IV. UN MUNDO DE IM�GENES

LOS fractales son, sin duda alguna, mucho m�s que interesantes curiosidades matem�ticas con las cuales alimentar nuestra fantas�a. En ellos reside la esencia del vast�simo lenguaje de una nueva geometr�a que permite describir objetos y formaciones a trav�s de expresiones extraordinariamente compactas.

Sin embargo, a diferencia de la geometr�a euclidiana, en donde los elementos b�sicos pueden generarse de manera directa (l�neas, c�rculos, planos, etc�tera), en la geometr�a fractal las formas primarias son conjuntos de procedimientos matem�ticos (algoritmos) que se encargan de rotar, trasladar, reescalar o deformar figuras de una manera particular.

En este sentido, podemos decir que la geometr�a fractal est� constituida por una infinidad de elementos, cada uno de los cuales representa una transformaci�n geom�trica completa y �nica. Como los s�mbolos gr�ficos del chino y el japon�s, cada algoritmo fractal funciona como un ideograma que transmite un mensaje global caracter�stico.

Los c�digos matem�ticos que subyacen en toda estructura fractal son parte de un concepto que los matem�ticos denominan transformaciones generales de afinidad en el plano. �stas no son más que reglas para escalar, rotar, desplazar y, en ocasiones distorsionar un objeto geom�tricamente. Lo que se puede hacer con ellas es impresionante: la hoja de un helecho, la planta completa, el bosque donde colocarla, las monta�as que lo rodean, o mejor, todo el planeta. La creaci�n y recreaci�n de paisajes, la codificaci�n, reproducci�n y transmisi�n de im�genes, todo est� al alcance de la mano del que est� dispuesto a intentarlo.

TRANSFORMANDO

La naturaleza de cualquier transformaci�n de afinidad permite clasificar a �sta dentro de dos grandes grupos: lineales y no lineales. La diferencia fundamental entre ellas reside en que las primeras respetan las l�neas rectas que constituyen la forma geom�trica sobre la que se aplican, mientras que las segundas no, y por tanto act�an sobre ellas alterando algo m�s que su posici�n, orientaci�n y tama�o.

En ambos lenguajes, lineal o no lineal, el n�mero de algoritmos b�sicos que puede construirse es infinito, pero mientras las reglas del primer dialecto son mucho m�s sencillas, la riqueza de posibilidades del segundo lo hacen especialmente atractivo.

Para ayudar a que todo esto cobre sentido, veamos, poco a poco, c�mo generar la estructura global de una transformaci�n de afinida lineal (Peitgen, 1992).

Tomemos como figura geom�trica inicial un cuadrado de lado L y situ�moslo en un sistema de referencia arbitrario, de forma tal que su v�rtice inferior izquierdo coincida con el origen (Figura 12(a)). Cada punto en la frontera o dentro del cuadrado puede as� caracterizarse por un par de coordenadas (x, y), donde "x" y "y" representan n�meros que siempre son mayores que 0 pero menores que L.

Figura 12. Se ilustra el resultado de aplicar diversas transformaciones sobre la figura de base representada en (a). (b) Transformaci�n de similitud con un factor de escala r = 0.5. c) Transformaci�n de afinidad con r= 0.8 y s= 0.5. d) Desplazamiento x_n = x + h, y_n = y + k.

�C�mo construir una transformaci�n geom�trica que aplicada sobre cada punto de este cuadrado d� lugar a una forma similar; pero de la mitad de tama�o que la original?

El problema se resuelve f�cilmente si consideramos que las coordenadas de todo punto en la nueva figura, que llamaremos (x_n, y_n) para distinguirlas, pueden generarse a partir de las de la primera (x, y) siguiendo una regla que reduzca todo a la mitad, tanto en la direcci�n x como en la y:

X_n = 0.5*x

X_y = 0.5*y.

Para ilustrarlo basta, por ejemplo, aplicar la receta anterior a las coordenadas de los cuatro v�rtices del cuadrado inicial:

(0,0)---> (0.5*0, 0.5*0)---> (0, 0)

(0, L)---> (0.5*0, 0.5*L)---> (0, L/2)

(L, 0)---> (0.5*L, 0.5*0)---> (L/2, 0)

(L, L)---> (0.5*L, 0.5*L)---> (L/2, L/2)

con lo que se obtiene el peque�o cuadrado de la figura 12(b). En un caso como �ste se dice que la transformaci�n ha introducido un factor de escala r=0.5.

