V. JUEGOS NATURALES

HEMOS insistido hasta el cansancio que los fractales est�n por todas partes y que las caracter�sticas de su estructura los hacen particularmente adecuados para describir la geometr�a de una infinidad de formas naturales. Ahora surgen las preguntas inevitables: �Por qu�? �Qu� tipo de mecanismo o proceso de crecimiento los produce? �Qu� se esconde detr�s de la formaci�n de un fractal en el mundo real?

Para contestar estas preguntas lo primero que hay que hacer es tratar de ser lo m�s honestos posible. Por principio de cuentas, si bien es cierto que los fractales son en muchos casos buenas aproximaciones de la realidad, la verdad es que no hay estructura real que soporte ser ampliada repetidamente un n�mero infinito de veces y siga mostrando la misma cara; para todo hay l�mites. A nivel microsc�pico llegar� el momento en que la figura se desdibuje y nos encontremos con los �tomos y las mol�culas; a nivel macrosc�pico siempre hay una frontera en la que el objeto real cambia de un tipo de patr�n a otro.

Por otra parte, como las estructuras fractales han aparecido en �reas tan distintas como la distribuci�n de galaxias en el Universo y la propagaci�n de enfermedades infecciosas, es todav�a muy pronto para decir si se trata de problemas diferentes que requieren de una explicaci�n particular, o si hay un principio general �nico que permite explicarlo todo.

Han surgido as� diversos modelos que consideran las caracter�sticas f�sicas, qu�micas o biol�gicas del sistema de inter�s y proponen mecanismos de crecimiento que dan lugar a estructuras fractales muy semejantes al objeto real. Las distintas propuestas contienen ingredientes comunes que hacen pensar en la presencia de principios universales, pero no todo es claro y pocos se atreven a aventurarse.

Hay maneras muy sencillas de generar estructuras fractales en un laboratorio, o aun en la casa, si se tiene el equipo adecuado. El an�lisis de su crecimiento permite obtener pistas sobre los mecanismos que se han encargado de inundar la naturaleza con formas fractales. Algunos de los ejemplos m�s ilustrativos los encontramos al realizar experimentos en electroqu�mica o sobre flujo de fluidos; deteng�monos un poco en ellos para comprenderlos.

AGREGADOS FRACTALES

Cuando uno se pregunta c�mo se forma una roca, un diamante o un cristal de cuarzo, las respuestas que se obtienen son muy distintas. Un cristal perfecto, por ejemplo, se forma normalmente en condiciones de equilibrio donde las part�culas que lo constituyen se agregan muy lentamente y pueden cambiar de posici�n un sinn�mero de veces. Sin embargo, en la mayor�a de los casos no hay tiempo para tantos lujos; la formaci�n de objetos naturales, desde monta�as hasta seres vivos, se da en condiciones muy alejadas de la situaci�n de equilibrio y a trav�s de procesos irreversibles (Sander, 1987).

Tal es el caso de una categor�a especial de objetos fractales que durante los �ltimos a�os ha merecido la atenci�n de muchos cient�ficos: los denominados agregados fractales (Matsushita, 1984). Se trata de sistemas en los que una gran cantidad de part�culas se agrupan para generar un cuerpo con estructura irregular y son muy familiares a los qu�micos, pues se les obtiene en procesos de sedimentaci�n, electrodeposici�n, floculaci�n y agregaci�n de coloides, aerosoles, polvos, etc�tera. En particular, la formaci�n de agregados fractales met�licos que se depositan electroqu�micamente sobre superficies que tienen geometr�as diversas, ha impulsado un nuevo campo de investigaci�n que rinde frutos importantes en el �rea de tecnolog�a de pilas y bater�as.

Para entender mejor qu� es y c�mo se forma un agregado fractal por electrodeposici�n electroqu�mica hasta hacer el siguiente experimento (Talanquer, 1991):

El material necesario consiste en dos pedazos de vidrio de ventana en forma de disco circular de 15 cm de di�metro, dos trozos de alambre de cobre de 1 mm de di�metro transversal, una pila de 1.5 � 5V, masking-tape, una jeringa y disoluciones de sulfato de cinc (ZnS04) a diversas concentraciones (por ejemplo, 1 g de ZnS04 en 100 ml de agua u 8 de la sal en 100 ml de agua).

