III. EN EL PA�S DE LAS MARAVILLAS

CUANDO Benoit Mandelbrot public� en 1975 su primer ensayo sobre fractales no se atrevi� realmente a dar una definici�n matem�tica formal que caracterizara a estos objetos; decidi� simplemente utilizar el t�rmino para denominar las formas que compart�an la caracter�stica com�n de ser a la vez rugosas y autosimilares. Mandelbrot buscaba otorgarles una categor�a intermedia entre los cuerpos euclidianos regulares y lisos que nos son comunes (c�rculo, tri�ngulo, esfera, etc�tera), y las figuras que hoy d�a se denominan geom�tricamente ca�ticas y cuya apariencia es rugosa, pero sin exhibir ning�n patr�n geom�trico regular.

Hacia 1977, el matem�tico se vio forzado a dar una definici�n formal que permitiera distinguir con m�s claridad una entidad fractal. Para hacerlo recurri� al antiguo concepto de dimensi�n de Hausdorff y en respuesta al pragmatismo defini�, en general, todos los fractales como el conjunto de formas con dimensi�n fraccional. Mandelbrot era perfectamente consciente de que esta definici�n, si bien establec�a una frontera bien delimitada con la geometr�a euclidiana de los conos y las esferas (en la que los cuerpos tienen una dimensi�n de Hausdorff entera), dejaba una puerta abierta hacia la regi�n del caos geom�trico. Sin embargo, a la espera de mejores definiciones, inici� el trabajo que con hechos y con el lenguaje de las im�genes le mostrar�a al mundo el verdadero significado del t�rmino fractal. Sus resultados abrieron la puerta de un mundo impresionante donde habita el verdadero sentido de la palabra obsesi�n, donde las matem�ticas se confunden con el arte, y la ciencia ha encontrado nuevas respuestas. Veamos en qu� consisti� su juego.

DE B�SQUEDAS E ITERACIONES

A finales de los a�os setenta Benoit Mandelbrot incursion� en un �rea de las matem�ticas que lo llev� a construir algunos de los objetos geom�tricos m�s complejos y hermosos que se conocen. Lo incre�ble es que el procedimiento que utiliz� para hacerlo es muy sencillo: s�lo hay que repetir y repetir una operaci�n un sinn�mero de veces.

La idea se basa en tomar un n�mero sobre el que se hace una operaci�n, repetir lo mismo con el resultado y continuar haci�ndolo indefinidamente en los siguientes resultados obtenidos. Formalmente se dice que se hace una iteraci�n y se representa de manera general como:

x_n+1=f(x_n).

Para comprenderlo mejor, imaginemos que la operaci�n por repetir consiste en elevar un n�mero al cuadrado. Entonces la iteraci�n se simbolizar�a as�:

x_n+1=x²_n

Al aplicarla sobre un valor inicial cualquiera, por ejemplo, x_o=2, el primer c�lculo nos dar�a x₁=(2)²=4; despu�s x₂=(4)² =16, y x₃=(16)²=256, y as� seguimos. La secuencia de n�meros que se genera:

2� 4� 16� 256� 65536� ...� �

se denomina la �rbita de la iteraci�n, y el punto al que se tiende a llegar (infinito, �, en este caso) se le llama su atractor. Si el valor inicial elegido es distinto, x=0.5, por ejemplo, la �rbita ser�:

0.5� 0.25� 0.0625� 0.00390625� ...� 0,

y el atractor es el n�mero 0.

Si x₀=1, las cosas son un poco distintas, pues el resultado siempre es 1, y no hay manera de salir de ah�; la �rbita est� constituida por un solo punto al que se le llama punto fijo. En la iteraci�n que escogimos, los n�meros x=0 y x� � tambi�n son puntos fijos, pues al elevarlos al cuadrado no producen ning�n resultado distinto.

