeta congelada est� sujeto a la acci�n de dos fuerzas reales. Una es la fuerza normal R_N ejercida por la superficie del hielo, la que se halla dirigida en la direcci�n "vertical" local y no puede influir el movimiento "horizontal". La otra, en cambio, es el peso P que s� tiene una componente horizontal, dirigida hacia el centro de la cubeta P_H Esta fuerza central, la componente "horizontal" de P, es la clave que tiene Inercina para explicar los experimentos de Ord��ez.

El peso real tiene una componente "horizontal"

Inercina aplica la ley de Newton y descubre que los movimientos posibles bajo la acci�n de esta fuerza central son siempre oscilaciones alrededor del centro de la cubeta. Algo as� como las �rbitas de los planetas alrededor del Sol, con la diferencia importante que en el �ltimo caso, la fuerza aumenta al acercarse al astro rey, mientras que en el caso de la cubeta esta fuerza disminuye al ir hacia el centro. Esta diferencia se refleja en el hecho que el tiempo en que tarda cada planeta en girar alrededor del Sol var�a; desde tres meses en el caso de Mercurio a 250 a�os en el de Plut�n, mientras que todos los cuerpos que orbitan en la cubeta tardan lo mismo en dar una vuelta. En particular todas las microciudades que est�n en la cubeta (una de las cuales es Cubet�polis) lo hacen al un�sono; que las distancias entre ellas permanezcan constantes es lo que permite establecer el concepto de un pa�s en la superficie de la cubeta (obviamente, Cubetolandia).

Vistas desde arriba, las trayectorias que calcula Inercina con la informaci�n exclusiva de la forma de la superficie, var�an en forma desde un c�rculo a una l�nea recta, pasando por elipses con todas las excentricidades posibles. (Estoy suponiendo que estas trayectorias se encuentran cerca del centro de la cubeta; luego tratar� el caso m�s general.) En la siguiente figura se muestra dos de esas �rbitas. La circular es nada menos que la trayectoria del laboratorio del doctor Ord��ez, mientras que la el�ptica es la de uno de los objetos cuyo movimiento estudia Bonifacio, tal y como lo observa Inercina.

El experimento de Ord��ez visto por Inercina

Nuestro inter�s est� puesto en describir los movimientos absolutos de Bonifacio Ord��ez y de su objeto y de ah�, deducir el movimiento relativo de este �ltimo, visto por el cient�fico en rotaci�n. En las siguientes figuras se puede apreciar c�mo se van desarrollando ambos movimientos, en intervalos de 1/16 del tiempo necesario para dar una vuelta completa. Del lado izquierdo est� lo que registra Inercina (movimiento absoluto) y del derecho lo que observa Bonifacio (movimiento relativo).

Inicialmente, t = 0, ambos observadores coinciden en la posici�n en que est� el objeto:

En ambas partes, la flecha va desde Ord��ez al objeto, es decir, indica la posici�n de este �ltimo relativa a la del cient�fico. Un tiempo despu�s, esta es la situaci�n

N�tese que, para Inercina, Ord��ez no s�lo est� girando, sino que su orientaci�n tambi�n var�a (como var�a tambi�n la de nosotros, los terr�colas, a lo largo del d�a, respecto de las estrellas fijas). La orientaci�n del laboratorio de Ord��ez est� indicada por una peque�a cruz (s�mbolo de los problemas presupuestarios por los que pasan los cient�ficos de Cubet�polis). Del lado derecho, que es el laboratorio de Ord��ez, la cruz est� obviamente fija.

A medida que pasa el tiempo, se observa lo siguiente:

Inercina verifica que el objeto se mueve m�s despacio que Ord��ez cuando est� m�s alejado del centro que �l, y m�s lento cuando se halla m�s cerca,¹⁹ es decir, el objeto se retrasa en los puntos lejanos del eje y se adelanta en los cercanos. Don Bonifacio lo percibe como una rotaci�n relativa del objeto, en el sentido opuesto al que gira la cubeta y al doble de velocidad angular. Por ejemplo, para t = 4 tanto Bonifacio como el cuerpo han girado 90� en el sentido antihorario respecto del espacio absoluto (lado izquierdo) pero aqu�l registra que �ste ha girado 180� y en el sentido horario (lado derecho). Este movimiento relativo es lo que llamamos una oscilaci�n inercial; el factor dos (que aparece por ah� en el texto de G. Coriolis) se debe a que no s�lo la posici�n relativa del objeto cambia, sino que tambi�n lo hace la orientaci�n del laboratorio (indicada por la cruz).

La explicaci�n anterior es v�lida siempre y cuando Cubet�polis se halle cerca del centro de la cubeta, lo que en nuestro caso equivale a estar cerca de un polo, lugar donde el periodo de una oscilaci�n inercial es de medio d�a. En lo que toca a puntos alejados del centro de la cubeta (o del polo, en el caso de la Tierra), el movimiento es un poco m�s complicado en el sentido de que el periodo de oscilaci�n inercial es mayor y, desde el punto de vista de Inercina, la �rbita del objeto no forma una elipse cerrada. De todos modos, la conservaci�n de momento angular implica que el objeto gira m�s r�pido que Cubet�polis cuando est� m�s cerca del eje y m�s lento cuando se aleja lo que es percibido por Rotancio como una oscilaci�n en sentido contrario al de la cubeta.

Lo anterior constituye una explicaci�n sencilla de la oscilaci�n inercial desde el punto de vista de Inercina, es decir, sin poner en juego fuerzas ficticias. La clave de la explicaci�n es la componente en el plano "horizontal" local del peso (cuarta figura) debida a la forma de la superficie de la cubeta. La existencia del efecto de Coriolis en la Tierra est� tambi�n ligada a su forma, m�s precisamente, a la deformaci�n de su superficie respecto de una esfera perfecta, lo que constituye el tema del cap�tulo VIII.