VI. HUELLAS EN EL TIEMPO

VI. HUELLAS EN EL TIEMPO

LOS fractales no son solamente �tiles para describir la geometr�a de las formas naturales, tambi�n nos proveen de nuevas herramientas para analizar sus propiedades din�micas, la manera en que se desarrollan y evolucionan, o c�mo interaccionan entre s� para competir u organizarse. Los fractales son sin duda alguna parte fundamental del nuevo lenguaje de la complejidad y el caos, y uno estar�a tentado a decir que habitan en esa frontera tan sutil entre el orden y el desorden. Hay quien dice que est�n dentro del espejo que separa al reino del caos del dominio de la organizaci�n y la estructura (Briggs, 1990); aparentemente est�n ah�, sus reflejos se multiplican.
EN EL REINO DE CAOS
Los seres humanos siempre nos hemos preocupado por buscar las leyes que rigen la evoluci�n del mundo que nos rodea. Se ha establecido as� un conjunto de relaciones que nos permiten predecir el futuro de un sistema si se tiene informaci�n confiable sobre su estado presente o pasado. Estas reglas que le se�alan a cada sistema el camino a seguir, se denominan deterministas y pueden ser simples o complejas; de ellas, en principio, se espera siempre una fidelidad absoluta, una capacidad predictiva sin l�mite.
Sin embargo, en los �ltimos a�os, gracias al desarrollo de las computadoras y de mejores m�todos num�ricos para resolver los problemas, se ha encontrado que existen sistemas que,
IMPORTANTE:a pesar de estar gobernados por relaciones precisas y bien conocidas (sus ecuaciones determintstas), presentan un comportamiento absolutamente �IMPREDECIBLE! (Crutchfield, 1986).

Esta caracter�stica es una propiedad intr�nseca del sistema que no se evita acumulando m�s informaci�n y, sorprendentemente, su presencia es m�s una regla que la excepci�n. El fen�meno ya se ha observado en el estudio de movimientos planetarios, la predicci�n del clima, el crecimiento de cristales, la evoluci�n de sistemas fisiol�gicos, algunas reacciones qu�micas, etc�tera.
Perder la capacidad de predecir el futuro a largo plazo es un verdadero desastre, es el CAOS, y el problema fundamental radica en la estructura de las ecuaciones deterministas que le corresponden a cada sistema. Cuando un sistema f�sico se comporta de manera continua y regular, de tal forma que su respuesta a cualquier perturbaci�n es siempre proporcional a la intensidad de la misma (poco -> poco; mucho -> mucho), se dice que es un sistema lineal pues la representaci�n gr�fica de su comportamiento dar� lugar a una l�nea recta. Si esto no es as�, el sistema resulta no lineal y las cosas pueden complicarse.
Muchos sistemas no lineales exhiben un comportamiento ca�tico porque son muy sensibles a las influencias externas. Su susceptibilidad en ocasiones raya en la histeria: si, por ejemplo, quisi�ramos predecir la trayectoria de una bola de billar que choca con otras en su camino, bastar�a ignorar el efecto gravitacional de un electr�n situado en la frontera de nuestra galaxia para comenzar a obtener resultados err�neos despu�s de un minuto de haberla lanzado. Es tambi�n famoso el denominado efecto mariposa en la predicci�n del clima: en algunos modelos utilizados en climatolog�a, no considerar el simple aleteo de una mariposa puede tener consecuencias desastrosas sobre la predicci�n del comportamiento atmosf�rico.
Un sistema ca�tico resulta impredecible porque es extraordinariamente sensible a la especificaci�n de las condiciones iniciales a partir de las cuales se quiere estudiar su evoluci�n (Dresden, 1992); cualquier peque�o cambio en el estado inicial tiene dram�ticos efectos sobre el comportamiento futuro. Para predecir el fen�meno se necesitar�a conocer los datos iniciales con precisi�n infinita, as� como un control extremo del proceso; esto es imposible, independientemente de qu� tanto logremos mejorar nuestros aparatos de medici�n y control, y de qu� tan bien conozcamos las relaciones matem�ticas que rigen su comportamiento.
Muchos sistemas son capaces de tener un comportamiento regular o ca�tico, de acuerdo con las condiciones a las que est�n sujetos; desgraciadamente, no existen reglas generales que permitan decidir a priori si exhibir�n o no una din�mica ca�tica. El tr�nsito entre el orden y el caos puede darse de manera brusca o gradual y esto cambia de sistema a sistema. Sin embargo, cuando se da, el resultado es incre�ble.
Ahora, �qu� tienen que ver el caos y los fractales? Como muestra basta un ejemplo.
DE NUEVO LAS ITERACIONES
Imaginemos que estamos decididos a estudiar el comportamiento de una poblaci�n de insectos en una isla y para ello desarrollamos el siguiente modelo (Davies, 1987):
La evoluci�n de la poblaci�n de insectos depende del ritmo de nacimientos y muertes que se presenten en su comunidad. Si suponemos que estos animales tienen un periodo de reproducci�n anual y la poblaci�n en el a�o i era N_i, es de esperar que la poblaci�n al a�o siguiente N_i+1 sea proporcional a la que hab�a el a�o anterior. Esto es:

