I. GALILEO... ma non troppo

Si he podido ver lejos fue porque me par� sobre hombros de gigantes. ........................... .I. NEWTON

 

GALILEO GALILEI (1564-1642) fue un grande entre los gigantes. Se le suele recordar como el fundador del m�todo experimental de la f�sica; su imagen va asociada con la del telescopio y el plano inclinado, con los instrumentos que dise�� y arm� para observar y medir. Tambi�n es famosa su pol�mica con los aristot�licos de su tiempo que se limitaban a citar a los cl�sicos y pensar c�mo deb�an ser los movimientos de los cuerpos, en vez de observarlos. Por �ltimo, �qui�n no conoce la an�cdota del atrevido maestro arrojando dos cuerpos de diferente peso desde la Torre de Pisa? (An�cdota probablemente ap�crifa pero, como dicen los italianos, Se non � vero... � ben trovatto! )

Galileo y el p�ndulo

Pero, adem�s de se�alar la importancia que Galileo dio a la observaci�n, creo que es igualmente justo destacar su capacidad para extrapolar los resultados de los experimentos hacia casos ideales, estrictamente inalcanzables. Galileo fue tambi�n un maestro de lo que Ernst Mach llamar�a, muchos a�os despu�s, los Gedankenexperimente, los "experimentos pensados". Voy a referirme enseguida a dos de estas generalizaciones: las que en t�rminos modernos conocemos como el principio de inercia y la ley de composici�n de velocidades:

En su primera versi�n del libro de Dialoghi,¹ publicado en 1632, Galileo representa su eterna controversia con los aristot�licos de su �poca por medio de un di�logo entre Salviati y Simplicio, nombre �ste por dem�s significativo �no necesito decir qui�n es quien! Salviati le hace conducir a Simplicio, sin demasiada dificultad, que un m�vil en una superficie inclinada hacia abajo se acelera (es decir, aumenta su velocidad), mientras que en una inclinada hacia arriba se frena. Habiendo llegado a esto, le pregunta:²

SALVIATI.- [...] Ahora dime, �qu� le pasar�a al mismo m�vil en una superficie sin pendiente hacia arriba o hacia abajo? SIMPLICIO.- [...] Ya que no hay pendiente hacia abajo, no hay tendencia natural al movimiento; y ya que no hay pendiente hacia arriba, no hay resistencia a ser movido, de manera que habr� una indiferencia entre la tendencia y resistencia al movimiento... va a permanecer estable. Como Simplicio no parece darse por aludido, debe insistir: SALVIATI.- [...] Pero, �qu� pasar�a si se le diera un �mpetu en una direcci�n?... SIMPLICIO.- [...] No veo causa para aceleraci�n o deceleraci�n... SALVIATI.- �Cu�n lejos se mover�a la bola? (Acorralado, Simplicio concede.) SIMPLICIO.- ... Tanto como continuara la superficie.

De esta forma, Galileo enuncia entonces el principio de la inercia: En ausencia de fricci�n (�sta es la gran generalizaci�n del maestro) o de otra fuerza que act�e en la direcci�n horizontal, un cuerpo impulsado sobre una superficie plana se mueve tanto como se extienda �sta.

Algo que es muy interesante para nuestros prop�sitos es que la imaginaci�n de Galileo no se limita a una superficie plana, a algo peque�o, que pueda caber en un laboratorio. Por lo contrario, enuncia as� su idea de una "superficie sin l�mites";

SALVIATI.- Si la superficie fuera sin l�mites, el movimiento ser�a tambi�n sin l�mites... perpetuo. Para que una superficie no est� [inclinada] hacia arriba o hacia abajo, todas sus partes deben estar igualmente distantes del centro. [de la Tierra].

Un barco, cuando se mueve sobre un mar calmo, es uno de esos m�viles que va sobre un superficie que no est� inclinada hacia arriba o hacia abajo, y si todos los obst�culos externos [fricci�n con el aire y el agua] y accidentales fueran removidos, seguir�a movi�ndose en forma incesante y uniforme por el impulso que recibi�.