Debe ser claro, entonces, que para aumentar o disminuir el tama�o de una figura por un factor de escala r arbitrario, se requiere simplemente aplicar la transformaci�n

X_n = r*x

Y_n = r*y

a cada uno de los puntos que la constituyen. La forma as� generada es similar a la original, pero m�s grande que ella si r es mayor que 1 o m�s chica si r es menor que 1. Como la figura no ha sido deformada se dice que se ha hecho una transformaci�n de similitud.

Si para ampliar el n�mero de posibilidades se utilizan par�metros de escala distintos para cada coordenada, "x" y "y", de manera que:

X_n = r*x.

Y_n = s*y,

el resultado de la transformaci�n geom�trica ya no es un cuadrado regular. Por ejemplo, si r=0.8 y s=0.5, lo que obtendremos es un rect�ngulo m�s largo que ancho, como el de la figura 12(c); sin embargo, se vale decir que sigue siendo una forma geom�trica "af�n" a la inicial (Figura 12(a)). Esta transformaci�n de car�cter m�s general se conoce como transformaci�n de afinidad.

La estructura de reglas geom�tricas como �stas se enriquece si adem�s de reescalar la figura permiten trasladarla a otro sitio o rotarla. Analicemos c�mo lograrlo.

Para desplazar nuestro cuadrado de lado L a cualquier regi�n del espacio es importante notar que todo cambio en la posici�n de una figura puede descomponerse en desplazamientos simples paralelos a cada uno de los ejes del sistema de referencia elegido: primero la movemos horizontalmente y luego verticalmente, o al rev�s. Sin embargo, para asegurar que la forma mantiene su estructura durante el proceso, es necesario que todos los puntos en ella se trasladen de la misma manera. Por ejemplo, si queremos mover la figura 12(a) una unidad en la direcci�n x y otra unidad en la direcci�n y, deberemos sumar un uno a todas las coordenadas del cuadrado:

X_n = x+1

Y_n = y+l.

Si generalizamos esto para cualquier traslaci�n que mueva la figura h unidades en x, y k unidades en y, tendremos:

X_n = x+h

Y_n = y+k,

como se representa en la figura 12(d).

Ahora, siendo m�s ambiciosos, �qu� hacer para trasladar y reescalar simult�neamente la forma geom�trica? Pues como cada cosa se puede hacer de manera independiente, basta ponerlo todo junto:

X_n = r*x + h

Y_n = s*y + k

y aplicar la misma transformaci�n a todos los puntos de la figura que nos interese. Que quede claro, lo que multiplica, reescala; lo que se suma, traslada.

Para completar estas ideas debemos ahora considerar los efectos de una rotaci�n, con lo que tendremos la posibilidad de hacer pr�cticamente lo que queramos. En este punto solicitaremos del lector un acto de fe, que m�s que ahorrarnos l�grimas nos evitar� presentar una explicaci�n demasiado larga.

Cuando se desea rotar una figura cuyos puntos se designan con las coordenadas (x, y), basta aplicar sobre todos ellos la siguiente transformaci�n para obtener las coordenadas (X_n, Y_n) de la nueva figura:

X_n = x*cos (A) - y*sen(B)

Y_n = x*sen(A) + y*cos(B).

Aqu� hay que calcular el coseno y el seno de A y B, que son los �ngulos en que se rotan los lados horizontales y verticales de la figura original, medidos con respecto a los ejes "x" y "y", respectivamente. Por ejemplo, si rotamos el cuadrado de la figura 12(a) un �ngulo A, pero B = 0, s�lo rotar�n los lados horizontales (Figura 13(a)); si por el contrario, A = 0 pero B tiene cierto valor, rotar�n los lados verticales (Figura 13(b)). La figura 13(c) muestra el resultado de combinar ambos efectos. Es importante se�alar que A y B son positivos si se miden, a partir de su eje de referencia, en sentido contrario a las manecillas del reloj; en el otro caso se consideran negativos.

