IX. M�S SOBRE EL CAOS

EN ESTE cap�tulo se examinar� una forma diversa de considerar al fen�meno ca�tico. Regresemos al caos de la poblaci�n que tratamos en el cap�tulo anterior. Vimos que si el valor del par�metro q de la ecuaci�n (6) es suficientemente peque�o, entonces, sea cual sea el valor inicial de la poblaci�n, es decir, el valor inicial de x, despu�s de cierto n�mero de iteraciones se llega a un valor final que ya no cambia al seguir iterando. Recordando que cada iteraci�n nos da el valor de la poblaci�n un a�o despu�s, concluimos que si q es suficientemente peque�o, despu�s de cierto tiempo se llega a una poblaci�n final que ya no var�a al transcurrir el tiempo.

Si q aumenta, ocurre que despu�s de ciertas iteraciones la cantidad x adquiere dos valores. En una iteraci�n adquiere el primero, y en la siguiente, el segundo, y estos dos valores se van alternando. Esto significa que despu�s de cierto tiempo, en un a�o la poblaci�n tiene un valor y al siguiente el segundo valor. En el tercero la poblaci�n vuelve a tener el primer valor, en el cuarto el segundo valor, y as� sucesivamente. Por lo tanto, el primer valor final lo adquiere la poblaci�n cada dos a�os; lo mismo ocurre con el segundo valor, la poblaci�n lo va adquiriendo cada dos a�os. Este era el r�gimen que se llama de periodicidad dos.

Al seguir aumentando el valor de q se llega a un r�gimen final en el que hay cuatro posibles valores finales de la poblaci�n, que se van alternando. Por tanto, cada uno de estos valores se va adquiriendo cada cuatro a�os. Estamos en el caso de la periodicidad cuatro.

Podemos as� continuar, hasta que se llegue al r�gimen ca�tico, en que cada a�o la poblaci�n va adquiriendo cierto valor que ya no se repite.

Ahora bien, lo anterior significa que, antes de entrar en el r�gimen ca�tico, el periodo va aumentando de 1 a 2 a�os, a 4 a�os, a 8 a�os, etc., a medida que el valor de q va aumentando. Llega cierto momento en que ya no se puede hablar de periodo, se ha entrado en el r�gimen ca�tico.

Otra forma de presentar estos resultados es en t�rminos de la frecuencia y no del periodo. Estas dos cantidades est�n �ntimamente relacionadas. El periodo es el tiempo que tarda alg�n fen�meno en volverse a repetir, por ejemplo, el tiempo en que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor de su eje es el periodo de su rotaci�n. Como sabemos este periodo es de 24 horas. Es claro que para poder hablar de periodo el fen�meno debe ser repetitivo, esto es, peri�dico.

La frecuencia de un fen�meno peri�dico es el n�mero de veces que se repite en un segundo, en un minuto o en otra unidad de tiempo. Si un tocadiscos da 33 vueltas por minuto, esto significa que su frecuencia es de 33 revoluciones por minuto, abreviado 33 rpm.

Un ejemplo de fen�meno repetitivo es cuando un cuerpo se mueve alrededor de un c�rculo. Supongamos que el cuerpo tarda 5 segundos en dar una vuelta; su periodo es de 5 segundos. Por lo tanto, en un segundo el cuerpo habr� dado (1/5) de vuelta; su frecuencia es (1/5) = 0.2. De este ejemplo vemos que si el periodo tiene cierto valor, llam�mosle T, entonces su frecuencia es igual a (1/T). La frecuencia es igual al inverso del periodo.

Regresando al caso de la poblaci�n que estudiamos antes, llegamos a la conclusi�n de que al ir aumentando el valor de q el periodo aumenta a 2, luego a 4, luego a 8, y as� sucesivamente, hasta llegar al r�gimen ca�tico. Expresando esto en t�rminos de frecuencia, vemos que si para un valor de q solamente hay un periodo esto equivale a un valor de la frecuencia.

Figura 20. Gr�ficas que muestran las frecuencias caracter�sticas que gobiernan el fen�meno para valores recientes de q. A medida que q crece, aumenta el n�mero de frecuencias.

Al aumentar el valor de q, el periodo aumenta al doble y por tanto, la frecuencia disminuye entonces a la mitad.

Al seguir aumentando el valor de q, el periodo aumenta cuatro veces, por lo que la frecuencia disminuye cuatro veces.

Al continuar aumentando el valor de q, el periodo aumenta ocho veces, por lo que la frecuencia disminuye ocho veces, etc�tera.

En consecuencia, si para cada valor de q se hiciera una gr�fica de la frecuencia que corresponde al fen�meno, se encontrar�a la sucesi�n de gr�ficas de la figura 20. Cada gr�fica de esta sucesi�n corresponde a un valor de q. Vemos entonces que los picos de las gr�ficas, a medida que q aumenta, van apareciendo a la mitad del valor de la frecuencia anterior. Cuando se llega al r�gimen ca�tico, entonces ya no hay ning�n pico, ya que no hay periodo, y por tanto, no hay ninguna frecuencia caracter�stica.

Una forma de obtener resultados experimentales, como en el caso de la turbulencia, es por medio de an�lisis de frecuencias del fen�meno en cuesti�n. Este es el motivo por el cual introdujimos la explicaci�n en t�rminos de esta cantidad.