VIII. CAOS. FEN�MENOS NO LINEALES
A LO largo de muchos a�os, en el estudio que varias ciencias han
hecho de diferentes fen�menos se han encontrado situaciones que no ha sido posible
describir de manera satisfactoria. Por ejemplo, en el caso de la meteorolog�a
un problema muy importante es poder predecir el clima que prevalecer� no s�lo
al d�a siguiente, sino una semana, un mes, un a�o despu�s. Sin embargo, a pesar
de que esta ciencia se ha desarrollado bastante y mucha gente ha trabajado en
ella durante m�s de un siglo, este tipo de predicciones no ha podido llevarse
a cabo de manera efectiva.
En la f�sica podemos mencionar el fen�meno de la turbulencia. Cuando un fluido se mueve a lo largo de un tubo, en ciertas condiciones el fluido lo hace de manera muy tranquila y regular; se dice que el flujo es laminar y sus propiedades s� han podido ser determinadas. Sin embargo, en otras circunstancias, el flujo se vuelve turbulento: empiezan a aparecer primero peque�os remolinos, despu�s remolinos m�s y m�s grandes y el movimiento del fluido se vuelve muy irregular. Se dice que el flujo ha entrado en turbulencia. Este efecto no se hab�a podido entender en m�s de cien a�os de estudio de la hidrodin�mica.
En la econom�a no se han podido entender los motivos por los cuales en cierto momento el �ndice de la Bolsa de Valores empieza a subir y luego desciende. En muchas ocasiones parece ser un fen�meno del azar.
Los casos anteriores ilustran algunos de los problemas que hab�an quedado sin soluci�n. Sin embargo, con el advenimiento de la teor�a del caos se han podido entender diferentes aspectos de estos fen�menos, antes incomprensibles.
Una cuesti�n muy importante, com�n a diferentes fen�menos, es la posibilidad de que se pueda hacer predicciones. Por ejemplo, si se sabe que hoy est� lloviendo, se quisiera predecir si llover� ma�ana o si llover� pasado ma�ana. Es decir, una cuesti�n es la posibilidad de poder predecir lo que ocurrir� en el futuro si sabemos en qu� situaci�n nos encontramos ahora.
En los �ltimos 20 a�os se ha desarrollado una novedosa forma de abordar este tipo de situaciones. Resulta que muchos fen�menos completamente distintos, como la turbulencia, el clima, el �ndice de la bolsa, las se�ales electr�nicas, ciertas reacciones qu�micas y otras m�s, tienen comportamientos que, vistos desde perspectivas apropiadas, son muy parecidos. Debido a este hecho, trataremos un caso muy especial para ilustrar el fen�meno del as� llamado caos. Consideraremos un problema importante en la ecolog�a, a saber, c�mo evoluciona en el transcurso del tiempo una poblaci�n determinada, por ejemplo de los insectos. Si conocemos el n�mero de insectos este a�o, nos podemos preguntar �cu�ntos insectos habr� el a�o pr�ximo, el siguiente, y as� sucesivamente?
Con el estudio que se haga se quisiera poder encontrar una regla que nos dijera que si este a�o hay, por ejemplo, en un determinado lugar 10 500 insectos, el pr�ximo a�o habr� 12 750. Si se puede descubrir esta regla, entonces aplic�ndola de a�o en a�o se podr� conocer la poblaci�n en cualquier a�o futuro. En matem�ticas una regla de este tipo se llama funci�n. �De qu� depende �sta? Pues deber�a hacerlo de las condiciones en que vive la poblaci�n. No dar� lo mismo si se trata de un lugar des�rtico o de una selva; si la poblaci�n dispone de muchos alimentos o si m�s bien son escasos. Es decir; de alguna manera en la funci�n tiene que aparecer esta informaci�n. Adem�s, la poblaci�n que vaya a haber el a�o siguiente depender� de la poblaci�n que existe en este a�o. Encontrar esta funci�n se llama hacer o construir un modelo.