Al trabajar con una iteraci�n resulta interesante estudiar las caracter�sticas de las �rbitas, atractores y puntos fijos que se obtienen despu�s de hacer las operaciones sobre un gran conjunto de puntos. Aqu� es donde est� la segunda parte del problema, pues una vez elegida la operaci�n, hay que decidir con qu� tipo de n�meros trabajar: �los enteros positivos?, �todos los n�meros de la recta num�rica (a los que llamamos n�meros reales)? Las posibilidades son muchas, pero Mandelbrot seleccion� a los denominados n�meros complejos.

ALGO SOBRE N�MEROS COMPLEJOS

Los n�meros reales constituyen una manera de etiquetar cada punto situado sobre la recta num�rica de forma �nica e inequ�voca; el 1 est� antes que el 2, y el 1.5 se localiza entre ellos; a cada n�mero le corresponde un punto y cada punto tiene su etiqueta num�rica. Hay reglas para sumarlos y multiplicarlos que todos conocemos bien: 2 + 2 = 4, 3 x 4 = 12, etc�tera.

Los n�meros complejos funcionan de manera similar, ya que tambi�n permiten caracterizar puntos, pero �stos no est�n sobre una l�nea, sino sobre un plano al que llamamos plano complejo.

Todo n�mero complejo, al que siempre simbolizaremos con la letra z, consta de dos partes que por razones hist�ricas se denominan real e imaginaria. Hay varias formas de representarlos y una de ellas es como si se tratara de coordenadas. Por ejemplo:

z=(3, -2)

es un n�mero complejo en el que la parte real (que siempre se escribe primero) vale 3, y la parte imaginaria vale -2. De manera m�s general dir�amos que los n�meros complejos se representan de la manera siguiente:

z= (a, b),

donde a y b son la parte real e imaginaria, respectivamente, y pueden ser n�meros enteros o con decimales, positivos o negativos.

Para localizarlos en el plano se construye un sistema coordenado en el que el eje "x" se utiliza para se�alar el valor de la parte real (eje real), y el eje "y" para la parte imaginaria (eje imaginario). Cuando se hace esto es posible construir una representaci�n gr�fica muy sencilla como la de la figura 7, donde como ilustraci�n se localizan los n�meros complejos: z= (4, 0), z=(0, 2) y z=(-3, -3).

Figura 7. Representaci�n gr�fica del plano complejo. La distancia R a la que est� cada n�mero complejo del origen es una medida de su tama�o.

Definir un nuevo conjunto de n�meros es entretenido, pero poco �til si no lo acompa�amos de reglas que permitan trabajar con ellos, por lo menos sumarlos y multiplicarlos. Para los n�meros complejos esto ya est� establecido y resulta relativamente f�cil.

Si queremos hacer la suma de dos n�meros complejos, z1= (a, b) y z₂= (c, d), basta sumar por separado sus partes reales e imaginarias:

z₁ + z₂ = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).

Por ejemplo, si z₁ = (2, 1) y z₂ = (4, 3), su suma nos da:

z₁ + z₂=(2,1) + (4,3) =(2+4,1+3) = (6,4),

en donde el resultado z = (6, 4) tambi�n es un n�mero complejo.

Para la multiplicaci�n la regla es un poco m�s complicada, pero basta seguir la receta:

z₁ + z₂= (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + cb),

donde para obtener la parte real se toma el producto de los t�rminos reales menos el producto de los imaginarios, y para la parte imaginaria se suma el producto de los t�rminos cruzados (real por imaginario).

As�, si z₁ = (2, 1), y z₂ = (4, 3), al multiplicarlos se obtiene el n�mero complejo:

z₁ + z₂ = (2, 1) (4, 3) = ((2 x 4) - (1 x 3), (2 x 3) + (1 x (5, 10).

Ahora tenemos ya todo listo: un conjunto de n�meros y reglas para sumarlos y multiplicarlos, �por qu� no usarlos entonces para jugar con sus iteraciones? Hacerlo constituye una de las posibles v�as para generar fractales, y quiz� sea la ruta que lleve a resultados m�s sorprendentes. Veamos c�mo lograrlo.