N_i+1 = aN_i,
donde a es una constante de proporcionalidad que mide la capacidad reproductiva de la especie.
En la relaci�n anterior no hemos tomado todav�a en cuenta el efecto de la muerte de los insectos. Como primera aproximaci�n podr�amos decir que el mayor n�mero de decesos se da por competencia entre individuos: compiten por el alimento, por la pareja, por territorio, etc�tera; digamos que muy pocos se mueren de viejos. Entre m�s insectos haya, m�s dif�cil ser� que sobreviva cada uno, de ah� que no sea descabellado pensar que la probabilidad de que muera un individuo es proporcional a la poblaci�n total de ese a�o: N_i. Como esto se vale para cada uno de ellos, el ritmo de decesos para toda la poblaci�n ser� proporcional a N_i x N_i = N²_i, o:

N_i+1 = b N²₁.
Si combinamos ambos efectos (nacimientos menos muertes) resulta la ley de crecimiento poblacional que esperamos:

N_i+1 = a N_i - b N = N²_i (a bN_i).
Esta relaci�n es muy �til, pues si damos valores a las constantes a y b, y elegimos una poblaci�n inicial N_o, con ello se calcula la poblaci�n al a�o siguiente N₁. Con el resultado se genera N₂, que a su vez nos lleva a obtener N₃ y as� sucesivamente. Este proceso es de nuevo una iteraci�n que nos permite analizar la evoluci�n de la poblaci�n a�o con a�o. El modelo de crecimiento poblacional es muy sencillo pero en �l ya est� presente un elemento que puede conducirnos a resultados inesperados. La iteraci�n contiene un t�rmino en el que la variable Ni est� elevada al cuadrado y esto quiere decir que tratamos con un sistema no lineal (la gr�fica de la relaci�n (aN - bN²) como funci�n de N no es una l�nea recta).
Para facilitarnos un poco las cosas resulta conveniente suponer que las constantes a y b son iguales y que la poblaci�n N_i est� medida con respecto a una poblaci�n m�xima de referencia, por lo que su valor est� siempre entre 0 y 1. Esto no altera las conclusiones finales pero facilita los c�lculos que, por cierto, pueden hacerse directamente en una computadora (v�ase el cap�tulo "Para la computadora").
Cuando se analiza el valor de la poblaci�n como funci�n del tiempo que predice la iteraci�n simplificada:

N_i+1 = a N_i (1 - N_i)
para diferentes valores del par�metro de crecimiento a, es posible distinguir varios casos:
a) Para valores de a menores que 1 la tasa de nacimientos es tan baja que la poblaci�n decrece a�o con a�o y termina por extinguirse (Figura 28 (a)). Esto sucede siempre independientemente de cu�l sea la poblaci�n inicial.
b) En el intervalo de a entre 1 y 3, la poblaci�n se estabiliza en un valor constante diferente de cero que no depende de la N_o de la cual se parte (Figura 28 (b)). El balance de nacimientos y muertes asegura que la poblaci�n nunca cambie.
c) A partir de a>3, las cosas se complican. En cuanto el par�metro de crecimiento es un poco mayor que tres, la poblaci�n comienza a oscilar entre dos valores distintos (Figura 28(c))y se acostumbra decir que la soluci�n antes estable se bifurca, se generan dos posibilidades que se visitan alternadamente en el transcurso de los a�os. Esta situaci�n se mantiene hasta a 3.4495, donde cada rama de nuevo se bifurca y la poblaci�n oscila entre cuatro valores diferentes (Figura 28 (d)) Si seguimos aumentando el valor de a, el mismo esquema de duplicaci�n se reproduce en cada rama y el periodo de oscilaci�n aumenta a 8,16, 32 (Figura 28 (e))..., hasta que en a 3.5699 el ciclo tiene una duraci�n infinita. A partir de aqu�, poco o nada es predecible; el comportamiento se torna ca�tico (Figura 28 (f)) y la evoluci�n temporal es muy susceptible a la poblaci�n inicial elegida. Por ejemplo, cuando a4, una diferencia de 0.000001 entre dos datos iniciales hace que los resultados sean completamente distintos despu�s de 50 iteraciones. En la regi�n del caos la poblaci�n cambia a�o con a�o de una manera que desaf�a al mejor adivino.

Figura 28. Evoluci�n de la poblaci�n de insectos para varios valores del par�metro a. (a) a= 1.00; (b) a= 2.00; (c) a= 3.30; (d) a= 3.50; (e) a= 3.569; (f) a= 4.00.
La transici�n hacia el caos se ve m�s claramente cuando se grafica el valor o valores que alcanza la poblaci�n a tiempos muy largos, como funci�n del par�metro de crecimiento a. La gr�fica que se genera se conoce como diagrama de bifurcaciones y se presenta en la figura 29 (a) (v�ase el cap�tulo �Para la computadora" si hay inter�s en reproducirla). El diagrama muestra con claridad los valores de poblaci�n que se visitan para cada valor de a: cuando es peque�o se tiene una sola rama (poblaci�n constante), despu�s dos (oscilaci�n entre dos valores) y as� seguimos hasta alcanzar la regi�n ca�tica que tiene una estructura muy compleja.
En la zona del caos hay muchos valores de a para los que la poblaci�n evoluciona sin seguir un orden determinado; sin embargo, tambi�n est� repleta de secciones en las que se recupera el comportamiento peri�dico. Estas regiones aparecen como franjas m�s blancas y cuando hacemos una ampliaci�n para analizarlas (Figuras 29(b) y 29 (c), nos deparan la tan esperada sorpresa. Dentro de ellas se repite el mismo esquema de bifurcaciones que en el diagrama general, y as� ad infinitum, el caos y el orden se entremezclan siguiendo las reglas de la geometr�a fractal.

