VII. CONDICIONES INICIALES Y SU IMPORTANCIA

EN EL cap�tulo IV citamos a Poincar� cuando alud�a a las condiciones iniciales. En el presente cap�tulo analizaremos en detalle esa cuesti�n.

Consideremos un fen�meno f�sico bien conocido, la ca�da de los cuerpos. Una piedra cae al soltarla debido a que experimenta una fuerza, la de gravedad, que est� dirigida hacia el centro de la Tierra. Con base en las leyes de Newton se puede encontrar que la trayectoria que sigue la piedra es una l�nea recta vertical.

Sin embargo, la misma piedra sujeta a la misma fuerza (su peso) tambi�n puede moverse a lo largo de otra trayectoria. Por ejemplo, si la lanzamos hacia arriba formando cierto �ngulo con la horizontal, entonces se mover� a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura 13, que resulta ser una par�bola.

Nos podemos hacer la siguiente pregunta: si en los dos casos la misma piedra estuvo sujeta a la misma fuerza, �por qu� en un caso se movi� a lo largo de una l�nea recta vertical y en el otro a lo largo de una par�bola? Como podemos apreciar, a pesar de ser la misma piedra y la misma fuerza, hubo una diferencia.

· En el primer caso se solt� la piedra, lo que significa que en el instante inicial su velocidad fue nula

· En el segundo caso se le dio a la piedra, en el instante inicial, una velocidad dirigida hacia arriba, como se muestra en la figura 13.

Por tanto, en los dos casos hubo condiciones iniciales diferentes y, en consecuencia, las trayectorias seguidas fueron distintas, a pesar de que en ambos casos la piedra estuvo sujeta a la misma fuerza, la gravedad.

Este ejemplo nos ilustra un hecho muy importante: para conocer el tipo de evoluci�n que sigue un sistema se necesita conocer, adem�s de las leyes que lo rigen (en los casos de arriba, las de Newton y la fuerza de la gravedad), las condiciones iniciales del sistema. Bajo las mismas leyes, diferentes condiciones iniciales producen distintas evoluciones en el tiempo.

La cuesti�n a que se refiri� Poincar� tiene que ver con lo siguiente. Tomemos dos piedras iguales. Soltemos la primera piedra desde cierto punto, digamos el A, sobre el suelo (figura 14(a)). Al mismo tiempo soltemos la segunda piedra desde el punto B, que est� muy cercano al A. Nos damos cuenta de que, no obstante que en ambos casos las velocidades iniciales de las piedras son iguales (cero), sus posiciones iniciales no son iguales ya que las soltamos desde dos puntos distintos, aunque difieren muy poco. Decimos que las condiciones iniciales de ambas piedras no son las mismas, aunque s� muy parecidas.

Figura 13. Una piedra lanzada hacia arriba, formando un �ngulo con la horizontal, describe una trayectoria parab�lica.

Figura 14. Cuando dos cuerpos caen a partir del reposo y desde posiciones muy cercanas, no se separan mucho en sus trayectorias.

Veamos qu� pasa con las posiciones que van ocupando las dos piedras en sus ca�das. Si nos fijamos medio segundo despu�s de haber soltado las piedras ver�amos (figura 14(b)) que est�n en las posiciones C y D, respectivamente. Nos damos cuenta de que la distancia entre los puntos C y D tambi�n es muy peque�a (de hecho es igual a la de los puntos iniciales A y B). En consecuencia, si la diferencia de condiciones iniciales es muy peque�a, entonces al transcurrir el tiempo la diferencia entre las posiciones de las dos piedras sigue siendo muy peque�a. Es decir, en este caso, las trayectorias que siguen son muy cercanas.

Veamos ahora otra situaci�n. Supongamos que soltamos las dos piedras iguales desde puntos cercanos a la cima de una monta�a (figura 15). La primera en la cima C, y la otra desde el punto A de la figura, es decir, un lugar que no es ya la cima, pero muy cercano a ella. �Qu� ocurre ahora con las trayectorias de las piedras? Pues la primera se quedar� en la cima mientras que la segunda rodar� por la ladera de la monta�a. En consecuencia, despu�s de cierto intervalo, digamos 3 segundos, la separaci�n entre las posiciones de ambas piedras ser� muy grande: una en la cima y la otra abajo. En este caso, nuevamente las condiciones iniciales de las dos piedras son muy parecidas pero ahora sus posiciones, al transcurrir el tiempo, difieren marcadamente. Es decir, con el paso temporal en este caso no se conservan las posiciones muy cercanas unas de otras.

Figura 15. Dos piedras que caen desde puntos distintos de una monta�a y a partir de posiciones muy cercanas, se separan mucho a lo largo de sus trayectorias.

Otro ejemplo se ilustra en la figura 16, en que se observa dos bolas de billar que inciden sobre una mesa que tiene varios botadores fijos. Las posiciones iniciales de las bolas son ligeramente distintas. Vemos que aun cuando las velocidades iniciales de las bolas sean las mismas, las trayectorias que siguen son completamente diferentes.

Figura 16. Ilustraci�n de que variaciones peque�as en las posiciones iniciales producen trayectorias muy separadas.

De los casos que hemos considerado podemos afirmar que hay dos tipos de situaciones: 1) Condiciones iniciales muy parecidas producen condiciones finales tambi�n muy parecidas, y 2) condiciones iniciales muy parecidas producen condiciones finales completamente diferentes.

Ahora bien, para determinar la evoluci�n de un sistema cuando el tiempo transcurre debemos conocer las leyes que lo rigen, as� como sus condiciones iniciales. Si fuera posible determinar con TODA precisi�n estas condiciones iniciales entonces podr�amos saber en cualquier instante las caracter�sticas que tiene el sistema. A esto se refer�a Laplace (v�ase cap�tulo IV) cuando dec�a que si se le daban las condiciones iniciales del Universo podr�a determinar el futuro.

Sin embargo, en una situaci�n real no podemos afirmar que se puedan determinar con TODA precisi�n las condiciones iniciales. Al medir estas cantidades siempre se cometer�n errores, que son inevitables. Por lo tanto, lo m�s que se puede hacer es dar las condiciones iniciales en forma aproximada. Estas condiciones iniciales diferir�n de las verdaderas condiciones iniciales del sistema en muy poco si los errores cometidos son peque�os. �Qu� podemos decir acerca de la trayectoria que seguir� el sistema?, �podemos predecirla?

De lo que se ha visto puede ocurrir una de dos posibilidades: 1) Si estamos en un caso en que diferencias de condiciones iniciales producen condiciones finales muy parecidas, entonces podremos predecir qu� ocurre con el sistema, con el transcurso del tiempo, tambi�n con un error peque�o. En este caso la separaci�n entre las trayectorias es muy peque�a y la predicci�n que se haga ser� muy parecida a la trayectoria real. 2) Si se est� en el caso en que peque�as diferencias en las condiciones iniciales producen condiciones finales muy distintas, entonces la trayectoria real que siga el sistema se separar� muy marcadamente de la trayectoria que podamos predecir. En este caso nuestra predicci�n est� muy lejos de la realidad, por lo que no hay posibilidad de hacer predicci�n v�lida alguna.

En la cita de Poincar� mencionada en el cap�tulo IV, este cient�fico se refiri� precisamente a estas dos posibles situaciones. En el pr�ximo cap�tulo se considerar�n las consecuencias de estas posibilidades.

Los casos de las figuras 15 y 16 son ejemplos f�sicos de dependencia muy sensible de las condiciones iniciales.