PRIMERA SORPRESA, LOS CONJUNTOS DE JULIA

El trabajo pionero en el juego de hacer iteraciones con n�meros complejos fue desarrollado por dos matem�ticos franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, a principios de nuestro siglo. Sus resultados fueron la base sobre la que se construy� la revoluci�n fractal de los ochenta. En particular, Benoit Mandelbrot recuper� su an�lisis sobre el comportamiento de los n�meros complejos cuando la iteraci�n consiste en elevarlos al cuadrado y sumar una constante al resultado. Simb�licamente dir�amos:

Z_n + 1 = Z²n + c,

donde c es la constante y tambi�n es un n�mero complejo. Esta iteraci�n dice simplemente: toma un n�mero y el�valo al cuadrado (multipl�calo por s� mismo), s�male la constante c que elegiste, y repite lo mismo una y otra vez sobre tus resultados. Las �rbitas que ahora se generan son secuencias de n�meros complejos y sus caracter�sticas dependen fundamentalmente de los valores del punto inicial z_o del que se parte y la constante c seleccionada.

Por ejemplo, si el punto inicial es z_o = (1, 0) y la constante c = (0, 1), al hacer la iteraci�n tenemos:

Z₁ = z₀² + c = (1,0) (1,0) + (0,1) = (1,1)

Z₂ = z₁² + c = (1,1) (1,1) + (0,1) = (0,3)

Z₃ = z₂² + c = (0,3) (0,3) + (0,1) = (-9,1)

Z₄ = z₃² + c = (-9,1) (-9,1) + (0,1) = (80,-17)

y as� podemos seguir hasta detectar la naturaleza del atractor. En este caso, cuando se representa la �rbita sobre el plano complejo se ve que la iteraci�n nos aleja cada vez m�s del origen (0,0) sin acercarse a ning�n n�mero complejo determinado. Decimos entonces que el atractor es el infinito y lo representamos diciendo que z =>�.

Desde 1906, Fatou hab�a demostrado que para cada valor de c, la aplicaci�n de esta iteraci�n sobre todos los puntos del plano complejo genera �rbitas que en su mayor�a terminan en z =>�, salvo para un conjunto bien definido de puntos. En estos casos, la iteraci�n detecta puntos fijos; �rbitas peri�dicas donde se repite la misma secuencia de n�meros despu�s de cierto n�mero de iteraciones, o puntos que escapan hacia atractores finitos. A este tipo de puntos cuya iteraci�n NO escapa a infinito, podr�amos llamarlos prisioneros, mientras los otros son escapistas.

Todos los puntos prisioneros pertenecen a lo que llamaremos el cuerpo de un conjunto de Julia. El conjunto, en s�, s�lo est� constituido por la curva que separa a los prisioneros de los escapistas; los puntos del conjunto de Julia tambi�n son prisioneros.

Para localizar los puntos que conforman el conjunto de Julia para una c dada, hay que recorrer el plano complejo buscando la frontera donde se pasa de tener �rbitas que se disparan a infinito, a la regi�n donde esto ya no sucede. El recorrido se convierte en un viaje inolvidable por el pa�s de las maravillas.

En la actualidad, el viaje puede hacerse f�cilmente si se tiene una computadora personal (Dewdney, 1987), y las figuras que se obtienen se ven extraordinarias cuando se reproducen en un monitor de color (ver las im�genes a color). Para los interesados, en el cap�tulo "Para la computadora" se explica la manera de hacer el recorrido, y en las figuras 8 y 9 se ilustra el tipo de resultados que se generan.

Figura 8. Conjuntos de Julia asociados a la iteraci�n z_n+1 = z²_n+c. a) c = (0.12, 0.57); b) c= (-0.12, 0.66); c) c= (0.12, 0.74); d) c= (-0.25, 0.74); e) c= (-0.194, 0.6557); f) c= (0.75, 0.11).

