X. �DETERMINISMO O INDETERMINISMO? PREDICTIBILIDAD

UNA de las m�s grandes metas de la ciencia es ser capaz de predecir fen�menos. Veamos con un poco de detalle lo que esto significa.

Despu�s de investigar a fondo un fen�meno espec�fico, se han podido establecer los mecanismos que rigen este fen�meno. Por ejemplo, el caso del movimiento de los planetas alrededor del Sol fue estudiado por Newton, quien demostr� que, si hay una fuerza entre cuerpos que tienen masa, dada por la ley de la gravitaci�n universal que propuso, entonces, de acuerdo con sus leyes de movimiento los planetas deber�an girar alrededor del Sol en elipses. Newton estableci� ciertas ecuaciones matem�ticas que describen el fen�meno y, a partir de la soluci�n de sus ecuaciones, encontr� las elipses. Es decir, Newton pudo hacer una predicci�n. Esta forma de proceder se llama en f�sica construir un modelo. De alguna forma este modelo refleja matem�ticamente las caracter�sticas f�sicas del sistema: en este caso, de la relaci�n entre los planetas y el Sol.

Pero esto no es todo. Por medio de sus resultados Newton pudo considerar lo siguiente: si se llega a saber d�nde se encuentra un planeta en determinado momento, se podr� saber d�nde estar� en cualquier otro instante de tiempo. Es decir, si se conocen las condiciones iniciales del planeta se puede determinar su trayectoria en el futuro. Aplicadas estas ideas al movimiento del cometa Halley, este cient�fico ingl�s predijo en el siglo XVIII, que el cometa deber�a regresar cada 76 a�os, hecho que en efecto ha ocurrido; las dos �ltimas apariciones fueron en 1910 y en 1986.

Sin embargo, para poder especificar las condiciones iniciales es necesario medirlas con alg�n aparato. Como resultado de la medici�n de cualquier cantidad se obtiene un n�mero. Pero este n�mero contiene incertidumbres, ya que en el proceso de medici�n en que lo obtenemos hay factores que, en general, no se pueden controlar. Por ejemplo, si se mide el peso de un cuerpo con una balanza, pueden ocurrir errores en la lectura de la aguja, debido a alguna vibraci�n que produzca el paso de un veh�culo, o a causa de alguna corriente de aire, etc. Es decir, siempre que se mide algo hay errores. Por tanto, como resultado de una medici�n se debe dar el n�mero obtenido as� como los l�mites de los errores que se puedan cometer.

As�, por ejemplo, como resultado de una medici�n de peso se dir� que el peso del cuerpo de inter�s se encuentra entre 54.5 kg y 54.8 kg. El "verdadero" valor del peso est� dentro de este intervalo. El intervalo:

54.8 kg - 54.5kg = 0.3kg

es un c�lculo del error cometido al hacer la medici�n.

Por supuesto que mientras menores sean los errores que se cometan, mejor ser� el resultado de la medici�n. Lo m�s que se puede hacer es lograr que el intervalo dentro del cual caen las mediciones disminuya, pero no se puede eliminar.

En general, podemos afirmar que no se puede hacer una medici�n con precisi�n absoluta. Siempre se tendr� un intervalo de error dentro del cual cae el "verdadero" valor. Los l�mites de error experimental son estimaciones cuantitativas de la importancia de las perturbaciones que muchos factores externos, pr�cticamente imposibles de controlar, provocan en la medici�n. La determinaci�n del intervalo de error experimental es parte del trabajo cotidiano de un cient�fico experimental. Mientras menor sea el intervalo de error, m�s precisa ser� la medici�n efectuada.

Como consecuencia del hecho de que una medici�n contiene errores, ocurre lo siguiente: supongamos que se lanza hacia abajo una piedra desde 7 m de altura sobre el suelo (figura 21(a)) y queremos predecir d�nde estar� la piedra despu�s de 2 segundos. Si tenemos un modelo necesitaremos introducir las condiciones iniciales; en este caso, una es la altura sobre el suelo. Sup�ngase que al medir la posici�n inicial de la piedra se encuentra que los errores experimentales la sit�an entre los puntos A y B de la figura, con un intervalo de 0.12cm. El modelo que se tiene puede entonces predecir que despu�s de 2 segundos, la piedra se encontrar� a una altura de 1.5 m sobre el suelo. Ahora supondremos que se produce una de las dos situaciones siguientes:

1) La piedra deber� estar en un intervalo de 0.14 cm entre los puntos C y D (figura 21(b))

2) La piedra deber� estar en un intervalo de 2.15 cm entre los puntos C y D (figura 21(c)).

Si el modelo con el que se trabaja da lugar a los resultados del inciso (2) entonces no se puede hablar de que el modelo predice d�nde estar� la piedra despu�s de 2 segundos, ya que los l�mites de error se magnificaron: de 0.12 cm a 2.15 cm. Este resultado casi nos dice que la piedra puede estar, despu�s de 2 segundos, en cualquier lugar. Claramente esto no es lo que llamar�amos una predicci�n.

Figura 21. Al transcurrir el tiempo, el error inicial en la determinaci�n de la posici�n de la piedra (a) puede quedar dentro de un intervalo an�logo al inicial (b) o puede crecer mucho (c).

Por otro lado, en el caso del inciso (1) vemos que los errores se mantuvieron muy parecidos a los de la determinaci�n inicial. Se considera que en este caso el modelo ha predicho la posici�n de la piedra. No es posible hacer una mejor predicci�n.

Si se hace un experimento para determinar la posici�n de la piedra, los l�mites de error deber�n ser an�logos a los hechos en el momento en que se determin� la posici�n inicial.