La funci�n m�s sencilla es la siguiente. Se supondr� que la poblaci�n crecer� el a�o siguiente en un porcentaje fijo de la poblaci�n del a�o actual. Por ejemplo, si la poblaci�n crece a�o con a�o 10%, se tiene la siguiente situaci�n: supongamos que en el presente a�o hay 10 000 insectos; entonces el a�o pr�ximo aumentar� en 10% este n�mero, as�, habr� un aumento de:
y por tanto, el n�mero de insectos que habr� el a�o pr�ximo ser� igual al n�mero que hay en el presente a�o (10 000) m�s el aumento que ocurri� (1000), o sea:
El siguiente a�o habr� un aumento de 10% de 11 000, o sea aumentar� en:
De esta manera se puede calcular el n�mero de insectos del a�o que se quiera. Sin embargo, hacerlo a un plazo de 150 a�os, por ejemplo, ser�a muy engorroso. Pero puede abreviarse este procedimiento como sigue. Nos damos cuenta de que se puede encontrar la poblaci�n del a�o siguiente (11000 en nuestro ejemplo) haciendo la siguiente operaci�n:
Aqu�, 10 000 es la poblaci�n inicial. De la misma forma, la poblaci�n en el segundo a�o (12 100) se puede obtener a partir de la poblaci�n en el primer a�o (11 000) haciendo la siguiente multiplicaci�n:
Vemos entonces que la poblaci�n en cualquier a�o se encuentra multiplicando 1.1 por la poblaci�n del a�o anterior. O equivalentemente, la poblaci�n del a�o siguiente se puede encontrar multiplicando 1.1 por la poblaci�n del a�o presente:
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poblaci�n
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poblaci�n
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del a�o
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= 1.1 x
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del a�o
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pr�ximo
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presente
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La poblaci�n de un a�o cualquiera se introduce como dato para encontrar la poblaci�n del a�o siguiente. Repitiendo o iterando esta operaci�n tantas veces como se quiera, se encontrar� la poblaci�n de cualquier a�o futuro. La operaci�n que acabamos de encontrar es la funci�n a la que nos referimos arriba.
De lo que acabamos de explicar nos damos cuenta de que si se conoce la funci�n y la poblaci�n inicial, entonces es posible determinar con precisi�n la poblaci�n en cualquier a�o futuro.
Se puede abreviar el procedimiento presentado de la manera siguiente: la letra x ser� la poblaci�n en cierto a�o y la letra y la poblaci�n del a�o siguiente. Entonces:
Para obtener y se multiplica 1.1 por x. El 1.1 proviene del hecho que se supuso que el crecimiento ser�a de 10% anual. Sin embargo, no siempre ser� as�, podr� haber otras posibilidades. Si as� fuera, el 1.1 se sustituir� por otro n�mero. De manera general, este otro n�mero se representar� con la letra q. As�, la funci�n se puede escribir:
| y = qx |
(5) |
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poblaci�n
|
poblaci�n
|
|
|
del a�o
|
= q x
|
del a�o
|
|
pr�ximo
|
presente
|
El valor num�rico que tenga el factor q que aparece en esta expresi�n depender� de las condiciones en que ocurra el aumento de la poblaci�n. En la forma en que se establece el modelo considerado, el valor de q var�a de 0 a 4.
Se puede representar la informaci�n contenida en esta expresi�n de manera gr�fica. En una gr�fica, en el eje horizontal (figura 17) se miden los valores de x y en el eje vertical los valores de y. La expresi�n (5) queda representada por una l�nea recta. Mientras mayor sea el valor de q, mayor ser� la inclinaci�n de la recta. Debido a que la gr�fica de la ecuaci�n (5) es una recta se dice que la expresi�n (5) es lineal.