Con el alambre de cobre se construyen los electrodos: uno de ellos, con forma de c�rculo de 10 cm de di�metro, se coloca entre las placas de vidrio, centr�ndolo con respecto a una peque�a perforaci�n hecha en la placa superior; para el otro se corta un trozo recto de alambre que se introduce en el agujero central (Figura 19).

Para mantener los discos de vidrio juntos basta colocar en el borde unas tiras de masking-tape, y la disoluci�n de sulfato de cinc se inyecta con una jeringa a trav�s de la perforaci�n, asegurando que cubra uniformemente la regi�n entre el orificio y el electrodo circular.

El experimento comienza cuando el polo negativo de la pila se conecta al electrodo central (c�todo) y el positivo al electrodo circular (�nodo).

Figura 19. Esquema de la celda electroqu�mica para el crecimiento de un agregado fractal.

La diferencia de potencial aplicada entre los electrodos hace que los iones cinc migren hacia el electrodo central y se depositen sobre �l. Al cabo de unos cuantos minutos se ve la formaci�n de un agregado met�lico que comienza a ramificarse en todas direcciones y que alcanza un di�metro considerable ( 6 cm) despu�s de una hora de crecimiento.

La estructura final del agregado depende tanto de la concentraci�n de la sal como del voltaje aplicado (Argould, 1988; Kahanda, 1989). Se han identificado as� al menos cuatro tipos de patrones distintos (Grier; 1986; Sawada, 1986): fractales y homog�neos (Figuras 20 (a) y (b)), dendr�ticos y filiformes (Figuras 20(c) y (d)). Los primeros dos son agregados desordenados que crecen lentamente y, como veremos, tienen dimensi�n fraccional; los segundos tienen estructura cristalina y se forman con m�s rapidez. De hecho, es posible construir una especie de diagrama de fases donde se localiza la concentraci�n y el voltaje, en la que aparece cada una de estas estructuras (Figura 21). El experimento que hemos propuesto asegura la formaci�n de fractales si se trabaja con una pila de 1.5 V y permite obtener tambi�n dendritas si la pila es de 5 V (para la disoluci�n menos concentrada).

Figura 20. Dep�sitos de cinc en una celda circular. (a) fractal; (b) homog�neo; (c) dendr�tico; (d) filiforme (Fotos: Guillermo Sosa).

Figura 21. Diagrama de fase para los dep�sitos de cinc. Las estructuras tipo fractal crecen a valores bajos de voltaje (V). La concentraci�n (c) est� medida en moles de sulfato de cinc por litro de soluci�n (1 mol de ZnSO₄ tiene una masa de 161.4 g)

El que se forme una estructura fractal o un dep�sito cristalino est� condicionado por muchos factores: las caracter�sticas del transporte de iones en disoluci�n, los mecanismos de transferencia de carga en los electrodos y las propiedades particulares del s�lido formado (Voss, 1985); el papel que desempe�a cada uno de ellos no es del todo claro. El tipo de sal con el que se trabaja es tambi�n de gran importancia: las sales de cobre y cadmio s�lo permiten obtener estructuras fractales y homog�neas, mientras que las sales de plata dan lugar a hermosas formas de todos los tipos (v�anse las im�genes a color).

Cosas tan simples como la geometr�a de la celda de electrodeposici�n pueden influir sobre los diferentes reg�menes de crecimiento; no es lo mismo trabajar con una celda circular que con una rectangular. Cuando el experimento que antes describimos se repite en una celda rectangular se genera un peque�o mundo artificial poblado de arbustos, hongos, flores y �rboles enanos (Figura 22). De nuevo, �c�mo explicamos todo esto?

Figura 22. Dep�sitos de cinc en una celda rectangular. (a) fractal; (b) homog�neo, (c) dendr�tico (Fotos: Guillermo Sosa).

AL AZAR Y DE UNO EN UNO

Alrededor de 1981, L. M. Sander y T. A. Witten (Witten, 1981, 1983) propusieron un mecanismo para explicar el crecimiento de agregados fractales y lo denominaron agregaci�n limitada por difusi�n (o DLA, por sus siglas en ingl�s). La idea central consiste en reconocer que la difusi�n de part�culas en el medio es el factor m�s importante que condiciona y limita la formaci�n del agregado.