Figura 29. a) Diagrama de bifurcaciones para la din�mica poblacional N₁₊₁= a*N_i(1-N_i). En (b) y (c) se presentan ampliaciones de la zona central en la franja blanca m�s ancha en la figura que las precede.
Es importante se�alar que este �ltimo hecho no es una casualidad. El comportamiento general de nuestra din�mica poblacional es muy similar al que se encuentra cuando se analizan las ecuaciones que describen sistemas diversos: circuitos el�ctricos, reacciones oscilantes, l�seres o fluidos-turbulentos. En algunos de ellos la evoluci�n temporal se representa en diagramas que grafican simult�neamente la posici�n y velocidad de las part�culas que los constituyen. la estructura de las figuras que se generan depende de la condiciones de trabajo, pero si se identifica que su geometr�a es fractal, se tiene una se�al indudable de que el sistema est� comport�ndose ca�ticamente.
Los fractales parecen ser herramientas particularmente �tiles para desentra�ar los misterios del caos; es como si en su lenguaje la aparente extra�eza e irregularidad del comportamiento ca�tico fuera el estado natural. Quiz�s, de hecho, deb�amos haber esperado su presencia. Ya hemos visto que muchos fractales son producto de realizar la iteraci�n matem�tica de una funci�n no lineal (z², por ejemplo); las leyes din�micas que describen el comportamiento de diversos sistemas fisicos muchas veces no son m�s que eso. De ah� que los fractales aparezcan como sus huellas, �nicas, indelebles, inconfundibles.
AUTORGANIZ�NDOSE
Los fractales son el prototipo de lo que uno estar�a dispuesto a llamar un objeto complejo. No en el sentido de dif�cil o complicado, pues normalmente se generan a trav�s de procedimientos sencillos, sino por el hecho de presentar detalle a toda escala, de guardar informaci�n a muy diferentes niveles. Nuestro Universo est� plagado de objetos complejos, y �l mismo, como los fractales, presenta estructuras organizadas a diversas escalas: c�mulos de galaxias, galaxias, estrellas, planetas, y por lo menos en nuestro planeta, nubes, monta�as, organismos vivos. �De d�nde sali� todo esto?
Uno siempre se pregunta c�mo surgi� el Universo, pero con menos frecuencia se cuestiona c�mo lleg� a convertirse en lo que hoy conocemos. Si al principio de los tiempos, o mejor dicho, nuestros tiempos, el universo naciente carec�a de forma y contenido, �qu� lo llev� a organizarse? �C�mo lo hizo? En los �ltimos a�os estos cuestionamientos han comenzado a aclararse gracias al estudio de sistemas que, en condiciones adecuadas, tienen la capacidad de autorganizarse. Todos ellos comparten caracter�sticas comunes entre las que destacan: su habilidad para generar estructuras macrosc�picas complejas y organizadas, su extrema susceptibilidad a las perturbaciones externas, y su incre�ble capacidad para autorregularse y funcionar como una entidad �nica que responde creativamente y se adapta a las condiciones del medio (Nicolis, 1989).
Los sistemas que se autorganizan siempre se encuentran en condiciones que los mantienen muy alejados de su estado de equilibrio; son entidades que est�n en contacto con el medio externo y utilizan la energ�a que �ste les proporciona para organizarse y formar estructuras complejas. Es por ello que tambi�n se les denomina estructuras disipativas.
Un ejemplo t�pico de autorganizaci�n se presenta cuando una capa horizontal de alg�n fluido se somete a una diferencia de temperaturas. Para lograrlo basta calentar el l�quido en su parte inferior o, a�n m�s f�cil, trabajar con un l�quido vol�til permitiendo que se evapore. Esto enfriar� la superficie y provocar� la diferencia de temperatura deseada. El fen�meno se presenta a gran escala cuando el Sol calienta la superficie terrestre y la atm�sfera se toma como fluido de trabajo.
En este experimento, el l�quido m�s caliente cercano a la base es menos denso y tratar� de ascender; el m�s fr�o cercano a la superficie es m�s denso y tratar� de descender. Si la diferencia de temperaturas es peque�a, la viscosidad del fluido impedir� su movimiento, pero si se sigue calentando se alcanza una condici�n cr�tica en la que repentinamente el l�quido comienza a desplazarse y se organiza en celdas de flujo convectivo a las que se denomina celdas de B�nard (Figura 30 (a).

Figura 30. (a) Esquema de la estructura de las celdas de B�nard en un corte lateral del fluido. (b) Estructura en la superficie de la acetona despu�s de la formaci�n de las celdas. (Foto: Guillemro Sosa).
El experimento es f�cil de hacer (Talanquer, 1991):

En un recipiente de fondo plano (como una caja de Petri) se coloca acetona hasta formar una capa de aproximadamente 0.3 cm de ancho. Se espolvorea sobre ella un poco de aluminio en polvo que sirve para hacer visible el movimiento de las part�culas del fluido. Cuando se sopla sobre la superficie para acelerar la evaporaci�n, es incre�ble ver c�mo el sistema se autorganiza formando una multitud de celdas de convecci�n (Figura 30(b)).