Una consecuencia de la aplicaci�n de esta funci�n es que, al transcurrir el tiempo, la poblaci�n crecer� de manera indefinida; llegar� un momento en que ser� tan grande que el n�mero de individuos de la especie no cabr�a en el planeta. Es claro que un modelo como el que acabamos de presentar no puede describir de manera correcta las variaciones reales de una poblaci�n. Si �sta crece mucho, llegar� un momento en que los alimentos no alcancen para todos y, por tanto, la poblaci�n empezar� a descender. Este efecto debe considerarse, por lo que la funci�n dada por la expresi�n (5) se deber� modificar para que tome en cuenta que una poblaci�n puede crecer, pero hasta cierto punto; m�s all� deber� reducirse. Por otro lado, si la poblaci�n es peque�a, entonces tendr� mucho alimento disponible y crecer�.
Lo anterior significa que la gr�fica de la figura 17 deber� ser reemplazada
por otra en la que para valores peque�os de x, o sea de la poblaci�n,
la curva suba, mientras que para valores muy grandes de x la curva disminuya.
Esta gr�fica se deber� ver como se muestra en la figura 18. Para que la curva
disminuya, necesariamente tendr� un m�ximo; es decir, la curva deber� tener
la forma de una campana invertida. El lector se dar� cuenta de que esta curva
ya no es una l�nea recta. Por tanto, a esta situaci�n se le llama no lineal.
Figura 17. Gr�fica del modelo que muestra la poblaci�n de insectos del a�o
pr�ximo (y) determinada por la poblaci�n del a�o presente (x).
En este momento la poblaci�n crece sin cesar.
Una forma matem�tica de representar la curva de la figura es la siguiente:
| y = qx(1-x) |
(6) |
| y = poblaci�n |
x = poblaci�n |
| del a�o |
del a�o |
| pr�ximo |
presente |
Esta expresi�n implica que, dado el valor de la poblaci�n en el presente a�o (valor representado por x), se obtendr� el valor y de la poblaci�n del a�o siguiente. Por conveniencia se han tomado x y y como la fracci�n entre los valores cero y uno, por tanto 0� q � y. El valor cero representa la extinci�n de la poblaci�n y el valor uno el m�ximo valor posible de la poblaci�n.
Lo que nos est� diciendo la ecuaci�n (6) es que si se da x, para obtener el valor de y las operaciones que hay que hacer son:
1) De 1 le restamos x: [(1 -x)],
2) el resultado lo multiplicamos por x: [x (1 -x)]
3) este �ltimo resultado lo multiplicamos por q: [qx (1 - x)].
Por ejemplo, si q = 2.5 y el valor de x es 0.7, obtenemos sucesivamente
que:
Figura 18. Modificaci�n del modelo de la figura 17 para tomar en cuenta
el hecho de que llega un momento en que la poblaci�n no puede crecer indefinidamente.
3) qx (1 - x) = 2.5 x 0.21 = 0.525
El valor de la poblaci�n y al a�o siguiente es 0.525.
Si ahora se usa como valor inicial de la poblaci�n el valor que acabamos de
encontrar, o sea 0.525, siguiendo el procedimiento se obtiene que la poblaci�n
al tercer a�o ser� 0.6234. Siguiendo esta iteraci�n se encuentran sucesivamente
los siguientes valores de la poblaci�n en a�os sucesivos (se deja al lector
verificar que estos valores efectivamente se obtienen):
0.5869, 0.6061, 0.5968, 0.6016, 0.5992,
0.6004, 0.5998, 0.6001, 0.6000, 0.6000,
0.6000, 0.6000, 0.6000, 0.6000, ...
Estos resultados nos indican que a partir de cierto momento la poblaci�n llega
a un valor que ya no cambia con el tiempo. En nuestro caso, la poblaci�n llega
al valor 0.6000. En el caso que acabamos de tratar, se empez� con la poblaci�n
inicial de x = 0.7 y se termin� con la de 0.6000. Si en lugar de haber
empezado con 0.7 se hubiera empezado con el valor inicial de x = 0.25
(para el mismo valor de q de 2.5), siguiendo el mismo procedimiento iterativo
se obtendr�an los siguientes valores:
0.4688, 0.6226, 0.5874, 0.6059, 0.5970,
0.6015, 0.5992, 0.6004, 0.5998, 0.6001,
0.6000, 0.6000, 0.6000, 0.6000, ...
