IV. SOBRE NAVES DE AQU� Y ALL�

Es m�s f�cil viajar en un avi�n, incluso pilotearlo, que entender por qu� puede volar. ...................... ..... J. VON NEUMANN

CON el fin de ilustrar la acci�n del efecto de Coriolis en ausencia de fricci�n u otras fuerzas horizontales, voy a mostrar c�mo es que aqu�l modifica la predicci�n de Galileo ilustrada en la segunda figura del cap�tulo 1, es decir, la trayectoria seguida por una part�cula que recibe un cierto impulso en el mar congelado galileano.

Movimiento inercial, predicho por Galileo Galilei.

Vamos a comparar los resultados con y sin efecto de Coriolis, pero sin incluir la acci�n de otras fuerzas horizontales. Claro que dentro del laboratorio de Galileo —�de dimensiones inferiores a los cientos de kil�metros! —ambas trayectorias coincidir�an. El movimiento horizontal dentro de un laboratorio es como el caso del fregadero no hay tiempo suficiente para que se acumule un efecto tangible de la rotaci�n terrestre (el p�ndulo de Foucault logra esta acumulaci�n porque no se sale de su peque�o territorio durante un tiempo lo suficientemente grande).

Para fijar ideas, repetimos la figura del cap�tulo 1, suponiendo que el cuerpo es arrojado hacia el Este desde los 60�N con una velocidad de 1 389 km/h, lo que implica que tarda 28.8 h (6/5 d) en dar una vuelta completa; las flechas est�n dibujadas cada hora y la �ltima es a las 28 h de haber partido. �Es �ste el movimiento sobre la Tierra en rotaci�n pero sin fricci�n? No, sobre la Tierra, para la misma velocidad absoluta y posici�n inicial, el movimiento es el siguiente:

Movimiento de un cuerpo sobre la Tierra.

El movimiento se realiza con rapidez constante y es principalmente circular (son las oscilaciones inerciales a que hac�a alusi�n m�s arriba) al que se a�ade una suave deriva hacia el occidente. Para velocidades inferiores, el c�rculo resulta menor y la deriva mucho menor, ya que aqu�l es proporcional a la rapidez y �sta es proporcional al cuadrado de la rapidez. Si el cuerpo es lanzado desde el hemisferio sur, el c�rculo inercial es recorrido en el sentido opuesto, pero la deriva es tambi�n hacia el occidente: se puede representar esto colocando un espejo imaginario en el ecuador.

Voy a tratar de convencerlos de que la diferencia entre esta trayectoria y la galileana, de la figura anterior, representa un efecto real, que debe ser producido por una fuerza real. Ning�n observador inercial puede ver este cuerpo recorriendo un c�rculo m�ximo, como si fuera un fen�meno aparente; estrictamente hablando, la predicci�n de Galileo no es correcta. Esto no es una cr�tica al gran maestro, ya que era imposible que imaginara fen�menos de escalas mayores que las de sus experimentos de laboratorio, medio siglo antes de que Newton enunciara la mec�nica, un siglo y medio antes de que Laplace publicara su teor�a de las mareas, dos siglos antes de que Coriolis presentara su trabajo, y m�s de dos siglos antes del experimento definitivo de Foucault.

Para aclarar las ideas, desde nuestra perspectiva moderna podemos pensar en la primera figura como el trazo sobre la superficie terrestre de la posici�n de un sat�lite artificial en �rbita circular. El sat�lite es indiferente a la rotaci�n del planeta. La segunda figura s� corresponde a la trayectoria de un cuerpo sobre el mar ideal galileano, sin fricci�n, pero incluyendo los efectos de la rotaci�n terrestre. Para distinguir entre ambos casos, podemos llamar al primero "sat�lite" y al segundo "barco". No hay que olvidarse que el segundo es un caso altamente idealizado, por la ausencia de fricci�n u otras fuerzas horizontales. La primera figura muestra la �rbita del sat�lite vista desde el espacio absoluto, o sea, por una observaci�n inercial. Para poder compararla con la trayectoria del barco en la segunda gr�fica, debemos conocer la �rbita del sat�lite tal y como la observa un terr�cola, lo que se logra simplemente agreg�ndole una rotaci�n a la trayectoria de la primera figura, como se muestra aqu�.

�rbita de un sat�lite vista por un terr�cola.