Cuando aparecen las celdas de B�nard, el sistema que era originalmente homog�neo adquiere una verdadera estructura. En cada una de las celdas hay del orden de 10²¹ mol�culas que se desplazan de manera concertada, a pesar de su movimiento t�rmico azaroso. Esto quiere decir que de alguna forma se ha establecido comunicaci�n entre ellas.
La aparici�n de los patrones de B�nard en un fluido es un fen�meno completamente reproducible. Si se aseguran las mismas condiciones de trabajo, las celdas se presentar�n al alcanzar la misma diferencia de temperatura. Sin embargo, su posici�n o el sentido en el que rota el l�quido dentro de ellas es algo impredecible e incontrolable. S�lo el azar determina c�mo ser� el patr�n en cada caso.
Esta posibilidad de elegir entre muchas opciones y de que el azar decida cu�l se selecciona es t�pica de sistemas que se autorganizan. Se acostumbra decir que el sistema es arrastrado hasta un punto en el que repentinamente se le presentan muchos caminos, pero es imposible predecir cu�l seguir�. El resultado de la selecci�n puede conducirlo a un nuevo estado m�s complejo y organizado, pero tambi�n puede perderlo en el reino del caos. Loque es indudable es que se trata de un mecanismo muy efectivo para explotar la creatividad del sistema, generando formas complejas muy parecidas pero no id�nticas.
Otros ejemplos de sistemas con capacidad de autorganizarse se presentan en casos tan distintos como la producci�n de rayos l�ser, la aparici�n de flujos turbulentos, las reacciones qu�micas oscilantes o la formaci�n de ondas qu�micas (Talanquer, 1992). Al igual que en el caso de las celdas de B�nard, la descripci�n de su comportamiento incluye t�rminos como selecci�n, coherencia, creatividad, organizaci�n, adaptaci�n. Esto ha abierto las puertas hacia el campo de la biolog�a, y hoy resulta que modelos muy semejantes se utilizan para estudiar el desarrollo embrionario, los procesos de diferenciaci�n y localizaci�n celular, la propagaci�n de impulsos nerviosos o la formaci�n de �rganos multicelulares.
Los modelos propuestos para estudiar estos fen�menos son de diversos tipos, pero dentro de ellos existe una familia que ha resultado particularmente �til y su uso se ha generalizado. Se les llama aut�matas celulares y es aqu� donde, de nuevo, nos invaden los fractales.
COMO UN JUEGO
Los aut�matas celulares fueron utilizados por primera vez por los matem�ticos John von Neumann y Stanislaw Ulam en 1948 para representar la reproducci�n en algunos sistemas biol�gicos. Posteriormente, su uso se extendi� a diversos campos y hoy d�a sus aplicaciones son muy variadas.
Para construirlos basta tomar un arreglo de sitios o celdas, cada una de las cuales se encuentra en un estado que se caracteriza por la asignaci�n de un valor num�rico. Por ejemplo, si s�lo hay dos estados posibles: vivo-muerto, vac�o-lleno, etc�tera, pueden elegirse los n�meros 0 y 1 para distinguirlos.
Una vez elegido un estado inicial para todo el sistema se procede a estudiar c�mo evoluciona en el tiempo. Para ello se definen reglas que establecen c�mo cambia el estado de cada celda, considerando su situaci�n y la de sus vecinos m�s cercanos en la etapa anterior.
Un caso sencillo se presenta cuando consideramos un aut�mata celular unidimensional en el que cada celda puede estar ocupada por un organismo vivo (1) o estar vac�a (0). Si la distribuci�n inicial es al azar; una representaci�n esquem�tica del sistema se ver�a de la siguiente manera:

Las reglas de evoluci�n temporal que podemos proponer son m�ltiples. Por ejemplo:
Cada organismo vivo sobrevivir� para la siguiente etapa si y s�lo si no lo rodean por ambos lados otros organismos vivos (esto podr�a representar la competencia). En un sitio vac�o aparece un organismo vivo (nacimiento) si al menos un vecino es un organismo vivo.

