III. REALIDAD Y APARIENCIA

Ya sean físicos o médicos, para poder trabajar eficientemente, los científicos usan herramientas que no entienden. ........D. RUELLE

ISAAC NEWTON (1642-1727) plasmó las bases de la mecánica en su célebre obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada en 1687, a la que generalmente se conoce como los Principia. En ella Newton establece que la velocidad de un cuerpo no es proporcional a la fuerza total que actúa sobre él (como creía Aristóteles), sino que es proporcional al cambio de velocidad, a lo que llamamos aceleración.

Para entender esta ley; es muy importante tener en cuenta que velocidades y fuerzas no sólo tienen magnitud sino también dirección y sentido: no sólo importa qué tan rápido va un cuerpo y qué tanta fuerza se ejerce sobre él, sino también hacia dónde va y hacia dónde se le empuja. Para simbolizar esto representamos a las velocidades y las fuerzas con flechitas (llamadas vectores); usaremos una flecha sencilla (®) para las velocidades, y una doble (Þ ) para las fuerzas. El largo de la flecha indica qué tan grande es la velocidad o la fuerza; su punta señala hacia dónde va el cuerpo o en qué dirección es aplicada la fuerza.

Busto de Isaac Newton

La ley de Newton (el cambio de velocidad —o aceleración— es proporcional a la fuerza aplicada) tiene diversas consecuencias, de acuerdo a la orientación de ambos vectores. Por ejemplo, si la fuerza actúa en la misma dirección que la velocidad y apunta en el mismo sentido, la rapidez (o magnitud de la velocidad, sin importar su dirección) aumenta:

mientras que si apuntan en sentido opuesto, la rapidez disminuye:

Pero si la fuerza actúa en una dirección perpendicular al movimiento, la velocidad cambia de dirección sin que su rapidez aumente o disminuya:

En estos diagramas ( ñ ) indica la fuerza total es decir, si actúan varias fuerzas entonces ( ñ ) es la resultante de ellas; cómo encontrar a la resultante —o suma— es algo que también determinó Newton.

Un ejemplo de los dos primeros casos corresponde a arrojar una piedra hacia arriba: mientras sube, la fuerza (que es su peso) actúa en sentido opuesto a la velocidad y el cuerpo se frena;

luego, en la bajada, la fuerza tiene la misma dirección que la velocidad y la rapidez aumenta.

Un ejemplo del último caso (fuerza perpendicular a la velocidad) es el de un objeto moviendose en un círculo con rapidez constante. Para que cambie continuamente la dirección de la velocidad, se necesita de una fuerza perpendicular a ésta, dirigida hacia el centro del círculo; a esta fuerza se le llama centrípeta.

Fuerza centrípeda en una honda

En el caso de una honda, la fuerza centrípeta es transmitida por las correas que sujetan a la piedra. En el caso de un planeta girando alrededor del Sol, esta fuerza es la atracción gravitatoria de nuestra estrella favorita.

Digamos que la masa y rapidez del cuerpo son m y v, y que el radio del círculo es r, entonces la magnitud de la fuerza centrípeta es igual a mv²/r. Si la Tierra no rotara, un objeto sobre el mar ideal galileano se movería en un círculo máximo y con rapidez constante; debe haber entonces una fuerza hacia el centro de la Tierra, con magnitud mv²/R_T, donde R_T es el radio terrestre (unos 6.4 millones de metros). ¿Quién ejerce esta fuerza? El cuerpo tiene un peso mg (g = 9.8 m/s²) que debe ser contrarrestado por una fuerza normal a la superficie donde se apoya, de manera que no se hunda. Cuando el cuerpo está en movimiento, la fuerza normal es un poco menor a mg; la diferencia es exactamente la fuerza centrípeta necesaria para que se mueva en un círculo (máximo) de radio R_T.

Si la velocidad del cuerpo es de unos 100 kilómetros por hora (28 m/s), entonces esta diferencia entre la fuerza normal y el peso es unas 80 000 veces más pequeña que cualquiera de las dos. ¿Qué velocidad debería tener un satélite artificial que viajara casi rozando la Tierra? (recuérdese que en estos experimentos pensados no hay fricción con la superficie del mar galileano o con el aire) Como no toca a la Tierra, la fuerza normal es nula y mg debe ser la totalidad de la fuerza centrípeta mv²/.R_T, de donde resulta v = ñ(gR_T) = 8 km/s (este satélite, que ya imaginó Newton, daría una vuelta a la Tierra en 1.4 horas).

Al incluir la rotación terrestre, el satélite artificial del ejemplo hace este mismo movimiento respecto del espacio absoluto, indiferente a que la Tierra gire a sus pies. Por otra parte, un cuerpo sobre el mar galileano hace algo muy diferente, una oscilación inercial. ¿Por qué?

Una dificultad muy grande con la ley de Newton consiste en que es válida siempre y cuando la velocidad y aceleración sean las medidas por un observador inercial, no por un terrícola. Nosotros vemos al Sol dar una vuelta diaria a nuestro alrededor, pero no pensamos que sufra la acción de una fuerza centrípeta (hacia la Tierra) que lo obligue a hacer esto. Por supuesto que sí hay un par de fuerzas de atracción mutua entre la Tierra y el Sol; esta fuerza gravitatoria es responsable de la traslación alrededor del Sol, con una vuelta completa por año y no de la rotación aparente del Sol a nuestro alrededor, con un giro diario.