Figura 9. Conjuntos de Julia asociados a la iteraci�n z_n+1 = z²_n+c. (a) c= (0.745, 0.113); (b) c= (1.25, 0); (c) c= (-0.1565, 1.0322); (d) c= (0.32 0.043); (e) detalle de la figura 8(c) en una amplificaci�n del orden de 1/0.0001; (f) detalle de la figura 8 (c) en una amplificaci�n del orden de 1/0.25.

Una observaci�n cuidadosa del borde de estas figuras, donde los prisioneros est�n de negro y los escapistas de blanco, revela un hecho fundamental: la frontera o conjunto de Julia es un fractal y la curva total puede ser regenerada por cualquier trozo que de ella se elija. Esto es, el detalle del contorno se conserva a cualquier escala y de nuevo nos encontramos con una estructura autosimilar. Muestra de esto son las ampliaciones de los detalles arbitrariamente seleccionados de las figuras 8(c) y 8(e) que se presentan en las figuras 9(e) y 9(f), respectivamente. Como puede verse, la estructura de la frontera se repite a cualquier nivel de ampliaci�n, y toda la informaci�n sobre la geometr�a del conjunto est� codificada en el trazo de un solo punto sobre el papel: en la figura 9(f) hay un factor de aumento del orden de 4 y en la 9(e), de �10000! Viajar a lo largo del contorno de cualquiera de estas formas es perderse en el laberinto de un mundo infinitamente repetido, que de nuevo tiene longitud infinita y dimensi�n fraccional.

La incre�ble belleza de la representaci�n gr�fica de los conjuntos de Julia fue puesta en evidencia hace no m�s de 15 a�os por J. H. Hubbard, quien para hacerlo se sirvi� de los grandes adelantos computacionales de nuestra �poca. El trabajo de Hubbard y Mandelbrot mostr� la enorme riqueza de comportamientos que pueden generarse, y la marcada susceptibilidad de la estructura del conjunto ante ligeras variaciones del par�metro complejo c (Figuras 8(f) y9(a)).

Ante un mundo de posibilidades como �ste, lo primero que se nos puede ocurrir es intentar hacer una clasificaci�n. Pero, �c�mo organizar formas que tienen tanto detalle?, en qu� propiedad com�n podemos basarnos? Adem�s, hay que considerar que cada valor de c da lugar a un conjunto de Julia distinto, �c�mo clasificar entonces un n�mero infinito de formas? La respuesta a estas preguntas fue dada en 1980 por Benoit Mandelbrot y las conclusiones que obtuvo son otra muestra clara de su enorme intuici�n visual.

EL FAMOSO CONJUNTO DE MANDELBROT

Del an�lisis de las figuras 8 y 9 se hace evidente que existen dos clases principales de conjuntos de Julia: aquellos para los cuales el cuerpo est� formado por una sola pieza (el �rea del cuerpo se dice que es conexa, figuras 8(a)-(c) y 9(a)-(d), y otros en los que el cuerpo est� desmembrado en infinitas colecciones de puntos m�s o menos aisladas (el �rea del cuerpo es disconexa, figuras 8(d)-(f). A estos �ltimos tambi�n se les llama conjuntos de Cantor o polvos de Fatou.

Esta distinci�n geom�trica da pie a la posibilidad de separar los valores del par�metro complejo c en dos conjuntos bien diferenciados: los que en la iteraci�n Z_n+1 = Z²_n+ c dan lugar a figuras conexas, y disconexas.

En principio, el trabajo de construirlos puede parecer una locura, pues se necesitar�a analizar las posibilidades de un n�mero infinito de sistemas. Sin embargo, para hacerlo, Mandelbrot aprovech� un teorema probado de manera independiente por Julia y Fatou alrededor de 1919.

