IV. SOBRE NAVES DE AQUÍ Y ALLÁ

Es más fácil viajar en un avión, incluso pilotearlo, que entender por qué puede volar. ...................... ..... J. VON NEUMANN

CON el fin de ilustrar la acción del efecto de Coriolis en ausencia de fricción u otras fuerzas horizontales, voy a mostrar cómo es que aquél modifica la predicción de Galileo ilustrada en la segunda figura del capítulo 1, es decir, la trayectoria seguida por una partícula que recibe un cierto impulso en el mar congelado galileano.

Movimiento inercial, predicho por Galileo Galilei.

Vamos a comparar los resultados con y sin efecto de Coriolis, pero sin incluir la acción de otras fuerzas horizontales. Claro que dentro del laboratorio de Galileo —ñde dimensiones inferiores a los cientos de kilómetros! —ambas trayectorias coincidirían. El movimiento horizontal dentro de un laboratorio es como el caso del fregadero no hay tiempo suficiente para que se acumule un efecto tangible de la rotación terrestre (el péndulo de Foucault logra esta acumulación porque no se sale de su pequeño territorio durante un tiempo lo suficientemente grande).

Para fijar ideas, repetimos la figura del capítulo 1, suponiendo que el cuerpo es arrojado hacia el Este desde los 60ñN con una velocidad de 1 389 km/h, lo que implica que tarda 28.8 h (6/5 d) en dar una vuelta completa; las flechas están dibujadas cada hora y la última es a las 28 h de haber partido. ¿Es éste el movimiento sobre la Tierra en rotación pero sin fricción? No, sobre la Tierra, para la misma velocidad absoluta y posición inicial, el movimiento es el siguiente:

Movimiento de un cuerpo sobre la Tierra.

El movimiento se realiza con rapidez constante y es principalmente circular (son las oscilaciones inerciales a que hacía alusión más arriba) al que se añade una suave deriva hacia el occidente. Para velocidades inferiores, el círculo resulta menor y la deriva mucho menor, ya que aquél es proporcional a la rapidez y ésta es proporcional al cuadrado de la rapidez. Si el cuerpo es lanzado desde el hemisferio sur, el círculo inercial es recorrido en el sentido opuesto, pero la deriva es también hacia el occidente: se puede representar esto colocando un espejo imaginario en el ecuador.

Voy a tratar de convencerlos de que la diferencia entre esta trayectoria y la galileana, de la figura anterior, representa un efecto real, que debe ser producido por una fuerza real. Ningún observador inercial puede ver este cuerpo recorriendo un círculo máximo, como si fuera un fenómeno aparente; estrictamente hablando, la predicción de Galileo no es correcta. Esto no es una crítica al gran maestro, ya que era imposible que imaginara fenómenos de escalas mayores que las de sus experimentos de laboratorio, medio siglo antes de que Newton enunciara la mecánica, un siglo y medio antes de que Laplace publicara su teoría de las mareas, dos siglos antes de que Coriolis presentara su trabajo, y más de dos siglos antes del experimento definitivo de Foucault.

Para aclarar las ideas, desde nuestra perspectiva moderna podemos pensar en la primera figura como el trazo sobre la superficie terrestre de la posición de un satélite artificial en órbita circular. El satélite es indiferente a la rotación del planeta. La segunda figura sí corresponde a la trayectoria de un cuerpo sobre el mar ideal galileano, sin fricción, pero incluyendo los efectos de la rotación terrestre. Para distinguir entre ambos casos, podemos llamar al primero "satélite" y al segundo "barco". No hay que olvidarse que el segundo es un caso altamente idealizado, por la ausencia de fricción u otras fuerzas horizontales. La primera figura muestra la órbita del satélite vista desde el espacio absoluto, o sea, por una observación inercial. Para poder compararla con la trayectoria del barco en la segunda gráfica, debemos conocer la órbita del satélite tal y como la observa un terrícola, lo que se logra simplemente agregándole una rotación a la trayectoria de la primera figura, como se muestra aquí.

Órbita de un satélite vista por un terrícola.