�Se llega al mismo valor final de 0.6000! O sea, si se empieza con otra condici�n inicial se llega al mismo valor final. As� se comience con el valor que sea, para este caso de q = 2.5, siempre se llegar� al mismo valor final de 0.6.
Este resultado nos indica varias cosas acerca de la ecuaci�n (6). En primer lugar, la poblaci�n no crece indefinidamente por m�s iteraciones que se hagan. En segundo lugar, despu�s de algunos a�os se alcanza un valor que NO depende de cu�l haya sido el valor de la poblaci�n inicial. Es decir, el valor 0.6 no depende de la condici�n inicial. Se logra as� una poblaci�n estacionaria: la misma a�o con a�o.
Si se vuelve a repetir este procedimiento pero para otro vabr de q en la ecuaci�n (6) se obtendr� otro valor final. Por ejemplo, si se usa para q el valor de 2.7, el valor final que se obtiene es 0.6296. N�tese que:
para q 2.5 se obtiene como valor final 0.6
para q2.7 se obtiene como valor final 0.6296.
A medida que q aumenta de valor, el valor final tambi�n aumenta su valor.
Vayamos ahora al otro extremo, el de un valor de q peque�o, por ejemplo 0.4. Si se empieza con una poblaci�n de 0.3, entonces los valores de la poblaci�n que se van obteniendo son los siguientes:
0.0840, 0.0308, 0.0119, 0.0047, 0.0019, 0.0007,
0.0003, 0.0001, 0.000, 0.000,...
El valor final al que se llega es cero. ¡La poblaci�n se extingue! De hecho, para los valores de q menores o iguales que 1, la poblaci�n se extingue con el tiempo, sin importar cu�l sea su valor inicial.
Ahora nos vamos al extremo de valores grandes de q. Por ejemplo, usemos para q el valor de 3.3 y el inicial de la poblaci�n de 0.6. As� se van obteniendo los siguientes valores:
Ahora no se obtiene un solo valor final que se vaya repitiendo a�o con a�o, sino que se va pasando del valor 0.8236 al de 0.4794 sucesivamente. Es decir, ahora la poblaci�n en un a�o tendr� el valor de 0.4794 y al a�o siguiente el de 0.8236; el a�o siguiente se repetir� el valor de 0.4794 y luego, nuevamente el de 0.8236, y as� sucesivamente. Esto significa que ahora se tienen dos valores finales posibles y que el valor de 0.4794 se alcanza no cada a�o sino cada dos a�os. Lo mismo ocurre con el otro valor de 0.8236. Es decir, el ciclo ahora dobl� su valor de un a�o a dos; es decir, aparece ahora una periodicidad de 2 a�os. N�tese que los valores 0.8236 y 0.4794 no dependen del valor inicial que se escogi�. Si en lugar de 0.6 se hubiera tomado otro valor, llegar�amos a los mismos valores finales (0.8236 y 0.4794); esto siempre y cuando se mantenga el mismo valor de q o sea, 3.3. Se dice que estamos en condiciones de periodo dos.
Para el valor de q = 3.5, con la condici�n inicial de 0.6, se obtienen, despu�s de varias iteraciones, no dos valores finales sino cuatro, que son 0.3028, 0.8260, 0.5001 y 0.8750.
Estos cuatro valores se van repitiendo, en el orden dado. Ahora esto corresponde al per�odo 4.
Si se sigue aumentando el valor de q, se obtienen ocho valores finales. Para q =3.55 por ejemplo, �stos son:
0.3548, 0.8127, 0.5405, 0.8817
0.3703, 0.8278, 0.5060, y 0.8874
Esta situaci�n corresponde al periodo 8.
Para q =3.651, ahora los valores finales ser�n 16, que ya no escribiremos. Al seguir aumentando q se obtienen, sucesivamente, 32, 64, 128,... valores finales.