Cuarenta a�os despu�s de la traumatizante llegada de los europeos a Am�rica, Galileo est� pensando en una esfera, en el globo terr�queo. Es m�s, est� pensando en el mar y le asigna forma esf�rica al oc�ano en reposo. Esto es lo que llamamos "nivel del mar" cuando nos referimos a la altura de una monta�a o a la en que se mueve un sat�lite artificial.

Punto clave de esta idealizaci�n de Galileo es la ausencia de toda fricci�n, ni con el agua ni con el aire; para ilustrar mejor esta situaci�n, podemos imaginarnos que la superficie perfectamente lisa del mar en reposo est� congelada (�quien haya caminado sobre el hielo sabr� muy bien de su escasa fricci�n!). Seg�n Galileo, un cuerpo que se mueva sobre esta esfera ideal, sin fricci�n (ni ninguna otra fuerza externa), lo hace sin cambiar ni de rapidez, ni de direcci�n.

Que no cambie de rapidez, es un concepto f�cil de entender: recorre espacios iguales en tiempos iguales. En cuanto a que no cambie su direcci�n, no significa que la bola se mueva en l�nea recta, ya que de hacerlo abandonar�a la superficie de la Tierra; lo que s� quiere decir es que el m�vil se traslada a lo largo de un c�rculo m�ximo de la esfera. �Y qu� es un c�rculo m�ximo? Al cortar una rebanada de alguna fruta, el tajo es aproximadamente un c�rculo; cuanto m�s esf�rica sea la fruta y m�s recto vaya el cuchillo tanto m�s cierto ser� esto. Los matem�ticos enuncian solemnemente lo anterior diciendo que "la intersecci�n de una esfera con un plano es un c�rculo". Estos c�rculos pueden ser tan peque�os como uno quiera (basta cortar, casi rozando, la fruta); pero no pueden ser tan grandes como uno quiera: los mayores se obtienen con cortes (o, la intersecci�n con un plano) que pasen por el centro de la esfera. Este es un c�rculo m�ximo.

Hay una infinidad de c�rculos m�ximos, porque hay una infinidad de planos que pasan por el centro de una esfera. Dos c�rculos m�ximos diferentes se cruzan en dos puntos: en la esfera no hay "paralelas" (ya que los c�rculos m�ximos son en ella el equivalente de las l�neas rectas). Pensando en nuestro planeta, sus meridianos (que unen a ambos polos) son la mitad de un c�rculo m�ximo, pero los paralelos no son c�rculos m�ximos, salvo el ecuador.

Por lo tanto, de acuerdo con Galileo, si el m�vil es impulsado hacia el Norte —o hacia el Sur— en este mar congelado idealizado, seguir� sobre el meridiano en que estaba en un principio (es decir; no cambiar� su longitud geogr�fica), dando una vuelta a la Tierra en el tiempo que le lleve recorrer los 40 000 000 de metros de la circunferencia terrestre. Algo similar ocurrir�a si se le impulsara hacia el Este —o hacia el Oeste— desde alg�n punto en el ecuador: esta vez seguir�a en el ecuador; no cambiar�a su latitud geogr�fica

Pero los otros paralelos terrestres no son c�rculos m�ximos (de hecho, tienen un per�metro menor que el del ecuador) y, por lo tanto, el movimiento inercial de Galileo no puede darse a una latitud fija diferente de cero, o sea, sobre un paralelo. Si, por ejemplo, se diera a la bola un impulso hacia el Este desde una latitud de 60�N y una longitud 0� (punto inicial en la figura siguiente), se ver�a —de acuerdo con Galileo— que ir�a acercando al ecuador, cruz�ndolo a los 90�E, alcanzando luego las ant�podas del punto inicial (60�S & 180�E en la parte oculta de la trayectoria), para volver a cruzar el ecuador en los 90�O y finalmente llegar al punto inicial. En todo ese tiempo, el m�vil se habr� estado moviendo —adem�s de sobre la esfera— a lo largo de un plano que tiene una inclinaci�n de 60� en relaci�n con el plano ecuatorial. Para hacer la figura, se le otorg� una velocidad de 1 389 km/h, lo que implica que le toma al cuerpo 28.8 h dar una vuelta completa; cada flecha corresponde a una hora de recorrido (la �ltima est� a las 28 h de su salida).

