III. REALIDAD Y APARIENCIA

Ya sean f�sicos o m�dicos, para poder trabajar eficientemente, los cient�ficos usan herramientas que no entienden. ........D. RUELLE

ISAAC NEWTON (1642-1727) plasm� las bases de la mec�nica en su c�lebre obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada en 1687, a la que generalmente se conoce como los Principia. En ella Newton establece que la velocidad de un cuerpo no es proporcional a la fuerza total que act�a sobre �l (como cre�a Arist�teles), sino que es proporcional al cambio de velocidad, a lo que llamamos aceleraci�n.

Para entender esta ley; es muy importante tener en cuenta que velocidades y fuerzas no s�lo tienen magnitud sino tambi�n direcci�n y sentido: no s�lo importa qu� tan r�pido va un cuerpo y qu� tanta fuerza se ejerce sobre �l, sino tambi�n hacia d�nde va y hacia d�nde se le empuja. Para simbolizar esto representamos a las velocidades y las fuerzas con flechitas (llamadas vectores); usaremos una flecha sencilla (®) para las velocidades, y una doble (Þ ) para las fuerzas. El largo de la flecha indica qu� tan grande es la velocidad o la fuerza; su punta se�ala hacia d�nde va el cuerpo o en qu� direcci�n es aplicada la fuerza.

Busto de Isaac Newton

La ley de Newton (el cambio de velocidad —o aceleraci�n— es proporcional a la fuerza aplicada) tiene diversas consecuencias, de acuerdo a la orientaci�n de ambos vectores. Por ejemplo, si la fuerza act�a en la misma direcci�n que la velocidad y apunta en el mismo sentido, la rapidez (o magnitud de la velocidad, sin importar su direcci�n) aumenta:

mientras que si apuntan en sentido opuesto, la rapidez disminuye:

Pero si la fuerza act�a en una direcci�n perpendicular al movimiento, la velocidad cambia de direcci�n sin que su rapidez aumente o disminuya:

En estos diagramas ( � ) indica la fuerza total es decir, si act�an varias fuerzas entonces ( � ) es la resultante de ellas; c�mo encontrar a la resultante —o suma— es algo que tambi�n determin� Newton.

Un ejemplo de los dos primeros casos corresponde a arrojar una piedra hacia arriba: mientras sube, la fuerza (que es su peso) act�a en sentido opuesto a la velocidad y el cuerpo se frena;

luego, en la bajada, la fuerza tiene la misma direcci�n que la velocidad y la rapidez aumenta.

Un ejemplo del �ltimo caso (fuerza perpendicular a la velocidad) es el de un objeto moviendose en un c�rculo con rapidez constante. Para que cambie continuamente la direcci�n de la velocidad, se necesita de una fuerza perpendicular a �sta, dirigida hacia el centro del c�rculo; a esta fuerza se le llama centr�peta.

Fuerza centr�peda en una honda

En el caso de una honda, la fuerza centr�peta es transmitida por las correas que sujetan a la piedra. En el caso de un planeta girando alrededor del Sol, esta fuerza es la atracci�n gravitatoria de nuestra estrella favorita.

Digamos que la masa y rapidez del cuerpo son m y v, y que el radio del c�rculo es r, entonces la magnitud de la fuerza centr�peta es igual a mv²/r. Si la Tierra no rotara, un objeto sobre el mar ideal galileano se mover�a en un c�rculo m�ximo y con rapidez constante; debe haber entonces una fuerza hacia el centro de la Tierra, con magnitud mv²/R_T, donde R_T es el radio terrestre (unos 6.4 millones de metros). �Qui�n ejerce esta fuerza? El cuerpo tiene un peso mg (g = 9.8 m/s²) que debe ser contrarrestado por una fuerza normal a la superficie donde se apoya, de manera que no se hunda. Cuando el cuerpo est� en movimiento, la fuerza normal es un poco menor a mg; la diferencia es exactamente la fuerza centr�peta necesaria para que se mueva en un c�rculo (m�ximo) de radio R_T.