En este modelo, el proceso de crecimiento se inicia suponiendo la presencia de una part�cula o un conjunto de ellas (c�mulo) que act�a como semilla para el desarrollo posterior. Adicionalmente, se considera que una gran cantidad de part�culas se difunden hacia el c�mulo siguiendo una caminata al azar; una ruta en la que el tama�o y la direcci�n de los pasos se elige aleatoriamente. Cuando una part�cula entra en contacto con el c�mulo se adhiere a �l de manera permanente, y as� el agregado crece a trav�s de un mecanismo irreversible.

Las caracter�sticas de este modelo, en el que se repite siempre el mismo esquema: part�culas que se difunden siguiendo una ruta aleatoria y se pegan al agregado al entrar en contacto con �l, hacen que sea f�cil utilizar a la computadora para simular el crecimiento (v�ase el cap�tulo "Para la computadora"). El resultado que se obtiene aun despu�s de depositar pocas part�culas ( 900) es similar al que se muestra en la figura 23, donde vemos el caso de una celda circular (A) y una rectangular (B). El parecido con las formas fractales producidas a trav�s del experimento de electrodeposici�n electroqu�mica (Figuras 20 (a) y 22(a)) es sorprendente, y se hace m�s obvio cuando se comparan con la simulaci�n de un dep�sito que contiene un n�mero mucho mayor de part�culas (v�anse las l�minas ).

 

Figura 23. La simulaci�n computacional por el m�todo DLA genera estructuras fractales como �stas. (a) celda circular; (b) celda rectangular.

La estructura final est� repleta de salientes y entrantes que son resultado de la presencia de lo que se denomina inestabilidades ante crecimiento. Cuando en el c�mulo se forma una protuberancia por azar, �sta crece m�s r�pidamente que el resto del sistema pues la probabilidad de que las part�culas se encuentren con ella es mayor; las part�culas se pegan a la saliente y no alcanzan las regiones internas que ya no pueden rellenarse. Sobre la protuberancia en crecimiento se generan otras, y sobre �stas otras, y sobre las nuevas... hasta terminar con un objeto muy ramificado.

Estos fractales son autosimilares s�lo en un sentido estad�stico, ya que la ampliaci�n de una de sus partes quiz� no se parezca a la forma original, pero s� a alg�n otro agregado obtenido al repetir de nuevo el proceso de crecimiento. Para calcular su dimensi�n y verificar si es fraccional se sigue un procedimiento distinto al que analizamos en detalle casi al comienzo de este libro.

Cuando una estructura es muy irregular y no es formalmente autosimilar, su dimensi�n fractal se calcula normalmente por el m�todo de la caja. El resultado que se obtiene tambi�n nos da una idea de la capacidad real del objeto para cubrir el espacio en el que est� embebido. La manera de proceder es muy sencilla:

Se toma la estructura de inter�s y se coloca en una caja de lado L, sobre la que se construye una red regular en la que cada segmento tiene una longitud l (Figura 24(a)). Se cuenta el n�mero de cajas que contienen alguna parte de la estructura, lo que da un n�mero N. Ahora se repite el procedimiento utilizando redes cada vez m�s finas (l m�s peque�a, (Figuras 24(b) y 24(c)) registrando en cada caso la N que les corresponda. Cuando hacemos esto sobre una figura como la que aqu� nos interesa es posible construir una tabla como la siguiente, en la que se registra el n�mero de cajas que caben a lo largo del segmento L (L/l) y, del total de cajas en toda la red, s�lo cu�ntas de ellas (N) atraviesan la figura:

L/l	5	10	20
-------------------------------------------------------------------------
N	18	52	148

Si se toma el logaritmo de ambas cantidades y se grafica log (N) vs log (L/l (Figura 24(d)), es posible ajustar sobre los datos una l�nea recta cuya pendiente es la dimensi�n fractal d_c de la figura. En realidad, esto nos indica que existe una relaci�n del tipo:

N = (L/l)d_c

entre las dos variables, muy similar a la que ya describimos al hablar de la dimensi�n de Hausdorff.