Se eligió la velocidad del satélite de manera que tarde 6/5 d ( = 28.8 h) en dar una vuelta completa. Desde el punto de vista terrícola, mostrado en esta figura, cada 6/5 d, el satélite ha ido de 60ñN a 60ñS y regresado, avanzando 360ñ de longitud, mientras que la Tierra ha girado (en dirección contraria) (6/5) x 360ñ = 432ñ. El resultado neto es que el satélite parece haber retrocedido 72ñ ( = 432ñ - 360ñ). En seis días regresa al lugar de partida luego de cinco bajadas y subidas. (Sin embargo, la órbita vista por un terrícola no es por lo general, cerrada; aquí se eligió una velocidad muy particular para que fuera así.)

La diferencia entre esta figura y la primera es un efecto aparente de la rotación terrestre. El hecho de que las oscilaciones inerciales de la segunda figura no se parezcan en nada a esta trayectoria (nótese que ambas son vistas desde el mismo sistema de coordenadas) es lo que nos permite afirmar que constituyen un efecto real de la rotación de nuestro planeta. Para completar la descripción de ambos movimientos, satélite o barco, y desde ambos sistemas de observación, espacio absoluto (inercial) o terrícola (en rotación), falta señalar como se ven las oscilaciones inerciales del "barco" desde el espacio absoluto. Esto se muestra en la figura siguiente

Movimiento de un cuerpo sobre la Tierra, pero visto desde el espacio absoluto.

En la siguiente gráfica facilitamos la comparación poniendo los cuatro casos juntos.

En esta gráfica y las siguientes hay cuatro cuadros, correspondientes a dos fenómenos diferentes y a dos formas distintas de observarlos. Los dos cuadros superiores (etiquetados con I ) muestran cómo ve las trayectorias una observadora inercial, fija al espacio absoluto, mientras que los dos inferiores (etiquetados con R) hacen lo propio para un terrícola en rotación respecto del espacio absoluto. Como ya dije antes, el "satélite", cuya trayectoria se muestra en los cuadros de la izquierda es indiferente a la rotación terrestre. En cambio, el "barco" (cuadros de la derecha) sufre evidentemente los efectos reales de la rotación terrestre.

De arriba abajo hay un cambio de sistema de coordenadas; de izquierda a derecha se cambia de fenómeno físico. Si los efectos de la rotación terrestre fueran aparentes, como pretenden algunos autores, no habría diferencia entre izquierda y derecha. Nótese que es más sencillo describir al satélite en el sistema inercial (cuadro superior izquierdo) y al barco en el sistema en rotación (cuadro inferior derecho). Como es de imaginarse, esto no solo es cierto para la descripción de la trayectoria sino también para la formulación y resolución de las ecuaciones que la gobiernan.

El programa Galileo en el diskette que acompaña a este libro sirve para reproducir éstos y otros casos. Recomiendo usarlo extensivamente hasta familiarizarse con las diferencias de los cuatro cuadros, con los tipos de soluciones que ocurren con diferentes condiciones iniciales y la enorme distorsión que sufren las trayectorias presentadas sobre un mapa plano.

Es necesario hacer un par de aclaraciones sobre las velocidades del barco y el satélite. La velocidad V indicada en la parte superior de la gráfica es la del barco medida por un terrícola (cuadro inferior derecho), la cual se observa que no cambia con el tiempo. La rapidez del satélite medida por un observador inercial (cuadro superior izquierdo) tampoco varía con el tiempo; su valor V' sobre la superficie terrestre es la suma de V más la velocidad de un punto de la Tierra a la latitud inicial. (Ya que en el instante inicial el barco va hacia el oriente, se pueden sumar ambas velocidades sin necesidad de hacer una suma de vectores.)

Por ejemplo, para el caso anterior elegimos V= 556 km/h y la latitud inicial de 60ñN. La velocidad, respecto del espacio absoluto, de un punto del ecuador es de (40 000 km) / (24 h)= 1667 km/h y por lo tanto los puntos a 60ñN se mueven con una velocidad igual a esta última multiplicada por el coseno de 60ñ, que es igual 0.5, o sea a 833 km/h. Por lo tanto la velocidad de la proyección de la órbita del satélite sobre la superficie de la Tierra (es decir, la del trazo del cuadro superior izquierdo) es V'= 556 km/h + 833 km/h = 1389 km/h, es por eso que le toma (40 000 km)/(1 389 km/h) = 28.8 h en dar un vuelta completa.