Si la velocidad del cuerpo es de unos 100 kil�metros por hora (28 m/s), entonces esta diferencia entre la fuerza normal y el peso es unas 80 000 veces m�s peque�a que cualquiera de las dos. �Qu� velocidad deber�a tener un sat�lite artificial que viajara casi rozando la Tierra? (recu�rdese que en estos experimentos pensados no hay fricci�n con la superficie del mar galileano o con el aire) Como no toca a la Tierra, la fuerza normal es nula y mg debe ser la totalidad de la fuerza centr�peta mv²/.R_T, de donde resulta v = �(gR_T) = 8 km/s (este sat�lite, que ya imagin� Newton, dar�a una vuelta a la Tierra en 1.4 horas).

Al incluir la rotaci�n terrestre, el sat�lite artificial del ejemplo hace este mismo movimiento respecto del espacio absoluto, indiferente a que la Tierra gire a sus pies. Por otra parte, un cuerpo sobre el mar galileano hace algo muy diferente, una oscilaci�n inercial. �Por qu�?

Una dificultad muy grande con la ley de Newton consiste en que es v�lida siempre y cuando la velocidad y aceleraci�n sean las medidas por un observador inercial, no por un terr�cola. Nosotros vemos al Sol dar una vuelta diaria a nuestro alrededor, pero no pensamos que sufra la acci�n de una fuerza centr�peta (hacia la Tierra) que lo obligue a hacer esto. Por supuesto que s� hay un par de fuerzas de atracci�n mutua entre la Tierra y el Sol; esta fuerza gravitatoria es responsable de la traslaci�n alrededor del Sol, con una vuelta completa por a�o y no de la rotaci�n aparente del Sol a nuestro alrededor, con un giro diario.

La ley de Newton con la que empec� este cap�tulo es, entonces, s�lo v�lida para un observador inercial. �Qu� puede hacer para usar esta ley un observador que est� rotando respecto al espacio absoluto?, es decir, uno que describe el movimiento (posici�n, velocidad, aceleraci�n, etc.) desde un sistema de referencia no inercial. Es aqu� donde aparece al nombre de Coriolis (aunque voy a cuestionar su prioridad en el caso del oc�ano).

Gaspard Gustave Coriolis

Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843), de familia noble y salud fr�gil (raz�n por la que, aparentemente, no se cas�), era hijo de un oficial leal a Luis XVI refugiado en Nancy. En 1816 acept� el cargo de tutor en an�lisis en la napole�nica �cole Polytechnique, donde hab�a estudiado. M�s que a la investigaci�n, se dedic� a la docencia, en la que se destac� por la claridad de sus conceptos. Sosten�a que la mec�nica deb�a enunciar principios generales aplicables a la operaci�n de los motores y al an�lisis del funcionamiento de las m�quinas; eran �stas las que le interesaban, no los oc�anos y la atm�sfera. En t�rminos modernos dir�amos que Coriolis era m�s un ingeniero —o un profesor de ingenier�a— que un cient�fico.

Fue precisamente pensando en las m�quinas que se interes� en el problema de los movimientos relativos y de los cambios de sistema de referencia. En 1835 publica su artículo "Mouvement relatif des syst�mes de corps", donde analiza c�mo debe escribirse la ley de Newton para un sistema de referencia cualquiera, en particular, para observadores en rotaci�n respecto de un sistema inercial. Dice Coriolis

Para establecer una ecuaci�n cualquiera del movimiento relativo de un sistema de cuerpos [...] basta con agregar a las fuerzas existentes dos especies de fuerzas suplementarias; las primeras son [...] opuestas a aquellas capaces de mantener los puntos materiales invariablemente ligados a los planos m�viles: las segundas est�n dirigidas perpendicularmente a las velocidades relativas y al eje de rotaci�n de los planos m�viles; ellas son iguales al doble del producto de la velocidad angular de los planos m�viles, multiplicada por la cantidad de movimiento relativo proyectada sobre un plano perpendicular a este eje.