Se eligi� la velocidad del sat�lite de manera que tarde 6/5 d ( = 28.8 h) en dar una vuelta completa. Desde el punto de vista terr�cola, mostrado en esta figura, cada 6/5 d, el sat�lite ha ido de 60�N a 60�S y regresado, avanzando 360� de longitud, mientras que la Tierra ha girado (en direcci�n contraria) (6/5) x 360� = 432�. El resultado neto es que el sat�lite parece haber retrocedido 72� ( = 432� - 360�). En seis d�as regresa al lugar de partida luego de cinco bajadas y subidas. (Sin embargo, la �rbita vista por un terr�cola no es por lo general, cerrada; aqu� se eligi� una velocidad muy particular para que fuera as�.)

La diferencia entre esta figura y la primera es un efecto aparente de la rotaci�n terrestre. El hecho de que las oscilaciones inerciales de la segunda figura no se parezcan en nada a esta trayectoria (n�tese que ambas son vistas desde el mismo sistema de coordenadas) es lo que nos permite afirmar que constituyen un efecto real de la rotaci�n de nuestro planeta. Para completar la descripci�n de ambos movimientos, sat�lite o barco, y desde ambos sistemas de observaci�n, espacio absoluto (inercial) o terr�cola (en rotaci�n), falta se�alar como se ven las oscilaciones inerciales del "barco" desde el espacio absoluto. Esto se muestra en la figura siguiente

Movimiento de un cuerpo sobre la Tierra, pero visto desde el espacio absoluto.

En la siguiente gr�fica facilitamos la comparaci�n poniendo los cuatro casos juntos.

En esta gr�fica y las siguientes hay cuatro cuadros, correspondientes a dos fen�menos diferentes y a dos formas distintas de observarlos. Los dos cuadros superiores (etiquetados con I ) muestran c�mo ve las trayectorias una observadora inercial, fija al espacio absoluto, mientras que los dos inferiores (etiquetados con R) hacen lo propio para un terr�cola en rotaci�n respecto del espacio absoluto. Como ya dije antes, el "sat�lite", cuya trayectoria se muestra en los cuadros de la izquierda es indiferente a la rotaci�n terrestre. En cambio, el "barco" (cuadros de la derecha) sufre evidentemente los efectos reales de la rotaci�n terrestre.

De arriba abajo hay un cambio de sistema de coordenadas; de izquierda a derecha se cambia de fen�meno f�sico. Si los efectos de la rotaci�n terrestre fueran aparentes, como pretenden algunos autores, no habr�a diferencia entre izquierda y derecha. N�tese que es m�s sencillo describir al sat�lite en el sistema inercial (cuadro superior izquierdo) y al barco en el sistema en rotaci�n (cuadro inferior derecho). Como es de imaginarse, esto no solo es cierto para la descripci�n de la trayectoria sino tambi�n para la formulaci�n y resoluci�n de las ecuaciones que la gobiernan.

El programa Galileo en el diskette que acompa�a a este libro sirve para reproducir �stos y otros casos. Recomiendo usarlo extensivamente hasta familiarizarse con las diferencias de los cuatro cuadros, con los tipos de soluciones que ocurren con diferentes condiciones iniciales y la enorme distorsi�n que sufren las trayectorias presentadas sobre un mapa plano.

Es necesario hacer un par de aclaraciones sobre las velocidades del barco y el sat�lite. La velocidad V indicada en la parte superior de la gr�fica es la del barco medida por un terr�cola (cuadro inferior derecho), la cual se observa que no cambia con el tiempo. La rapidez del sat�lite medida por un observador inercial (cuadro superior izquierdo) tampoco var�a con el tiempo; su valor V' sobre la superficie terrestre es la suma de V m�s la velocidad de un punto de la Tierra a la latitud inicial. (Ya que en el instante inicial el barco va hacia el oriente, se pueden sumar ambas velocidades sin necesidad de hacer una suma de vectores.)

Por ejemplo, para el caso anterior elegimos V= 556 km/h y la latitud inicial de 60�N. La velocidad, respecto del espacio absoluto, de un punto del ecuador es de (40 000 km) / (24 h)= 1667 km/h y por lo tanto los puntos a 60�N se mueven con una velocidad igual a esta �ltima multiplicada por el coseno de 60�, que es igual 0.5, o sea a 833 km/h. Por lo tanto la velocidad de la proyecci�n de la �rbita del sat�lite sobre la superficie de la Tierra (es decir, la del trazo del cuadro superior izquierdo) es V'= 556 km/h + 833 km/h = 1389 km/h, es por eso que le toma (40 000 km)/(1 389 km/h) = 28.8 h en dar un vuelta completa.