Figura 13. (a) Efecto de la rotaci�n de un �ngulo A de los lados horizontales de la figura de base que se representa con l�neas discontinuas. (b) Efecto de la rotaci�n de un �ngulo B de los lados verticales. c) Rotaci�n general obtenida por la combinaci�n de las dos anteriores. d) Efecto de la aplicaci�n de la transformaci�n de afinidad lineal descrita en el texto.

Con estos antecedentes podemos ya presentar la estructura global de una transformaci�n de afinidad lineal que sea capaz de modificar el tama�o, posici�n y orientaci�n espacial de una forma geom�trica cualquiera. En este camino,

si r y s son par�metros de escala para las coordenadas "x" y "y" respectivamente, h y k son una medida de los desplazamientos honzontal y vertical y A y B son los �ngulos que determinan la naturaleza de la rotaci�n, tenemos:

X_n = r* x* cos (A) - s* y* sen(B) + h

Y_n = r* x* sen (A) + s* y* cos(B) + k,

la cara completa de la transformaci�n que busc�bamos (Peterson, 1988).

Para ilustrar los efectos generales que resultan de realizar una transformaci�n de afinidad lineal como �sta sobre una figura cualquiera, consideremos el caso descrito en la siguiente tabla:

r	s	h	k	A	B
3/4	1/2	1/2	1/4	-30�	-45�

y apliqu�mosla a nuestro ya famoso cuadrado de longitud L.

En estas circunstancias, los v�rtices originales de la figura se desplazan a las posiciones

(0,0)--->(1/2, 1/4)

(L,0)---> (0.65*L + 1/2, -0.375*L + 1/4)

(0,L)---> (0.35*L + 1/2, 0.35*L + 1/4)

(L,L)---> (1.0*L + 1/2, -0.02*L + 1/4)

y la forma resultante, reducida, rotada y trasladada (pero a�n con fronteras rectas), toma la estructura que se indica en la figura 13(d). As� vemos que una definici�n de tablas de transformaci�n como la anterior nos permite producir pr�cticamente la deformaci�n que sea, siempre y cuando nos conformemos con mantener las l�neas rectas, "rectas". Lo m�s importante es que el nuevo dialecto de los fractales lineales se basa completamente en ellas.

Todo fractal lineal puede construirse aplicando reiteradamente un conjunto determinado de transformaciones de afinidad lineales sobre cierta regi�n del espacio. En ese sentido, todo el detalle de una forma fractal puede quedar almacenado en un conjunto de tablas de transformaci�n como la descrita. Esta manera de concebir las cosas es �til en la medida que tengamos acceso a un m�todo que permita extraer la imagen codificada en ellas. Como la t�cnica existe, nuestro problema est� solucionado.

PING-PONG FRACTAL

En la d�cada pasada, M. Barnsley y sus colaboradores desarrollaron una estrategia de trabajo que permite reproducir pr�cticamente cualquier fractal. La idea b�sica es desde el principio art�stica y entretenida: h�gase primero un collage para despu�s jugar sobre �l un ping- pong fractal.

En el m�todo de Barnsley el trabajo se inicia buscando un conjunto de transformaciones de afinidad, que al aplicarse sobre una figura de base arbitraria (como nuestro cuadrado de lado L), d� lugar a nuevas formas que, acomodadas o superpuestas como en un collage, reproduzcan algo que se parezca a la imagen del fractal que se quiere construir.

Por ejemplo, en la reproducci�n del tri�ngulo de Sierpinski de la figura 14(c) bastar�a tomar como base inicial un tri�ngulo y generar tres transformaciones de afinidad que adem�s de reducirlo a la mitad, trasladen los resultados hacia cada uno de sus v�rtices (Figura 14(a)). Las transformaciones correspondientes pueden condensarse en una tabla como la siguiente:

	r	s	h	k	A	B
1	0.5	0.5	0	0	0	0
2	0.5	0.5	0.5	0	0	0
3	0.5	0.5	0.25	0.5	0	0

Cuando los resultados de las tres transformaciones se dibujan juntos (se hace el collage), se ve que representan el esqueleto del tri�ngulo de Sierpinski (Figura 14(b)).

