XII. ARITM�TICA. LA SECUENCIA DE FIBONACCI
VAMOS a formar una secuencia de n�meros de la siguiente forma.
Empecemos con el cero y el uno; si los sumamos nos da:
Sumemos ahora el 1 de la derecha con el anterior 1 del lado izquierdo:
Ahora sumemos este 2 con el 1 que est� a la izquierda, antes del signo igual:
y seguimos formando la secuencia, sumando el resultado con el �ltimo n�mero del lado izquierdo:
2 + 3 =5 |
3 + 5 = 8 |
5 + 8 = 13, |
De esta manera se forma la secuencia llamada de Fibonacci, que es,
Esta secuencia tiene caracter�sticas aritm�ticas muy interesantes y, sin haberse pretendido, tiene aplicaciones importantes, como veremos.
En primer lugar, multipliquemos cada n�mero de la secuencia por el n�mero 1.6. As� se obtiene la siguiente secuencia:
Si ahora redondeamos cada uno de estos n�meros al entero m�s cercano encontramos:
que a partir del segundo 2 es �precisamente la secuencia de Fibonacci! (a excepci�n de unos t�rminos iniciales y posiblemente algunos posteriores). Esto es, resulta que la secuencia de Fibonacci es autosimilar.
Ahora vamos a construir otra secuencia, a partir de la de Fibonacci, como sigue. Tomamos un n�mero de la secuencia de Fibonacci y lo dividimos entre el siguiente. Si empezamos con el segundo, que es 1, y lo dividimos entre el tercero, que tambi�n es 1, nos da:
Ahora dividimos el tercero, que es 1, entre el cuarto, que es 2, y nos da:
Al dividir el cuarto, que es 2, entre el quinto, que es 3, nos da:
Si seguimos as� obtenemos los siguientes n�meros:
etc. Si seguimos as� nos daremos cuenta de que todos los dem�s cocientes se van acercando al n�mero 0.618. Este �ltimo recibe el nombre de la media dorada. Otra manera de obtenerlo es como sigue:
Sumemos 1 con 1, que nos da 2. Tomemos su inverso:
El lector se dar� cuenta que lo que hizo es la operaci�n siguiente:
Ahora repetimos el procedimiento con 0.666. Le sumamos 1, que nos da 1.666 y tomamos su inverso:
N�tese que lo que se ha hecho hasta ahora es:
Continuando de esta manera se obtienen las siguientes formas. Le sumamos 1 a 0.6 y obtenemos 1.6. Su inverso es:
Este valor tambi�n se puede escribir como sigue:
Si se contin�a con este procedimiento llega un momento en que se obtiene el n�mero 0.618. Continuando, le sumamos 1 y obtenemos 1.618. Su inverso es:
�Otra vez 0.618! Por tanto, al continuar con el procedimiento obtendremos todo el tiempo 0.618. En la figura 23 se muestra la forma de encontrar este n�mero 0.618, que recibe el nombre de la media dorada.
A este tipo de quebrados se les llama fracciones continuas. Por lo tanto, la media dorada se obtiene tambi�n como una fracci�n continua. En la figura 23 vemos que es geom�tricamente autosimilar.
La secuencia de Fibonacci fue obtenida por primera vez en 1202 por el matem�tico italiano Leonardo de Pisa, hijo de Bonacci (en italiano, figlio de Bonacci, o Fibonacci, nombre que se le qued�), al tratar la cuesti�n del crecimiento de una poblaci�n de conejos. Se hizo la pregunta de cu�ntas parejas de conejos habr� despu�s de cierto n�mero de temporadas de crianza, esto es, c�mo se multiplican los conejos. Para simplificar supuso lo siguiente:
1) Se empieza con una pareja inmadura.
2) Los conejos maduran una temporada despu�s de haber nacido.
3) Las parejas de conejos maduras producen una nueva pareja cada temporada de crianza.
Figura 23. La sucesi�n de operaciones para obtener la media dorada es autosimilar.
De acuerdo con estas reglas, el n�mero de conejos en una generaci�n es igual a la suma de las parejas de conejos que hay en las dos generaciones anteriores. Si se empieza con una pareja, despu�s de una temporada se produce una nueva pareja. Por tanto, al final de la temporada hay 1 + 1= 2 parejas de conejos. Si se sigue de esta manera se encuentran los siguientes n�meros de parejas en las sucesivas temporadas:
que es precisamente la secuencia de Fibonacci.
Otra manera de ver lo anterior es como sigue: vamos a llamar con el n�mero 0 a una pareja inmadura y con el 1 a una pareja madura. Por tanto, despu�s de una temporada una pareja inmadura (0) producir� una pareja madura (1), o sea, donde hay un 0� 1. Adem�s, una pareja madura (1) produce una pareja inmadura (0) y, por lo tanto, despu�s de esta temporada existir�n la pareja madura (1) y la inmadura (0). En consecuencia, despu�s de una temporada donde hay un 1� 10. Con esta regla de transformar unos y ceros, veamos qu� se obtiene al transcurrir las temporadas.
Si empezamos con 0� 1; este 1�10; el �ltimo 1�10, y el 0 se transforma en 1, por lo que el 10� 101. Transformando cada uno de estos n�meros de acuerdo con la regla que dimos:
Este �ltimo n�mero se transforma, a su vez, en:
y as� seguimos indefinidamente. De esta forma se obtiene la secuencia siguiente
llegando despu�s de muchas temporadas, al n�mero:
�Es esta secuencia autosimilar? En este n�mero vamos a subrayar las parejas "10":
Si en lugar de cada pareja "10" subrayada sustituimos ahora un "1", y en lugar de cada "1" no subrayado sustituimos un "0", encontramos lo siguiente:
Esta secuencia la podemos ver gr�ficamente como sigue (figura 24). Dibujemos una pareja inmadura en blanco, y una pareja madura en negro. Al principio hay s�lo una pareja inmadura (rengl�n 1). Despu�s de una temporada, esta pareja llega a la madurez (rengl�n 2) y, adem�s de seguir viviendo, produce una pareja inmadura despu�s de una temporada. Por tanto, en la tercera temporada (rengl�n 3) hay una pareja madura y una inmadura.
Figura 24. Una pareja inmadura se muestra en blanco y otra, madura, en negro.
Son los resultados que se obtienen en cada temporada.
Siguiendo con este razonamiento, se muestran en la figura 24 las poblaciones en varias temporadas posteriores. Si ahora representamos una pareja inmadura (en blanco) con el "0" y a una madura (en negro) con el "1", se van obteniendo las siguientes secuencias
que son precisamente las secuencias que vimos arriba. El lector se dar� cuenta de que una pareja inmadura (0) produce una pareja madura (1), o sea, 0 �1. Adem�s, despu�s de una temporada, una pareja madura (1) produce una inmadura (0), por lo que al final de la temporada quedan la madura (1) y la inmadura (0), o sea, 1 � 10. Estas transformaciones son precisamente las que se usaron arriba