En t�rminos num�ricos esta regla de evoluci�n podr�a esquematizarse considerando la suma de los n�meros asignados a cada celda y sus dos vecinos m�s cercanos. La suma tomar�a valores entre 0 (todos vac�os) y 3 (todos llenos), y el estado para la siguiente etapa se obtendr�a consultando una tabla como la siguiente:
��

Si la suma da Nuevo estado

0

®

0

1

®

1

2

®

1

3

®

0

Cuando la regla se aplica a cada celda del sistema inicial se genera la poblaci�n de la siguiente etapa. Despu�s el procedimiento se repite una y otra vez, y para fines de an�lisis resulta conveniente dibujar uno tras otro los resultados que se obtienen:

En la pr�ctica este trabajo puede hacerlo sistem�ticamente una computadora (v�ase el cap�tulo "Para la computadora") y el esquema de evoluci�n despu�s de 100 etapas, por ejemplo, es como el que se muestra en la figura 31 (a). En esta figura se distinguen los sitios llenos de los vac�os por la asignaci�n de color blanco o negro.

Figura 31. Patrones de evoluci�n de una aut�mata celular. (a) y (b) corresponden a la regla de crecimiento descrita en el texto; (c) y (d) muestran el resultado para reglas distintas.
De nuevo, el resultado es fascinante. A pesar de haber partido de una situaci�n azarosa y de que la regla de evoluci�n act�a muy localizadamente (sobre una celda y sus dos primeros vecinos), el aut�mata celular es capaz de generar espont�neamente un patr�n complejo que presenta organizaci�n y estructura a toda escala. Esto es, el sistema se autorganiza.
Las caracter�sticas del patr�n que se forma se distinguen m�s claramente cuando se repite el c�lculo suponiendo que inicialmente s�lo hab�a un organismo vivo situado en una celda central. El resultado de la evoluci�n del aut�mata (Figura 31(b)) es nada m�s y nada menos que una estructura muy similar al �tri�ngulo de Sierpinski! La autorganizaci�n del sistema conduce a la formaci�n de una estructura compleja, autosimilar y con dimensi�n fraccional. Fractales, fractales, fractales.
Si la regla de evoluci�n se modifica, la estructura del patr�n puede cambiar dr�sticamente (Figuras 31(c) y 31(d)), pero en general s�lo se identifican unos cuantos tipos generales. Hay reglas que conducen a patrones fractales o a estructuras peri�dicas; otras no llevan a nada o generan estructuras de tama�o finito. Las condiciones iniciales pueden modificar ciertos detalles pero no la esencia del resultado.
El ejemplo que hemos presentado es un caso sencillo y quiz� poco realista si pretendemos representar el comportamiento de un sistema fisico. Sin embargo, las ideas generales pueden extenderse para generar aut�matas en dos y tres dimensiones que reproducen notablemente bien las propiedades de muchos sistemas complejos. El reto al utilizarlos consiste en capturar la esencia del fen�meno y traducirla al lenguaje del aut�mata. Considerando un mayor n�mero de estados para cada celda y diferentes reglas de evoluci�n, los aut�matas celulares efect�an la mimesis de la formaci�n de ondas qu�micas, el flujo de fluidos a trav�s de obst�culos, o el crecimiento de copos de nieve. Cuando se introducen ciertos elementos aleatorios en las reglas que rigen su comportamiento, son modelos adecuados para fen�menos tales como la propagaci�n de enfermedades infecciosas o de incendios en un bosque, la difusi�n de l�quidos a trav�s de medios porosos o la distribuci�n de cierta especie de plantas en una selva (Peterson, 1988).
Detr�s de muchos de los resultados obtenidos siguen apareciendo los fractales como la elecci�n m�s eficiente para generar estructuras complejas, como la alternativa m�s creativa, como obsesi�n inevitable.