Es decir, el cambio de velocidad, la aceleraci�n medida por un observador inercial, es tambi�n proporcional a la "fuerza total", s�lo que en �sta hay que agregar a las fuerzas reales (producidas por la atracci�n gravitatoria, resortes, cordeles, etc.) dos fuerzas ficticias, que no estar�an presentes si el observador fuera inercial. La primera fuerza ficticia corresponde a la aceleraci�n absoluta de un punto fijo a los nuevos ejes coordenados; dentro de �sta se incluye la fuerza centr�fuga, a la que har� menci�n inmediatamente. La otra fuerza ficticia que hay que agregar, tiene una direcci�n perpendicular a la velocidad observada en el sistema en rotaci�n; �sta es la que hoy se conoce como fuerza de Coriolis, quien concluye

Estas fuerzas �ltimas poseen la mayor analog�a con las fuerzas centr�fugas ordinarias [... por lo que] he cre�do [conveniente nombrarlas] "fuerzas centr�fugas compuestas".

�ste es un p�simo nombre (lo que no habla en favor de la claridad did�ctica de G. Coriolis), que por suerte no perdur�, ya que la fuerza de Coriolis y la centr�fuga apuntan en direcciones independientes.

Voy a distinguir entre las fuerzas centr�fuga y de Coriolis (mostrando, adem�s, su car�cter de "ficticias") mediante el an�lisis de tres ejemplos. El primero corresponde a un objeto que est� rotando relativo al espacio absoluto (digamos, la piedra de una honda) pero se le ve quieto en un cierto sistema no inercial. El �ltimo es el caso sim�trico, un objeto que est� quieto en el espacio absoluto, pero que en un sistema no inercial parece estar rotando.

Para presentar los dos puntos de vista de cada fen�meno, voy a presentar un di�logo entre dos personajes, Inercina y Rotancio. La primera observa el movimiento desde el espacio absoluto,¹¹ y aplica directamente la ley de Newton usando �nicamente fuerzas reales. Rotancio, en cambio, ve y mide desde una plataforma en rotaci�n; para aplicar la ley de Newton debe agregar, a las fuerzas reales, la centr�fuga y la de Coriolis.

INERCINA.- He aqu� un experimento que demuestra la validez de la ley de Newton. Una piedra atada a un cordel gira en forma uniforme. Aunque su rapidez no var�a, la velocidad est� cambiando continuamente de direcci�n, por lo que se necesita una fuerza (real) dirigida hacia el centro de rotaci�n. Esta fuerza la ejerzo yo, con mi mano, por intermedio del cordel.

ROTANCIO.- Yo en cambio veo la piedra quieta. Me doy cuenta que la estas jalando porque el cordel se ve tenso; esa fuerza que t� haces est� exactamente equilibrada por la centr�fuga y es por eso que su velocidad no cambia.

N�tese que Rotancio no habla de la fuerza de Coriolis ya que la piedra, desde su punto de vista, no se mueve y por lo tanto dicha fuerza es nula. Luego siguen...

INERCINA.- �Caray! se acaba de romper el cordel. La piedra sigue ahora una trayectoria recta; su velocidad no cambia porque ya nadie ejerce una fuerza sobre ella.¹²

ROTANCIO.- En el momento en que se cort� el cordel, vi que la piedra se empez� a mover. Est� realizando un movimiento en espiral muy curioso, girando a mi alrededor y alej�ndose de m�. Acabo de verificar que estos cambios de velocidad corresponden a la acci�n conjunta de las fuerzas centr�fuga y de Coriolis; no hay otras fuerzas actuando sobre la piedra.

Finalmente veamos una experiencia muy sencilla pero poco analizada: c�mo observan, a una "estrella fija".

INERCINA.- Esa estrella solitaria est� quieta y aislada; no experimenta la acci�n de ninguna fuerza y su velocidad (nula) permanece inalterable. Este es un ejemplo trivial de la validez de la ley de Newton. ROTANCIO.- Veo a esa estrella girar alrededor del eje terr�queo, es decir, tiene una aceleraci�n centr�peta, dirigida hacia dicho eje. Si Newton y Coriolis est�n en lo cierto, esa aceleraci�n debe ser igual a la suma de todas las fuerzas —reales y aparentes— que act�an sobre la estrella.