La ley de Newton con la que empecé este capítulo es, entonces, sólo válida para un observador inercial. ¿Qué puede hacer para usar esta ley un observador que esté rotando respecto al espacio absoluto?, es decir, uno que describe el movimiento (posición, velocidad, aceleración, etc.) desde un sistema de referencia no inercial. Es aquí donde aparece al nombre de Coriolis (aunque voy a cuestionar su prioridad en el caso del océano).

Gaspard Gustave Coriolis

Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843), de familia noble y salud frágil (razón por la que, aparentemente, no se casó), era hijo de un oficial leal a Luis XVI refugiado en Nancy. En 1816 aceptó el cargo de tutor en análisis en la napoleónica ñcole Polytechnique, donde había estudiado. Más que a la investigación, se dedicó a la docencia, en la que se destacó por la claridad de sus conceptos. Sostenía que la mecánica debía enunciar principios generales aplicables a la operación de los motores y al análisis del funcionamiento de las máquinas; eran éstas las que le interesaban, no los océanos y la atmósfera. En términos modernos diríamos que Coriolis era más un ingeniero —o un profesor de ingeniería— que un científico.

Fue precisamente pensando en las máquinas que se interesó en el problema de los movimientos relativos y de los cambios de sistema de referencia. En 1835 publica su artículo "Mouvement relatif des systñmes de corps", donde analiza cómo debe escribirse la ley de Newton para un sistema de referencia cualquiera, en particular, para observadores en rotación respecto de un sistema inercial. Dice Coriolis

Para establecer una ecuación cualquiera del movimiento relativo de un sistema de cuerpos [...] basta con agregar a las fuerzas existentes dos especies de fuerzas suplementarias; las primeras son [...] opuestas a aquellas capaces de mantener los puntos materiales invariablemente ligados a los planos móviles: las segundas están dirigidas perpendicularmente a las velocidades relativas y al eje de rotación de los planos móviles; ellas son iguales al doble del producto de la velocidad angular de los planos móviles, multiplicada por la cantidad de movimiento relativo proyectada sobre un plano perpendicular a este eje.

Es decir, el cambio de velocidad, la aceleración medida por un observador inercial, es también proporcional a la "fuerza total", sólo que en ésta hay que agregar a las fuerzas reales (producidas por la atracción gravitatoria, resortes, cordeles, etc.) dos fuerzas ficticias, que no estarían presentes si el observador fuera inercial. La primera fuerza ficticia corresponde a la aceleración absoluta de un punto fijo a los nuevos ejes coordenados; dentro de ésta se incluye la fuerza centrífuga, a la que haré mención inmediatamente. La otra fuerza ficticia que hay que agregar, tiene una dirección perpendicular a la velocidad observada en el sistema en rotación; ésta es la que hoy se conoce como fuerza de Coriolis, quien concluye

Estas fuerzas últimas poseen la mayor analogía con las fuerzas centrífugas ordinarias [... por lo que] he creído [conveniente nombrarlas] "fuerzas centrífugas compuestas".

Éste es un pésimo nombre (lo que no habla en favor de la claridad didáctica de G. Coriolis), que por suerte no perduró, ya que la fuerza de Coriolis y la centrífuga apuntan en direcciones independientes.

Voy a distinguir entre las fuerzas centrífuga y de Coriolis (mostrando, además, su carácter de "ficticias") mediante el análisis de tres ejemplos. El primero corresponde a un objeto que está rotando relativo al espacio absoluto (digamos, la piedra de una honda) pero se le ve quieto en un cierto sistema no inercial. El último es el caso simétrico, un objeto que está quieto en el espacio absoluto, pero que en un sistema no inercial parece estar rotando.

Para presentar los dos puntos de vista de cada fenómeno, voy a presentar un diálogo entre dos personajes, Inercina y Rotancio. La primera observa el movimiento desde el espacio absoluto,¹¹ y aplica directamente la ley de Newton usando únicamente fuerzas reales. Rotancio, en cambio, ve y mide desde una plataforma en rotación; para aplicar la ley de Newton debe agregar, a las fuerzas reales, la centrífuga y la de Coriolis.

INERCINA.- He aquí un experimento que demuestra la validez de la ley de Newton. Una piedra atada a un cordel gira en forma uniforme. Aunque su rapidez no varía, la velocidad está cambiando continuamente de dirección, por lo que se necesita una fuerza (real) dirigida hacia el centro de rotación. Esta fuerza la ejerzo yo, con mi mano, por intermedio del cordel.

ROTANCIO.- Yo en cambio veo la piedra quieta. Me doy cuenta que la estas jalando porque el cordel se ve tenso; esa fuerza que tú haces está exactamente equilibrada por la centrífuga y es por eso que su velocidad no cambia.

Nótese que Rotancio no habla de la fuerza de Coriolis ya que la piedra, desde su punto de vista, no se mueve y por lo tanto dicha fuerza es nula. Luego siguen...