Ésta es la forma correcta de relacionar, en general, las velocidades del barco V y la del sat�lite sobre la superficie terrestre V'; pues est�n medidas en distintos sistemas de coordenadas. Las velocidades del barco, medidas desde el sistema inercial, cuadro superior derecho, y del sat�lite, medida desde el sistema en rotaci�n, cuadro inferior izquierdo, no son constantes sino que var�an con el tiempo: la primera disminuye y la segunda aumenta al acercarse al cuadro. Finalmente, la verdadera rapidez del sat�lite en el espacio absoluto no es V' sino mayor, ya que no se mueve pegado a la superficie terrestre, sino a una cierta altura sobre ella.¹⁴ Por ejemplo, para el caso anterior el sat�lite requerir�a estar a unos 6.5 radios terrestres de altura y su verdadera velocidad ser�a 7.5 xV' =10 389 km/h.

El lector sin demasiado gusto por las matem�ticas puede hacer a un lado todos estos detalles y simplemente notar que V es la velocidad del barco medida por un terr�cola, ya que los par�metros del sat�lite son tales que si el efecto de la rotaci�n terrestre sobre el barco fuera aparente, que no lo es, los cuadros de la izquierda y de la derecha deber�an coincidir, que no lo hacen.

Veamos otros casos: si se arroja el cuerpo desde el mismo lugar pero con una velocidad mucho mayor se obtiene lo siguiente.

La proyecci�n de la �rbita del sat�lite sigue siendo, por supuesto, un c�rculo m�ximo (cuadro superior izquierdo) s�lo que lo recorre m�s r�pido que el caso anterior: le lleva menos de 18 h dar una vuelta completa. Esto lo observa un terr�cola en el hecho que el sat�lite barre m�s la superficie del planeta (cuadro inferior izquierdo). Para el barco la situaci�n es bien diferente (cuadro inferior derecho): la velocidad es suficientemente alta para que la oscilaci�n inercial sea tan grande que el barco llega a cruzar el ecuador. En el instante en que lo cruza el sentido de giro cambia de horario a antihorario.

Comparando las dos �ltimas figuras, podemos pensar que hay una velocidad intermedia en la que el barco casi cruza el ecuador, pero no lo logra. Para una latitud original de 60�N (que estamos usando en todas estas figuras para facilitar la comparaci�n) eso ocurre para una rapidez de 833 km/h, como se muestra en los cuadros de la derecha de la gr�fica siguiente.

F�jense qu� curiosa es la �rbita del sat�lite sobre la superficie del planeta observada por un terr�cola (cuadro inferior izquierdo): es cerrada con forma de ocho. Esto es as� porque al sat�lite le lleva exactamente un d�a recorrer su �rbita (para esto se necesita que est� a una altura de 5.6 radios terrestres). Ese ocho puede ser reducido a un punto sobre el ecuador, es decir, el sat�lite se ve estacionario desde la Tierra; �ste es el caso de los sat�lites de comunicaciones, que han hecho posible que en vez de tener acceso a unos diez canales de televisi�n, con programas malos, en muchos hogares se puedan ver ahora cientos de canales, con programas igualmente malos.

El �ltimo ejemplo es muy ilustrativo; corresponde a lo que pasa si se apoya un cuerpo sobre la superficie terrestre, es decir, V=0.

En el cuadro inferior derecho hay tan solo un punto (que puede ser dif�cil de ver) a 60�N: si se apoya un objeto sobre una superficie horizontal all� se queda, por pulida que est� �sta, indiferente a la rotaci�n terrestre. Un observador inercial ve a ese objeto moverse a lo largo de un paralelo (cuadro superior derecho) que no es un c�rculo m�ximo; de esa forma se ve mover a las ciudades y monta�as terrestres desde el espacio absoluto. En los cuadro de la izquierda se ve la trayectoria correspondiente a un sat�lite que para un terr�cola (cuadro inferior izquierdo) parece detenerse en 60�N y 60�S un instante, para volver a oscilar, como un p�ndulo, alrededor del ecuador.¹⁵

Como ya dije anteriormente, mi objetivo es no s�lo convencerlos de que el efecto de Coriolis es real, sino tambi�n tratar de explicarles cu�l es su causa y qui�n lo descubri� (que no fue G. Coriolis). Quiz�s alg�n lector ya se est� preguntando c�mo puede ser que los solemnes f�sicos (a los que por el siglo de Mozart se les llamaba ge�metras, en recuerdo de Euclides quien dedujo toda la geometr�a a partir de tan s�lo cinco postulados), repito, c�mo puede ser que los f�sicos hagan buen trabajo sin necesariamente entender sus bases, confundiendo lo real con lo aparente.