ATENCI�N: Es posible demostrar que todos los valores de c que dan lugar a conjuntos de Julia conexos (�reas de una sola pieza) comparten la propiedad com�n de producir �rbitas que NO se disparan a infinito cuando se aplica la iteraci�n sobre el punto z₀ (0,0); esto es, el punto z_o = (0,0) es prisionero. Si z₀ = (0, 0) se comporta como escapista, la forma producida es necesariamente disconexa.

Las implicaciones del teorema son sorprendentes; basta aplicar la iteraci�n en un solo punto, el z₀ = (0, 0), para determinar la naturaleza del conjunto de Julia que se obtendr� cuando la iteraci�n se aplique a todo el plano complejo.

Benoit Mandelbrot fue el primero en aprovechar esta propiedad de la iteraci�n cuadr�tica y se dedic� a localizar los valores de la constante c que dan lugar a conjuntos de Julia conexos. Al hacerlo se encontr� con que esta colecci�n de valores de c, que en su honor tiene el nombre de conjunto de Mandelbrot, tambi�n ten�a una estructura sorprendente cuando se representaba en el plano complejo. De nuevo, en el cap�tulo "Para la computadora" se describe c�mo generar por medio de la computadora la representaci�n gr�fica del conjunto de Mandelbrot y sus detalles, que se ilustran en las figuras 10 y 11.

Figura 10. a) Conjunto de Mandelbrot. Se indican sobre la figura las regiones cuyo detalle se amplifica en las figuras 11 (a) y 11(b). (b) Contorno del conjunto de Mandelbrot. Se se�ala la localizaci�n de los valores del par�metro c que dan lugar a los conjuntos de Julia de las figuras 8 y 9. Los puntos 8(f) y 9(a) se encuentran en el denominado Valle de los hipocampos.

Figura 11. Detalles de la frontera del conjunto de Mandelbrot. Las figuras 11(d) y 11(f) son amplificaciones de regiones contenidas en el cuadro que les antecede.

Hay dos maneras de comenzar a describir la estructura geom�trica del conjunto de Mandelbrot (Figura 10); una informal, que se refiere a �l como la representaci�n de un mu�eco de nieve recostado y completamente infestado de granos; la otra, m�s purista, que considera que el cuerpo principal puede pensarse como una forma cardioide (de coraz�n) tangente a un disco circular de menor extensi�n, de los cuales brotan una infinidad de estructuras que se ajustan a la misma descripci�n. Es dif�cil decir que se trata de una figura cuya frontera es endiabladamente complicada, pues a toda escala aparecen formas geom�tricas semejantes a la original, conectadas a trav�s de filamentos que siguen patrones muy poco regulares. Y as�, aunque a simple vista el borde parezca estar salpicado de puntos aislados, puede demostrarse que el conjunto total es conexo (de una sola pieza), ya que siempre puede hallarse, a cierta escala, un filamento que cubra la ruta entre dos puntos aparentemente separados.

El conjunto de Mandelbrot parece ser un fractal en el sentido que hasta ahora hemos manejado. La ampliaci�n de un detalle de su frontera (Figura 11(a)) da lugar a una forma muy similar a la del conjunto completo, y tal parece que esto se repetir� a cualquier escala. Sin embargo, las cosas no suceden exactamente de esta manera. los reto�os de nuestro hombre de nieve resultan ser mas peludos y est�n m�s despeinados que su padre, y en plena lucha generacional las cosas se agravan con cada nuevo descendiente (Figura 11(b)). Como veremos m�s adelante, a entidades como �sta se les sigue clasificando como fractales, pero se les agrupa dentro de una clase particular denominada fractales no lineales; en ellos se pierde la autosimilitud en sentido estricto, pues cada cambio de escala introduce rasgos peculiares.