Es importante darse cuenta de que el recorrido sobre la esfera tiene la misma extensi�n que de aquella sobre el ecuador o a lo largo de los dos meridianos en los ejemplos anteriores. Los ge�metras demuestran que el recorrido m�s corto entre dos puntos y sobre la superficie de una esfera es sobre un c�rculo m�ximo. Es por eso que a veces las rutas de los aviones se ven raras sobre un mapa (plano) pero no lo son sobre el globo. Por ejemplo, para ir por el camino m�s corto desde Mexicali (en Baja California) a Bagdad (en Irak), ambos a aproximadamente 33�N, hay que desplazarse bastante hacia el norte: el punto medio de la trayectoria se encuentra a los 75�N y 37�O. La distancia m�nima entre estas dos ciudades es de 12 400 km; mientras que la ruta entre ambas ciudades a lo largo del paralelo 33�N (que parece recta en un mapa) tiene de longitud 17 800 km. (Quien tenga un globo terr�queo puede verificarlo tensando un hilo entre los dos puntos, o entre otro par; para encontrar la ruta m�s corta entre ellos.) En el diskette que acompa�a este libro pueden encontrar el programa Planeta, con el que pueden experimentar sobre distancias y c�rculos m�ximos en la esfera.

Círculo m�ximo. Mexicali-Bagdad 12 400 km

Distancia (en Kilometros) desde Ensenada. N�tese la deformaci�n de estos c�rculos al proyectarlos sobre un mapa plano.

Posteriormente, Galileo formul� el otro concepto que quiero mencionar aqu�: el que actualmente conocemos como la ley de adici�n de velocidades. Para esto, pone en manos de Salviati la tarea de hacer deducir a Simplicio el lugar donde aterriza una piedra dejada caer desde la punta del m�stil de un barco en movimiento uniforme (nuevamente despreciando toda fricci�n con el aire). Simplicio, por supuesto, est� convencido de que la piedra debe caer hacia atr�s, hacia la popa; sin embargo su amigo le hace ver que...

SALVIATI.- Aquella piedra en la punta del m�stil se mueve tambi�n en una circunferencia [...] tan r�pido como el barco. SIMPLICIO.- [Entonces] la piedra no va a abandonar el barco, [...] sino que va a caer en el mismo lugar que lo hizo cuando la nave estaba quieta.

Galileo imagina al barco y a la piedra realizando el mismo movimiento horizontal, es decir; en una circunferencia alrededor del centro de la Tierra. La piedra tiene adem�s un movimiento vertical, de ca�da hacia el centro de nuestro planeta, que se combina con el anterior de manera que llegue exactamente a la base del m�stil. Es interesante ver c�mo Galileo razonaba de acuerdo con una geometr�a esf�rica, fue posteriormente que se cambi� sus superficies horizontales de esf�ricas a planos; aqu� respetaremos la imagen original del maestro.

Habiendo recordado estos dos grandes resultados de Galileo (el principio de la inercia y la ley de adici�n de velocidades) voy ahora a hacerles una correcci�n debida a la rotaci�n de la Tierra: en primer lugar; la bola que es impulsada sobre el mar sin fricci�n, no se mueve "sin cambiar su direcci�n" (es decir, a lo largo de un c�rculo m�ximo), sino que es desviada hacia la derecha si est� en el hemisferio septentrional o hacia la izquierda en el hemisferio austral. En segundo lugar, la piedra que es dejada caer desde la punta del m�stil, sin ning�n impulso horizontal, no aterriza exactamente en la base de aqu�l, sino lo hace un poco hacia el Este. Estas dos correcciones corresponden a lo que ahora se denomina el efecto de Coriolis.