Si ahora se escoge para q el valor de 3.6, resulta que por m�s iteraciones
que se hagan no se llega a un valor final, en el sentido de que este valor (o
valores) se repita como en los casos mencionados arriba. Ahora se encuentra
una sucesi�n de n�meros que no se repiten y que tienen toda la apariencia de
una sucesi�n escogida al azar. Si se cambia la condici�n inicial, pero se mantiene
el valor de q 3.6, se obtiene otra sucesi�n con n�meros distintos de
los anteriores y que tampoco adquiere valores finales que se repiten constantemente.
Figura 19. Gr�fica de los valores finales que se obtienen con referencia
a la poblaci�n como funci�n del par�metro q y que muestra dos tipos de
reg�menes: el peri�dico (estable) y el ca�tico.
Estos resultados pueden observarse haciendo la siguiente gr�fica (figura 19) En el eje horizontal mediremos los valores de q; en el eje vertical se medir�(n) el(los) valor(es) final(es) que se obtenga(n)para el correspondiente valor de q. As�,
para q = 2.5, cuyo valor final = 0.6000 le corresponde el punto A;
para q = 2.7, cuyo valor final = 0.6296 le corresponde el punto B;
para q =0.4, cuyo valor final = 0 le corresponde el punto C;
para q = 3.3, cuyos valores finales = 0.8236 y 0.4794 le corresponden los puntos D y E;
para q = 3.5, cuyos valores finales no los escribiremos, le ccrresponden los puntos F, G, H, I, etc�tera.
Los valores de q para los cuales no se obtienen valores finales, se marcar�n en la gr�fica con una l�nea completa, ya que todos los valores son posibles.
De la gr�fica se puede observar lo siguiente, a medida que va aumentando el valor de q:
Para q menor o igual que 1, los valores son nulos; hay extinci�n de la poblaci�n.
Para q entre 1 y 3 , solamente hay un solo valor final, el del estado estacionario, que va aumentando a medida que q aumenta. En este intervalo la gr�fica es la l�nea curva KL
Al seguir aumentando q, en L empieza a aparecer una bifurcaci�n que da dos valores finales. As� q entre 3 y 3.45 tiene dos valores finales; estamos en la regi�n del periodo 2. La gr�fica en este intervalo consiste en dos l�neas curvas, la LR y la LS.
Si q sigue aumentando, para el valor de 3.45 (aproximadamente) aparecen otras dos bifurcaciones y ahora se tendr�n cuatro valores finales. De hecho entre 3.45 y 3.54 estaremos en la regi�n del periodo 4 y la gr�fica muestra cuatro l�neas curvas, que ya no nombraremos.
Al seguir aumentando q, aparecen nuevas bifurcaciones y nuevas l�neas curvas hasta que, finalmente, cuando q adquiere el valor de 3.5699 ya no hay valores finales fijos y se tiene una regi�n con manchas que se llama ca�tica. En esta regi�n y adquiere cualquier valor.
Como se puede apreciar en la figura, dentro de la regi�n ca�tica aparecen regiones que s� tienen valores fijos. Estas son las regiones blancas de la figura. En efecto, para q alrededor del valor 3.84 aparece una regi�n con valores finales bien determinados. Ahora se obtienen tres valores: 0.1494, 0.4879 y 0.9594. Al seguir aumentando q hay una bifurcaci�n y por ejemplo, para q 3.846, ahora hay seis valores finales. Al seguir aumentando q siguen las bifurcaciones, hasta que se llega a una nueva regi�n ca�tica.
Podemos entonces afirmar que al ir aumentando q, se pasa por los siguientes reg�menes:
extinci�n �un solo valor final � peri�dicos con periodicidades de 2, 4, 8, 16,... � ca�tico� peri�dicos con periodicidades de 3, 6,...� ca�tico, ...
Estos resultados se obtuvieron con el estudio de la funci�n dada por la ecuaci�n (6). Sin embargo, hay muchas otras funciones, distintas de �sta, pero cuyas gr�ficas tienen la misma forma cualitativa mostrada en la figura 19. Resulta que para todas estas funciones distintas el comportamiento de los valores finales es el mismo que se explic� en este cap�tulo. Este comportamiento es caracter�stico de las funciones no lineales.
En cap�tulos posteriores analizaremos algunas consecuencias de este comportamiento.