 

Figura 24. C�lculo de la dimensi�n fractal del agregado DLA por el m�todo de la caja. En este caso L=10 cm y (a) L/l=5, N=18; (b) L/l=10, N= 52; (c) L/l= 20, N=148. La pendiente de la recta en (d) en una medida de la dimensi�n fractal d_c.

El m�todo de la caja es uno de los m�s utilizados en ciencias para obtener la dimensi�n de un objeto, pues ofrece un camino sistem�tico aplicable a una gran diversidad de formas naturales. Tambi�n se usa para estudiar figuras que se encuentran en un espacio de tres dimensiones, y se utiliza para hacer las primeras estimaciones sobre la dimensi�n de objetos tales como costas, nubes, fronteras, sistemas arteriales, etc�tera.

Para el agregado fractal que genera la computadora, la dimensi�n fractal, siguiendo el m�todo de la caja, resulta cercana a 1.5, y es independiente de los detalles del proceso de agregaci�n. Su valor es similar al que se ha obtenido para muestras experimentales (Matsushita, 1984; Argould, 1988) a pesar de la gran idealizaci�n del modelo de agregaci�n limitada por difusi�n. La coincidencia en verdad es sorprendente; s�lo pensemos que mientras en la simulaci�n se depositan unos cuantos miles de part�culas, en el experimento real se trabaja con miles de millones de �tomos.

Cuando la simulaci�n computacional se modifica para permitir que las part�culas que chocan con el agregado puedan "rebotar" antes de adherirse, la estructura final es m�s compacta y simula un dep�sito homog�neo. Su dimensi�n sigue siendo fraccional, pero ya es muy cercana a 2.

El modelo de agregaci�n limitada por difusi�n no es s�lo de utilidad para analizar la estructura de dep�sitos electroqu�micos. Parece ser que cuando se aplica una diferencia de potencial sobre una emulsi�n fotogr�fica o en la superficie de un aislante, se genera una descarga el�ctrica cuyo patr�n, llamado figura de Lichtenberg, es muy similar al fractal DLA. El caso se repite al estudiar el comportamiento de l�quidos inmiscibles que son forzados a fluir uno a trav�s del otro.

DEDOS VISCOSOS

Cuando un fluido como el agua o el aire se desplaza a trav�s de un l�quido m�s viscoso, la interfase entre ellos puede deformarse y generar dedos o estructuras m�s complejas. Este hecho no es nuevo para los ingenieros petroleros, qu�micos o ge�logos que trabajan en procesos de extracci�n en mantos petrol�feros. Por ejemplo, en algunas ocasiones el material por recuperar queda atrapado en el subsuelo poroso y no puede ser extra�do de manera directa; para desplazarlo es com�n bombear agua desde la superficie. Si en las condiciones de trabajo se forman dedos o conos de un l�quido dentro del otro, la eficiencia de la extracci�n de reduce considerablemente pues el agua se dispersa en el petr�leo.

Este fen�meno puede reproducirse a peque�a escala haciendo uso de un dispositivo muy simple desarrollado alrededor de 1898 por Henry Hele-Shaw (Walker, 1987):

Se toman dos placas de vidrio o acr�lico de 1.5 cm de espesor, y 40 x 40 cm² de �rea. Se colocan horizontalmente una sobre otra y se sostienen con pinzas y soportes a unos 30 cm de la mesa de trabajo (Figura 25).

Sobre la placa superior se practica una perforaci�n central de aproximadamente 0.2 cm de di�metro, a trav�s de la cual se inyectar�n los l�quidos de inter�s. La separaci�n entre las placas se controla utilizando tiras de masking-tape superpuestas y situadas en el contorno de la placa inferior; el propio peso de la placa superior y la presi�n ejercida por las pinzas de sost�n, aseguran que su valor se mantiene constante a lo largo del experimento (entre 0.03 y 0.08 cm). Con el fin de mejorar la visualizaci�n de los patrones de flujo resulta conveniente introducir una l�mpara de luz difusa entre las placas y la base.

En este experimento el l�quido m�s viscoso o fluido por desplazar se inyecta o esparce entre las placas, generando una capa homog�nea, y el l�quido desplazante (agua normalmente) se inyecta por el orificio central.