Quiz� el prop�sito principal de construir el conjunto de Mandelbrot reside en desentra�ar de qu� manera se relacionan la posici�n de un valor del par�metro c dentro de �l y la estructura del conjunto de Julia que se generar� cuando se le utilice para aplicar la misma iteraci�n a todo el plano complejo. Hoy se sabe que el conjunto de Mandelbrot es mucho m�s que una tabla de clasificaci�n para distinguir entre formas conexas y disconexas. En realidad, contiene toda la informaci�n sobre las propiedades geom�tricas de cada conjunto de Julia, pero codificada como en un j�rogl�fico. En s� mismo es el recipiente de una colecci�n completa de versiones reducidas y deformadas de cada uno de ellos.

As�, por ejemplo, todo valor de c que cae dentro del cuerpo del principal en el conjunto de Mandelbrot da lugar a una forma de Julia con apariencia de c�rculo arrugado (Figura 8(a)). Si el valor elegido se encuentra dentro de uno de sus primeros reto�os, los c�rculos se multiplican (Figura 8(c)), y si se le desplaza hacia uno de los filamentos que surgen de �l, las estructuras se adelgazan hasta generar una forma dendr�tica (Figura 9(c)).

Un reto a nuestra capacidad de asombro consiste en hacer una visita a la regi�n del conjunto de Mandelbrot conocida como el valle de los hipocampos (Figura 10(b)). Los valores de c comprendidos en esta regi�n dan lugar a conjuntos de Julia como los de la figura 9(a). Estructuras como �sta inundan el valle con formas geom�tricas que simulan caballos marinos enlazados de m�ltiples maneras (Figuras 11(c) � 11(f)); un verdadero para�so de Neptuno a escalas diversas.

El contorno del conjunto de Mandelbrot es sin duda alguna su secreto m�s apasionante. Es ah� donde se define todo el futuro del reino habitado por los conjuntos de Julia. Si tom�ramos una ruta que nos llevara desde el interior del conjunto de Mandelbrot y, cruzando a trav�s de la frontera, nos depositara en su parte externa, ser�amos testigos del equivalente a una verdadera "transici�n de fases" geom�trica. Un an�lisis de los conjuntos de Julia visitados nos mostrar�a c�mo �stos comienzan a desgajarse., desmoronarse, y finalmente son v�ctimas de una explosi�n violenta que los desmenuza en mil pedazos al atravesar la frontera. Como ejemplo tenemos las figuras de la 8(a) a la 8(d) que corresponden a la ruta trazada sobre el conjunto de Mandelbrot de la figura 10(b), y que nos lleva del interior al exterior del conjunto.

Los detalles de la estructura del contorno del conjunto de Mandelbrot se hacen m�s evidentes cuando se utilizan colores para distinguir las caracter�sticas de la �rbita de iteraci�n que le corresponde a cada valor de la constante c. Al hacerlo se producen im�genes de enorme belleza (v�anse las l�minas) dignas de ser consideradas como verdaderas obras de arte, las cosas han llegado tan lejos que hay quien considera que tienen poderes relajantes sobre aquel que las observa con detenimiento.

La creaci�n de un universo extraordinario poblado de hipocampos, dragones, hombres de nieve, flores y caracoles de extrema complejidad de dise�o, no es una particularidad �nica de la iteraci�n cuadr�tica que hemos estudiado. Existen numerosos casos de relaciones matem�ticas que son capaces de construir su propio mundo fractal (Peitgen, 1986). El an�lisis y clasificaci�n del zool�gico de sus formas ha mostrado a los seres humanos una nueva forma de generar, almacenar y transcribir informaci�n. El juego con iteraciones de n�meros complejos es un mecanismo sencillo para generar estructuras altamente organizadas, utilizando una sola clave. Ilustra con mucha claridad c�mo la presencia de una estructura compleja no necesariamente implica un mecanismo de formaci�n igualmente complicado. Esto hace pensar que, para nuestra sorpresa, la gran similitud con el comportamiento de la naturaleza, en el que la lectura de un solo c�digo puebla nuestro mundo de formas diversas, puede ser m�s que mera coincidencia.