Ese astro se halla demasiado lejano para que la Tierra lo pueda atraer; no hay fuerzas reales. La fuerza centr�fuga tiene la magnitud deseada, �pero apunta en la direcci�n opuesta a la aceleraci�n! Afortunadamente como veo moverse a la estrella, debo agregar la fuerza de Coriolis. Esta debe ser perpendicular a la velocidad; de hecho, en este caso apunta en la direcci�n centr�peta.

Haciendo cuidadosamente los c�lculos, veo que la fuerza de Coriolis es igual a dos veces la que necesito, mientras que la centr�fuga es igual a menos la aceleraci�n: la suma vectorial de ambas fuerzas ficticias me da exactamente la aceleraci�n que observo [2-1=1]. �Newton y Coriolis han sido reivindicados!

La diferencia de experiencias entre Inercina y Rotancio es entonces explicada mediante las dos fuerzas adicionales que utiliza el segundo. La primera, es la centr�fuga que es tanto mayor cuanto m�s lejos est� el m�vil del eje de rotaci�n y act�a hacia afuera de �l (de ah� su nombre). La otra, es la de Coriolis que es proporcional a la velocidad con que Rotancio ve moverse al objeto y act�a en direcci�n perpendicular al movimiento. Sobre el car�cter aparente de estas dos fuerzas no queda ninguna duda, sobre todo con el �ltimo ejemplo (diagrama derecho en la �ltima figura) donde se muestra que las estrellas giran alrededor nuestro "debido" a la acci�n conjunta de las fuerzas centr�fugas y de Coriolis.

�C�mo explican Inercina y Rotancio el comportamiento del p�ndulo de Foucault? Para Inercina, un p�ndulo funciona debido a dos fuerzas, reales, que act�an sobre su masa: el peso y la tensi�n del cordel. A diferencia del peso, el valor de la tensi�n no es conocido a priori, sino que s�lo se sabe su consecuencia: el cordel no se estira. En un p�ndulo "normal", el punto de apoyo est� fijo respecto del espacio absoluto, mientras que en el p�ndulo de Foucault, ese punto obligado a moverse en un c�rculo alrededor del eje terrestre; no debe sorprender que la forma de la tensi�n que resulta en el segundo caso sea m�s complicada.

En la figura se muestra un p�ndulo tipo Foucault, construido en el laboratorio. Y se determina que el punto de apoyo del p�ndulo se mueva en c�rculo, en forma tal que el tiempo que tarda en dar una vuelta completa es mucho mayor que el periodo de oscilaci�n del p�ndulo. La posici�n de equilibrio del p�ndulo est� un poco inclinada hacia afuera.

No es �ste el lugar para repetir el c�lculo que har�a Inercina (pueden creerme que da el resultado correcto), s�lo quiero destacar que, para �l, la forma de la Tierra carece de importancia; s�lo interesa que el punto de apoyo es obligado a moverse en c�rculo. Al oscilar el p�ndulo, se acerca o aleja.

El c�lculo que debe hacer Rotancio es mucho m�s sencillo (recuerden que ambas descripciones son equivalente, G. Coriolis dio las reglas precisas para pasar de una a otra), ya que �l ve al punto de apoyo fijo (parte derecha de la figura o un p�ndulo sobre la Tierra). Claro que Rotancio, por su condici�n de no inercial, debe usar cuatro fuerzas: el peso, la tensi�n del cordel, la centr�fuga y la de Coriolis. La primera es bien conocida; de la segunda se sabe su efecto (la longitud del cordel no var�a); la tercera y cuarta dependen de la posici�n y velocidad medidas por Rotancio, respectivamente. El efecto de la centr�fuga es cambiar la direcci�n de reposo del p�ndulo.¹³ En cuanto el p�ndulo oscila alrededor de esta posici�n de equilibrio, la fuerza de Coriolis lo desv�a poco a poco, provocando que el plano de oscilaci�n rote lentamente, tal y como se observa en los museos de ciencia.

Las explicaciones que dan Inercina y Rotancio acerca de las oscilaciones inerciales, tema que es central para este libro, son presentadas en el siguiente cap�tulo.