Figura 14 (a) Representaci�n de las tres transformaciones de afinidad necesarias para generar el tri�ngulo de Sierpinski. b) Collage obtenido de la superposici�n de las formas generadas al aplicar las transformaciones anteriores. c) Resultado de jugar ping-pong fractal sobre el collage de la figura (b).

Una vez que se ha identificado el n�mero m�nimo de transformaciones que permiten generar el esqueleto del fractal, puede iniciarse el juego con un ping-pong muy especial.

Si analizamos la estructura geom�trica del tri�ngulo de Sierpinski podemos darnos cuenta de que un mecanismo simple para reconstruirlo podr�a basarse en la aplicaci�n sucesiva de las anteriores transformaciones de afinidad sobre cada una de las tres regiones triangulares generadas. De esta forma, repitiendo el proceso a toda escala producir�amos la imagen del fractal (Figura 14(c)). Sin embargo, poner en pr�ctica este procedimiento puede ser muy engorroso, pues es necesario transformar una gran cantidad de puntos en un orden bien determinado.

Barnsley y su grupo lograron demostrar que el mismo objetivo podr�a alcanzarse siguiendo un camino distinto, el cual, al menos desde el punto de vista de la operaci�n por computadora, resulta menos costoso.

Imaginemos una mesa de ping-pong para tres jugadores formada por canchas triangulares, dispuestas tal y como se indica en la figura 14(b). Para iniciar el juego, el juez del partido lanza una pelota entintada sobre alguna de las canchas y grita un n�mero arbitrariamente elegido entre 1 y 3 (correspondiente a alguna transformaci�n de afinidad). En estas circunstancias, el jugador que recibe la pelota deber� dejarla botar en su cancha, localizar su posici�n dentro de ella (la pelota dejar� una marca en el punto (x, y)), y lanzarla al punto que corresponda, (X_n, Y_n), despu�s de aplicar la transformaci�n de afinidad voceada por el juez. Si el jugador acierta el tiro (y siempre lo hace), el �rbitro deber� elegir otro n�mero al azar (entre 1 y 3) para que quien tenga la pelota en su cancha, registre de nuevo la posici�n del bote y conteste buscando atinar a la coordenada resultante de aplicar la transformaci�n que ahora le corresponde. Continuando de esta forma con el juego y confiando en la habilidad de los deportistas, podemos preguntarnos despu�s de un tiempo razonable, qu� figura se ha formado sobre la cancha despu�s de tanto rebote. La respuesta quiz� parezca sorprendente, pero el campo de juego completo reproducir� la imagen de nuestro fractal triangular (Figura 14(c)).

La propuesta de principio es entonces genial. Basta, para construir el fractal, elegir de modo arbitrario un punto inicial y a partir de �l aplicar reiteradamente las transformaciones de afinidad en un orden seleccionado al azar. Si se dibuja sobre un plano la �rbita de la iteraci�n as� generada, la figura obtenida reproducir� la estructura del fractal cuyo esqueleto est� descrito por el conjunto de transformaciones de afinidad con el que se prepar� el collage original.

Bajo este principio podr�amos preguntarnos, �c�mo reproducir la carpeta de Sierpinski de la figura 5(b)? En este caso, la forma de partida puede ser un cuadrado o rect�ngulo al que hay que aplicar ocho transformaciones de afinidad. Cada una de ellas se encargar� de producir un nuevo cuadrado o rect�ngulo tres veces m�s peque�o que el original, trasladado a manera de generar un collage como el siguiente:

Ahora tan s�lo nos queda jugar con �l al ping-pong fractal.

En estos dos ejemplos todas las transformaciones de afinidad utilizadas generan formas b�sicas de �rea similar. Cuando esto no sucede es necesario modificar un poco las reglas del juego, con el fin de asegurar que cada cancha ser� visitada un n�mero de veces proporcional a su extensi�n en el espacio.

Para ilustrarlo apliquemos las siguientes cuatro transformaciones de afinidad sobre una figura inicial de forma rectangular:

	r	s	h	k	A	B
1	0.0	0.16	0.0	0.0	0.0	0.0
2	0.3	0.37	0.0	0.44	135	-40
3	0.3	0.34	0.0	1.6	45	45
4	0.85	0.85	0.0	1.6	-1.5	-1.5

La superposici�n de los resultados da lugar a un esqueleto como el de la figura 15 (a), donde el pol�gono resultante de aplicar la �ltima transformaci�n de afinidad es el de mayor �rea.