En consecuencia, si los par�metros del sistema que se est� considerando son tales que la propagaci�n de los errores no se amplifica, entonces el modelo s� predice el comportamiento futuro del sistema (�ste ser�a el caso del inciso (1)). Si ocurre que los l�mites de error se amplifican (como en el caso del inciso (2)), entonces el modelo no es capaz de predecir el comportamiento futuro del sistema.

Ahora trataremos esta cuesti�n de la predicci�n para el caso que se consider� en el cap�tulo VIII, es decir, la forma en que evoluciona una poblaci�n dada por la ecuaci�n (6) , es decir, para el caso no lineal.

Consideremos el caso de q = 2.5 y tratemos dos condiciones iniciales muy cercanas: 0.25 y 0.27. A continuaci�n presentamos las primeras iteraciones:

Valor inicial = 0.25	Valor inicial = 0.27	Diferencia
0.4688	0.4928	0.0240
0.6226	0.6229	0.0003
0.5874	0.5860	0.014
0.6059	0.6065	0.0006
0.5970	0.5966	0.0004
0.6015	0.6017	0.0002
0.5992	0.5992	0.0000
0.6004	0.6004	0.0000
0.5998	0.5998	0.0000
0.6001	0.6001	0.0000
0.6000	0.5999	0.0001
0.6000	0.6000	0.0000

En la �ltima columna se presenta el c�lculo de la diferencia entre los valores de cada rengl�n.

Se puede observar que, en primer lugar, la diferencia entre los valores iniciales es 0.27 - 0.25 = 0.02. En segundo lugar, si se observa la columna de diferencias podemos afirmar que �stas nunca son mayores que 0.02, la diferencia inicial (excepto en el primer rengl�n, en que es de 0.024, que es parecido a 0.02), sino que disminuyen a medida que progresamos en la iteraci�n hasta que finalmente son pr�cticamente nulas. Esto �ltimo es una manifestaci�n de algo que ya conocemos. No importa cuales sean las condiciones iniciales, para el caso de q = 2.5, siempre se terminar� con el valor final de 0.6. En consecuencia, en este caso el modelo s� es capaz de hacer una predicci�n, ya que los l�mites de error iniciales no se amplifican, sino que pr�cticamente se llega al mismo resultado (0.6) sin importar cu�l haya sido el valor inicial de la poblaci�n.

Por otro lado, sup�ngase que el valor de q es igual a 3.6 y se tratan dos condiciones iniciales, por ejemplo, 0.60 y 0.63; si uno se pregunta cu�les son las poblaciones en las iteraciones 98, 99 y 100, se obtienen los siguientes valores:

Valor inicial = 0.60	Valor inicial = 0.63	Diferencia
0.3413	0.4567	0.1154
0.8094	0.8932	0.0838
0.5555	0.3433	0.2122

En primer lugar, vemos que la diferencia entre los valores iniciales es 0.63 - 0.60 = 0.03. En segundo lugar observamos que para estas iteraciones, las diferencias no son del mismo tama�o que la inicial. Estas diferencias llegan a ser mucho mayores que 0.03 y adem�s son muy variables, la primera es de 0.1154, luego es 0.0838 y enseguida crece fuertemente a 0.2122. Podemos afirmar entonces que si la situaci�n es tal que q =3.6, los l�mites de error iniciales no nada m�s se amplifican, sino que se vuelven azarosos. Por tanto, en este caso el modelo no es capaz de predecir la situaci�n futura de la poblacion.

Del an�lisis de estos dos casos concluimos que: a) el modelo es capaz de hacer predicciones, en el sentido que arriba mencionamos, si los par�metros del sistema (en nuestro caso el valor de q) son tales que ocurre un comportamiento peri�dico, y b) que el modelo no es capaz de hacer predicciones si los par�metros son tales que se est� en la regi�n ca�tica.

Por otro lado nos damos cuenta de que, para cualquier valor del par�metro q, la regla para hacer iteraciones est� completamente determinada. Esto significa que el modelo es determinista. si uno da el valor de q y la condici�n inicial de x, siempre obtendr� el mismo valor para la iteraci�n 127, digamos. En consecuencia, este modelo es determinista y presenta dos tipos de reg�menes: el peri�dico y el ca�tico. Puede parecer a primera vista que hay una contradicci�n entre estos t�rminos. Sin embargo, como se ha ilustrado, �ste no es el caso.

En este punto conviene hacer una aclaraci�n muy importante. El modelo constituye la descripci�n de una parte de la naturaleza: puede ser descrito en t�rminos matem�ticos o no. As� el modelo dado en el cap�tulo VIII trata de representar un fen�meno, el de la variaci�n de la poblaci�n de insectos. El modelo es el que puede ser determinista o no, puede ser ca�tico o no. En nuestro caso el modelo s� es determinista, porque se puede determinar cuantas veces se quiera el valor de la poblaci�n en el instante que se quiera (o sea la iteraci�n que se quiera) habiendo dado el par�metro q y la condici�n inicial de x.

No hay que confundir entre el modelo que trata de representar a cierta realidad con la realidad misma.

Se ha ilustrado un hecho muy importante. Un modelo determinista, como el de la ecuaci�n (6), en ciertas condiciones de los valores de los par�metros (por ejemplo q) puede predecir el comportamiento futuro y los errores en las condiciones iniciales no se amplifican. En otras condiciones, para otros valores de los par�metros, el modelo no puede predecir el comportamiento futuro; ahora los errores en las condiciones iniciales se amplifican y adem�s el comportamiento se vuelve azaroso. En el primer caso (donde s� se pueden hacer predicciones) el sistema est� en un r�gimen peri�dico. En el segundo caso (donde no se pueden hacer predicciones) el sistema est� en un r�gimen ca�tico. N�tese que ambos tipos de comportamientos �se dan en el mismo sistema!