Ésta es la forma correcta de relacionar, en general, las velocidades del barco V y la del satélite sobre la superficie terrestre V'; pues están medidas en distintos sistemas de coordenadas. Las velocidades del barco, medidas desde el sistema inercial, cuadro superior derecho, y del satélite, medida desde el sistema en rotación, cuadro inferior izquierdo, no son constantes sino que varían con el tiempo: la primera disminuye y la segunda aumenta al acercarse al cuadro. Finalmente, la verdadera rapidez del satélite en el espacio absoluto no es V' sino mayor, ya que no se mueve pegado a la superficie terrestre, sino a una cierta altura sobre ella.¹⁴ Por ejemplo, para el caso anterior el satélite requeriría estar a unos 6.5 radios terrestres de altura y su verdadera velocidad sería 7.5 xV' =10 389 km/h.

El lector sin demasiado gusto por las matemáticas puede hacer a un lado todos estos detalles y simplemente notar que V es la velocidad del barco medida por un terrícola, ya que los parámetros del satélite son tales que si el efecto de la rotación terrestre sobre el barco fuera aparente, que no lo es, los cuadros de la izquierda y de la derecha deberían coincidir, que no lo hacen.

Veamos otros casos: si se arroja el cuerpo desde el mismo lugar pero con una velocidad mucho mayor se obtiene lo siguiente.

La proyección de la órbita del satélite sigue siendo, por supuesto, un círculo máximo (cuadro superior izquierdo) sólo que lo recorre más rápido que el caso anterior: le lleva menos de 18 h dar una vuelta completa. Esto lo observa un terrícola en el hecho que el satélite barre más la superficie del planeta (cuadro inferior izquierdo). Para el barco la situación es bien diferente (cuadro inferior derecho): la velocidad es suficientemente alta para que la oscilación inercial sea tan grande que el barco llega a cruzar el ecuador. En el instante en que lo cruza el sentido de giro cambia de horario a antihorario.

Comparando las dos últimas figuras, podemos pensar que hay una velocidad intermedia en la que el barco casi cruza el ecuador, pero no lo logra. Para una latitud original de 60ñN (que estamos usando en todas estas figuras para facilitar la comparación) eso ocurre para una rapidez de 833 km/h, como se muestra en los cuadros de la derecha de la gráfica siguiente.

Fíjense qué curiosa es la órbita del satélite sobre la superficie del planeta observada por un terrícola (cuadro inferior izquierdo): es cerrada con forma de ocho. Esto es así porque al satélite le lleva exactamente un día recorrer su órbita (para esto se necesita que esté a una altura de 5.6 radios terrestres). Ese ocho puede ser reducido a un punto sobre el ecuador, es decir, el satélite se ve estacionario desde la Tierra; éste es el caso de los satélites de comunicaciones, que han hecho posible que en vez de tener acceso a unos diez canales de televisión, con programas malos, en muchos hogares se puedan ver ahora cientos de canales, con programas igualmente malos.

El último ejemplo es muy ilustrativo; corresponde a lo que pasa si se apoya un cuerpo sobre la superficie terrestre, es decir, V=0.

En el cuadro inferior derecho hay tan solo un punto (que puede ser difícil de ver) a 60ñN: si se apoya un objeto sobre una superficie horizontal allí se queda, por pulida que esté ésta, indiferente a la rotación terrestre. Un observador inercial ve a ese objeto moverse a lo largo de un paralelo (cuadro superior derecho) que no es un círculo máximo; de esa forma se ve mover a las ciudades y montañas terrestres desde el espacio absoluto. En los cuadro de la izquierda se ve la trayectoria correspondiente a un satélite que para un terrícola (cuadro inferior izquierdo) parece detenerse en 60ñN y 60ñS un instante, para volver a oscilar, como un péndulo, alrededor del ecuador.¹⁵

Como ya dije anteriormente, mi objetivo es no sólo convencerlos de que el efecto de Coriolis es real, sino también tratar de explicarles cuál es su causa y quién lo descubrió (que no fue G. Coriolis). Quizás algún lector ya se esté preguntando cómo puede ser que los solemnes físicos (a los que por el siglo de Mozart se les llamaba geómetras, en recuerdo de Euclides quien dedujo toda la geometría a partir de tan sólo cinco postulados), repito, cómo puede ser que los físicos hagan buen trabajo sin necesariamente entender sus bases, confundiendo lo real con lo aparente.