Al jugar ping-pong fractal sobre este collage, asegurando que la probabilidad de visita de cada regi�n espacial (p₁) sea proporcional a su �rea:

P₁=0.005           p₂=0.0975            p₃=0.0975           p₄=0.8

el resultado es una incre�ble hoja de helecho con estructura fractal (Figura 15(b)), en la que cualquiera de sus partes es similar al total. �Una imagen tan compleja contenida en s�lo cuatro formaciones de afinidad! Una imagen que, para los interesados, puede reconstruirse con incre�ble facilidad (v�ase el cap�tulo "Para la computadora").

Figura 15. (a) Collage que sirve de base para la construcci�n de la hoja de helecho fractal del inciso b).

Utilizar en forma pr�ctica el m�todo de Barnsley para la construcci�n de fractales requiere en gran medida de una interacci�n estrecha entre el observador y la computadora. S�lo as� puede encontrarse el conjunto m�nimo de transformaciones de afinidad que permitir� reproducir la imagen deseada. Procediendo de esta manera existe la posibilidad de desarrollar nuestro esp�ritu creativo y dise�ar desde peque�os arbustos (Figura 16) hasta los m�s complejos paisajes fractales. �Por qu� no probar y construir su cat�logo personal de im�genes fractales? Todo se vale.

Figura 16. a) Superposici�n de las formas obtenidas al aplicar las siguientes transformaciones de afinidad sobre una figura rectangular:

	r	s	h	k	A	B
1	0.47	0.12	0.77	0.77	80	-50
2	0.49	0.66	0.42	0.75	60.5	47.8
3	0.53	0.55	0.9	1.3	-20.6	-48.9
4	0.53	0.76	0.6	0.1	-10	-2

b) Fractal generado al jugar ping-pong sobre el collage anterior (p₁ =0.05, p₂= 0.3, p₃ = 0.3, p₄=0.35).

Y TODAV�A HAY M�S

La riqueza de los dise�os finales que se obtienen puede incrementarse notablemente si se incopora el uso de tranformaciones de afinidad no lineales. Como ya lo mencionamos, en este caso la aplicaci�n de un algoritmo deforma las l�neas rectas de la figura original, dando lugar a nuevas estructuras cuya apariencia tiene poco que ver cxon la de aquella.

Para poner un ejemplo, baste decir que son suficientes dos transformaciones de afinidad no lineales (J�rgens, 1990) para recuperar las intrincadas formas de los conjuntos de Julia presentados en el cap�tulo anterior. Jugando ping-pong fractal con ellas se obtienen resultados como los que se muestran en la figura 17.

Figura 17. Formas de Julia obtenidas jugando ping-pong fractal con dos transformaciones de afinidad no lineales. a) c=(-0.12, 0.74); b) c=(0.1565, 0.322); c) c=(1.25, 0); d) c=(0.32, 0.043).

�Qu� m�s se puede pedir? Con un poco de paciencia y cierta dosis de creatividad podemos generar pr�cticamente lo que queramos, con un nivel de detalle que en muchas ocasiones resulta inimaginable.

Todo esto, por supuesto, s�lo es una muestra de la enorme potencialidad pr�ctica de la geometr�a de los fractales. En la actualidad su uso ha permitido reducir significativamente la cantidad de datos necesarios para transmitir almacenar o simular casi cualquier imagen. Hoy d�a, de manera sistem�tica, la escena de inter�s (fotograf�a o video) es trasladada a la computadora, donde se analiza y secciona en trozos de diversos tama�os, asegurando que el color o tono dentro de ellos se mantenga relativamente constante. Elegidas as� las piezas del collage, se inicia la b�squeda sobre una enorme variedad de transformaciones de afinidad (existen cat�logos para formas est�ndar) del conjunto de algoritmos necesarios para reproducirlas. La imagen queda entonces codificada como un sistema de funciones que se almacena o transmite con facilidad. Posteriormente, si se quiere recrear la escena original, s�lo es necesario seguir las reglas del ping-pong fractal; y a�n m�s, la reconstrucci�n puede hacerse de manera secuencial con el fin de generar im�genes animadas en las que es posible incluir hasta treinta figuras distintas en cada segundo.