El p�rrafo anterior no debe ser tomado como una cr�tica al gran maestro: ambas correcciones son rid�culamente peque�as para el caso de los experimentos que realiz� Galileo, por lo que es imposible que �l las hubiera detectado, mucho menos predicho �todav�a no exist�a la mec�nica! De hecho, no fue sino hasta 1851 —219 a�os m�s tarde— que el f�sico franc�s Juan Bernardo Le�n Foucault (1819-1868) demostr� la realidad de la rotaci�n terrestre mediante el p�ndulo que ahora lleva su nombre.

El p�ndulo que construy� Foucault ten�a unos 60 metros de largo y fue colgado, en el Pante�n de Par�s, de un soporte bien dise�ado de modo que no ejerciera fuerzas laterales. Foucault utiliz� un cordel auxiliar para sujetar la masa del p�ndulo en posici�n inclinada respecto de la vertical. Luego de esperar el tiempo suficiente para que todo el sistema estuviera en reposo, Foucault quem� el cordel con el objeto de que el p�ndulo empezara a oscilar sin darle ning�n impulso lateral; la direcci�n de oscilaci�n era f�cilmente observable porque la punta del aparato marcaba su trazo sobre arena fina en el piso.

Uno esperar�a que bajo estas circunstancias el p�ndulo, tan cuidadosamente preparado, siguiera siempre oscilando en el mismo plano vertical. No fue as�: se observ� que este plano giraba muy lentamente, 11.3� por hora, en la direcci�n horaria (la de las manecillas del reloj).³ Al cabo de unas ocho horas estaba oscilando en un plano perpendicular al inicial. Para comparar ambos movimientos, n�tese que el periodo de ese p�ndulo es de tan s�lo unos 16 segundos; al llegar a un plano de oscilaci�n perpendicular al original, el p�ndulo hab�a realizado ya unas mil ochocientas oscilaciones: El efecto de Coriolis es muy peque�o, pero se va acumulando poco a poco con el tiempo.

Este experimento caus� gran sensaci�n, tanto en los medios cient�ficos como entre el p�blico en general, logrando que se terminara por aceptar la realidad de la rotaci�n terrestre. Todav�a en la actualidad nos maravillamos con este fen�meno, ya que hay p�ndulos de este tipo en muchos museos cient�ficos. En vez de mostrar su precesi�n con un trazo en arena, lo hacen generalmente volteando unos postecitos colocados en el piso formando un c�rculo de radio inferior a la m�xima desviaci�n del p�ndulo. El efecto se manifiesta tan lentamente que uno normalmente no tiene la paciencia de esperar a que caiga el siguiente postecito: le cree a los encargados del museo cu�l era la direcci�n de oscilaci�n del p�ndulo a la hora en que se abri� el edificio.

Lo anterior no quiere decir que el efecto de Coriolis sea tan s�lo una curiosidad, sin importancia pr�ctica. Como veremos m�s adelante, este fen�meno es en realidad fundamental para la f�sica de los oc�anos y las atm�sferas planetarias. Es, en consecuencia, importante explicarlo, decir por qu�, en ausencia de fuerzas horizontales —de fricci�n u otras— un cuerpo tiende a desviarse de la direcci�n en que es impulsado, hacia la derecha en el hemisferio septentrional, o hacia la izquierda en el austral. Hay tres preguntas interesantes que contestar: �c�mo es que esta desviaci�n de la horizontal se relaciona con la rotaci�n terrestre? �Por qu� un cuerpo que se deja caer en forma vertical se desv�a hacia el Este? y �por qu� gira el plano de oscilaci�n del p�ndulo de Foucault? A responder estas preguntas —y a otras cosas m�s— est� dedicado este libro.