INERCINA.- ñCaray! se acaba de romper el cordel. La piedra sigue ahora una trayectoria recta; su velocidad no cambia porque ya nadie ejerce una fuerza sobre ella.¹²

ROTANCIO.- En el momento en que se cortó el cordel, vi que la piedra se empezó a mover. Está realizando un movimiento en espiral muy curioso, girando a mi alrededor y alejándose de mí. Acabo de verificar que estos cambios de velocidad corresponden a la acción conjunta de las fuerzas centrífuga y de Coriolis; no hay otras fuerzas actuando sobre la piedra.

Finalmente veamos una experiencia muy sencilla pero poco analizada: cómo observan, a una "estrella fija".

INERCINA.- Esa estrella solitaria está quieta y aislada; no experimenta la acción de ninguna fuerza y su velocidad (nula) permanece inalterable. Este es un ejemplo trivial de la validez de la ley de Newton. ROTANCIO.- Veo a esa estrella girar alrededor del eje terráqueo, es decir, tiene una aceleración centrípeta, dirigida hacia dicho eje. Si Newton y Coriolis están en lo cierto, esa aceleración debe ser igual a la suma de todas las fuerzas —reales y aparentes— que actúan sobre la estrella.

Ese astro se halla demasiado lejano para que la Tierra lo pueda atraer; no hay fuerzas reales. La fuerza centrífuga tiene la magnitud deseada, ñpero apunta en la dirección opuesta a la aceleración! Afortunadamente como veo moverse a la estrella, debo agregar la fuerza de Coriolis. Esta debe ser perpendicular a la velocidad; de hecho, en este caso apunta en la dirección centrípeta.

Haciendo cuidadosamente los cálculos, veo que la fuerza de Coriolis es igual a dos veces la que necesito, mientras que la centrífuga es igual a menos la aceleración: la suma vectorial de ambas fuerzas ficticias me da exactamente la aceleración que observo [2-1=1]. ñNewton y Coriolis han sido reivindicados!

La diferencia de experiencias entre Inercina y Rotancio es entonces explicada mediante las dos fuerzas adicionales que utiliza el segundo. La primera, es la centrífuga que es tanto mayor cuanto más lejos está el móvil del eje de rotación y actúa hacia afuera de él (de ahí su nombre). La otra, es la de Coriolis que es proporcional a la velocidad con que Rotancio ve moverse al objeto y actúa en dirección perpendicular al movimiento. Sobre el carácter aparente de estas dos fuerzas no queda ninguna duda, sobre todo con el último ejemplo (diagrama derecho en la última figura) donde se muestra que las estrellas giran alrededor nuestro "debido" a la acción conjunta de las fuerzas centrífugas y de Coriolis.

¿Cómo explican Inercina y Rotancio el comportamiento del péndulo de Foucault? Para Inercina, un péndulo funciona debido a dos fuerzas, reales, que actúan sobre su masa: el peso y la tensión del cordel. A diferencia del peso, el valor de la tensión no es conocido a priori, sino que sólo se sabe su consecuencia: el cordel no se estira. En un péndulo "normal", el punto de apoyo está fijo respecto del espacio absoluto, mientras que en el péndulo de Foucault, ese punto obligado a moverse en un círculo alrededor del eje terrestre; no debe sorprender que la forma de la tensión que resulta en el segundo caso sea más complicada.

En la figura se muestra un péndulo tipo Foucault, construido en el laboratorio. Y se determina que el punto de apoyo del péndulo se mueva en círculo, en forma tal que el tiempo que tarda en dar una vuelta completa es mucho mayor que el periodo de oscilación del péndulo. La posición de equilibrio del péndulo está un poco inclinada hacia afuera.

No es éste el lugar para repetir el cálculo que haría Inercina (pueden creerme que da el resultado correcto), sólo quiero destacar que, para él, la forma de la Tierra carece de importancia; sólo interesa que el punto de apoyo es obligado a moverse en círculo. Al oscilar el péndulo, se acerca o aleja.

El cálculo que debe hacer Rotancio es mucho más sencillo (recuerden que ambas descripciones son equivalente, G. Coriolis dio las reglas precisas para pasar de una a otra), ya que él ve al punto de apoyo fijo (parte derecha de la figura o un péndulo sobre la Tierra). Claro que Rotancio, por su condición de no inercial, debe usar cuatro fuerzas: el peso, la tensión del cordel, la centrífuga y la de Coriolis. La primera es bien conocida; de la segunda se sabe su efecto (la longitud del cordel no varía); la tercera y cuarta dependen de la posición y velocidad medidas por Rotancio, respectivamente. El efecto de la centrífuga es cambiar la dirección de reposo del péndulo.¹³ En cuanto el péndulo oscila alrededor de esta posición de equilibrio, la fuerza de Coriolis lo desvía poco a poco, provocando que el plano de oscilación rote lentamente, tal y como se observa en los museos de ciencia.

Las explicaciones que dan Inercina y Rotancio acerca de las oscilaciones inerciales, tema que es central para este libro, son presentadas en el siguiente capítulo.