La t�cnica de Barnsley (o m�s formalmente, el m�todo de sistemas de funciones iteradas) no es el �nico camino que se conoce para obtener fractales que simulan la estructura de objetos naturales. En particular, las caracter�sticas de fractales clasificados como aleatorios han sido fuertemente explotadas en este terreno.

Un fractal se considera aleatorio cuando en su construcci�n intervienen elementos condicionados por el azar. Por ejemplo, imaginemos que queremos reproducir el perfil de una monta�a partiendo de una figura regular como un tri�ngulo (Figura 18(a)). Iniciemos el trabajo localizando los puntos medios de cada lado, y desplac�moslos verticalmente a una distancia d_i determinada por algo que produzca n�meros aleatorios. Si unimos con l�neas los puntos desplazados (Figura 18(b)), la forma resultante estar� constituida por cuatro tri�ngulos m�s peque�os, que a diferencia de los obtenidos por el m�todo de Barnsley para la carpeta de Sierpinski, no son necesariamente iguales. Si sobre cada una de estas nuevas partes se repite el mismo procedimiento (Figura 18(c)), y se contin�a haci�ndolo sobre las figuras resultantes (Figura 18(d)) hasta que sea imposible distinguir los lados de cada tri�ngulo, el resultado ser� una estructura poligonal muy rugosa y compleja que con un manejo adecuado de tintes, luces y sombras puede convertirse en una excelente reproducci�n de una monta�a.

Figura 18. Construcci�n gr�fica de una fractal aleatorio. La estructura final simula una monta�a.

Aplicando el mismo procedimiento sobre figuras poligonales diferentes a nuestro tri�ngulo, pueden generarse paisajes monta�osos que exhiben tanto detalle como el de una verdadera fotograf�a.

En la recreaci�n de un paisaje fractal la mayor�a del tiempo y esfuerzo que se emplea no se gasta en el trabajo matem�tico de construir las diferentes estructuras geom�tricas que formar�n la composici�n, sino en los detalles art�sticos de selecci�n de colores, texturas y sombras. Los investigadores y los artistas trabajan juntos estudiando las caracter�sticas del reflejo de la luz sobre diversas superficies, o los mecanismos para hacer resaltar una estructura particular. El resultado es una obra de arte en todos los sentidos.

Otros m�todos de simulaci�n de im�genes desarrollados por B. Mandelbrot y sus colaboradores recurren al uso de los patrones generados en caminatas aleatorias o se�ales de ruido de radiofrecuencia, para generar los contornos de costas, nubes o macizos rocosos. En este caso, aunque las escenas obtenidas pueden ser muy realistas, existen serias desventajas asociadas al hecho de que la t�cnica no es sistem�tica y requiere de un largo periodo de prueba y error.

Las diversas rutas que pueden seguirse para crear entidades fractales semejantes a objetos reales, junto con el m�todo descrito para "comprimir" escenas y automatizar la reproducci�n de paisajes, abren las puertas a un mundo de incre�bles posibilidades. La transmisi�n de fotograf�as e incluso de pel�culas por v�a telef�nica, as� como la recreaci�n de universos imaginarios que sirvan de escenograf�a al cine de ciencia ficci�n de los pr�ximos a�os son s�lo dos ejemplos de los muchos proyectos que est�n en desarrollo.

Los fractales que se obtienen por m�todos matem�ticos o geom�tricos como los hasta ahora descritos son en ocasiones demasiado regulares y perfectos como para servir de modelo para patrones naturales. Esto ha llevado a tratar de incluir en los algoritmos matem�ticos las caracter�sticas conocidas sobre los procesos de crecimiento y formaci�n de objetos reales. De esta manera, y poco a poco, los fractales aparecen como herramientas fundamentales en el trabajo de no pocos f�sicos, qu�micos y bi�logos.

El conocimiento de las reglas b�sicas de la geometr�a de los fractales est� revolucionando nuestras concepciones sobre las formas y su imagen, su gestaci�n y crecimiento, dot�ndonos de nuevas armas para descifrar algunas de las claves que rigen los astutos juegos de la naturaleza.