 

Figura 25. Esquema de la celda de Hele-Shaw utilizada para estudiar patrones de flujo.

Cuando el fluido por desplazar es un material viscoso como salsa catsup, leche de magnesia, jarabe para la tos o miel de abeja (C�rdoba, 1993) y el l�quido inyectado es tinta azul o negra, los patrones de flujo adquieren formas diversas (Figura 26) que de nuevo se parecen a los electrodep�sitos fractales y homog�neos. �Qu� está sucediendo ahora?

a	b
c	d

Figura 26. Patrones de flujo al inyectar tinta azul en medios viscosos distintos. (a) Salsa catsup; (b) jarabe para la tos; (c) miel de abeja; (d) leche de magnesia (Fotos : Guillermo Sosa).

Tambi�n en este caso existen inestabilidades ante crecimiento. Para comprenderlo mejor imaginemos una celda de Hele-Shaw en la que los fluidos presentes exhiben una interfase idealmente plana. Si en estas circunstancias se aplica una presi�n constante y uniforme sobre el fluido menos viscoso, la interfase se desplazar� sin deformarse. Sin embargo, la presencia de cualquier perturbaci�n que curve la superficie dar� lugar a una diferencia de presiones y se incrementar� la velocidad de flujo en esa zona (Figura 27). Si se mueve m�s r�pido, se deforma m�s, si se deforma m�s, se mueve m�s r�pido, y as� de nuevo se generan protuberancias que crecen y se ramifican, pues cualquier protuberancia dentro de otra se mueve m�s r�pido y ramifica, y...

Figura 27. Cualquier perturbaci�n de la interfase entre ambos l�quidos puede generar un dedo viscoso.

La evoluci�n del patr�n depende de varios factores, entre los que sobresalen (Robinson, 1985): la separaci�n entre las placas, las viscosidades de los fluidos y la tensi�n interfacial. La influencia de este �ltimo par�metro es particularmente importante pues su presencia tiende a estabilizar y aplanar la interfase (recordemos que la tensi�n interfacial es una medida del costo energ�tico de formaci�n de la misma).

El trabajo te�rico y experimental sobre los patrones de flujo en la celda de Hele-Shaw ha demostrado que la formaci�n de estructuras fractales tipo DLA se favorece si:

—se incrementa la diferencia de viscosidades entre los fluidos,

—se disminuye la separaci�n entre las placas o

—se reduce la tensi�n superficial.

En todo caso, siempre hay que buscar que los efectos de cualquier perturbaci�n en la interfase dominen sobre las tendencias estabilizadoras del sistema.

Las estructuras que aparecen en una celda de Hele-Shaw tambi�n se generan a trav�s de simulaciones computacionales basadas en el modelo de agregaci�n limitada por difusi�n (DLA). Los resultados que se obtienen directamente con un programa como el que hemos utilizado para la electrodeposici�n coinciden muy bien con el caso en el que la tensi�n interfacial entre los l�quidos es pr�cticamente cero. Cuando esto no es as�, hay que incluir la posibilidad de que las part�culas reboten con el c�mulo antes de adherirse a �l. Esto suaviza las estructuras y permite generar patrones menos ramificados y verdaderos dedos viscosos (Tang, 1985; Liang, 1986).

El estudio de fen�menos como �stos es de gran utilidad para comprender en qu� circunstancias se favorece la aparici�n de formas fractales, y es parte del inicio para desentra�ar el misterio de la aparici�n de muchas formas naturales. Sin embargo, falta mucho por hacer e investigar; hoy d�a no es f�cil predecir cu�l ser� la geometr�a de un objeto, a pesar de haber identificado los mecanismos de crecimiento que lo generan. Hay quien juzga que conocer las reglas de la geometr�a fractal resultar� de gran utilidad para simplificar este trabajo; hay quien piensa lo contrario, que basta de juegos. �Se nos est� acabando la imaginaci�n o so�amos demasiado? �Seguimos la pista correcta o nos perdimos en el laberinto?

Fractales
Figura 1.	Figura 2.
Figura 3.	Figura 4.
Figura 5.	Figura 6.
Figura 7.	Figura 8.
Figura 9.