XIII. CUASICRISTALES

UNA consecuencia obtenida al aplicar el concepto de la autosimilitud fue lograr la predicci�n de la existencia de una nueva fase de la materia, a saber, los cuasicristales. Haremos una breve revisi�n de algunos conceptos referentes al estado s�lido.

La materia se encuentra a nuestro alrededor formando diferentes fases: la gaseosa, la l�quida y la s�lida.

En la fase gaseosa, los �tomos o mol�culas se mueven y giran totalmente al azar. Esto da como consecuencia que el gas no tenga ninguna estructura.

En un l�quido los �tomos tambi�n est�n desordenados. En un s�lido se dan varias posibilidades. En un caso importante los �tomos se encuentran situados al azar, o sea desordenados; �ste es un s�lido amorfo. Un ejemplo son los vidrios.

En otros s�lidos, los �tomos se encuentran formando redes peri�dicas, dando lugar a un cristal. Muchas sustancias s�lidas conocidas son cristales, como la sal de mesa, formada por �tomos de cloro y de sodio (figura 25) o los diamantes. En un cristal los arreglos son peri�dicos, lo que significa que se repiten. Adem�s, en un cristal hay simetr�as, lo que significa que si se traslada el cristal a determinada distancia, entonces el patr�n se repite. Por ejemplo, en la figura 26 se muestran redes cristalinas en dos dimensiones (debido a que se encuentran en un plano, el de la hoja). Si se traslada cualquiera de ellas adecuadamente, se vuelve a repetir la red.

Figura 25. Esquema de un cristal. N�tese que cada celda se va repitiendo.

Figura 26. Simetr�as de un cristal en dos dimensiones: (a) simetr�a de 180°=360°/2; (b) simetr�a de 90°=360/4; (c) simetr�a de 120°=360°/3 y (d) simetr�a de 60°/6. No hay simetr�a de 360°/5=72°.

Figura 27. Una celda en que los �tomos ocupan los v�rtices de un hex�gono tiene simetr�a de 60°=360°/6.

Nos damos cuenta de que cada una de estas redes tiene una simetr�a. Esto quiere decir que si se gira la red por cierto �ngulo alrededor de un punto que est� en el centro del "azulejo", se vuelve a recuperar la red. Por ejemplo, en el caso de la figura 27, que est� formada de "azulejos" hexagonales, si se gira el patr�n alrededor del punto C en un �ngulo de 60°, el punto A cae en el punto B, que es un punto de la red. Si el �ngulo que se girara fuera de 45° digamos, entonces el punto A caer�a en el punto D, que no es punto de la red, y �sta no se reproducir�a. Decimos que la red hexagonal tiene simetr�a de 60° = 360°/6. Para los casos de la figura 26, al girar el punto A alrededor de C al �ngulo anotado a continuaci�n, llega al punto B, que es un punto de la red. Las simetr�as son entonces:

a) figura 26(a): 180°= 360°/2; b) figura 26(b): 90° = 360°/4; c) figura 26(c): 120°= 360°/3; d) figura 26(d): 60° = 360°/6.

En la teor�a del estado s�lido se demuestra que, en el caso de dos dimensiones, �stas son las �nicas posibles simetr�as.

Un caso prohibido es la simetr�a de 5, o sea la que resultar�a de un giro de 360&3176/5 = 72°. La demostraci�n es la siguiente: sup�ngase que los puntos A y B sean puntos de una red, en que la distancia AB sea la m�nima en el cristal (figura 28(a)). Los puntos A y B est�n entonces ocupados por �tomos. Si hubiera simetr�a de 72°, esto querr�a decir que si se gira el cristal, con centro en el punto A, por un �ngulo de 72° (figura 28(b)) entonces el punto B caer�a en el punto C, que deber�a ser ocupado por un �tomo. De la misma forma, al girar el cristal por un �ngulo de 72° alrededor del punto B (figura 28(c)), el punto A caer�a en el punto D, que tambi�n deber�a ser ocupado por un �tomo. En consecuencia, los puntos C y D tambi�n ser�an puntos de la red cristalina (figura 28(d)). Vemos que la distancia CD es menor que la distancia AB. Pero se parti� del hecho de que la m�nima distancia entre dos �tomos es la distancia AB. Por lo tanto se llega a una contradicci�n, hecho que indica que no puede darse este tipo de simetr�a.

Lo que hemos mencionado para el caso de dos dimensiones, tambi�n se aplica en el de tres dimensiones. No todas las simetr�as son posibles.

Durante muchos a�os as� lo pensaron los cient�ficos e ingenieros. Sin embargo, en 1984 se anunci� el descubrimiento de la fase de una aleaci�n de aluminio-manganeso que tiene simetr�a de 72°. Esto se descubri� por medio del patr�n de difracci�n de electrones mostrado en la figura 29. La muestra se bombardea con un haz de electrones y se registran en una pel�cula las direcciones de los electrones que salen de la muestra.* Solamente diremos que este patr�n refleja las simetr�as que tiene la sustancia. Se puede ver en la figura 29 que si se gira el patr�n alrededor del centro un �ngulo de 72�, se vuelve a recuperar el patr�n original. Es decir, hay simetr�a de 72°.

Figura 28. Demostraci�n de que la simetr�a de 72° = 360°/5 no es posible.

La pregunta que inmediatamente surgi� fue: �c�mo es posible llenar el plano con cierta figura de manera completa? Si nos fijamos en la figura 26(b) vemos que con la celda cuadrada es posible llenar completamente un plano. Por este motivo es que ocurre la simetr�a 4. Es posible llenar el plano con cada una de las forma de la figura 26. �C�mo ser�a posible llenar el plano para que se obtenga una simetr�a de 72°?

Una manera de llenar un plano con esta simetr�a es la mostrada en la figura 30. A primera vista la figura da la impresi�n de ser peri�dica. Sin embargo, a diferencia de lo que pasa con las formas de la figura 26, si nos fijamos con detenimiento, veremos que ahora ya no hay periodicidad. A este tipo de estructura se le llama cuasicristal.

Se han descubierto tambi�n cuasicristales de tres dimensiones, mas no hablaremos de ellos.

Figura 29. Patr�n de difracci�n de electrones en una muestra de aluminio-manganeso que tiene la simetr�a de 72° = 360°/5.

Figura 30. Forma en que se puede llenar todo el plano con figuras que tiene la simetr�a de 72°. N�tese que esta estructura no es peri�dica.

Pero, �qu� tiene que ver todo esto con la autosimilitud? Para contestar esta pregunta vamos a construir, en primer lugar, una red de una dimensi�n, es decir; a lo largo de una l�nea recta. Para este fin consideremos primero una red cuadrada como la que se muestra en la figura 31(a). Ahora tracemos una l�nea recta (figura 31(b)) que forme con el eje horizontal un �ngulo de 58.280. Esta l�nea es la LK. Al lector que sepa trigonometr�a le diremos que este �ngulo es tal que su tangente es igual a (1/0.618) = 1.618, donde 0.618 es la media dorada de la que se trat� en el cap�tulo anterior. Es decir, el �ngulo de 58.28° est� relacionado con la media dorada.

Figura 31. Procedimiento de construcci�n de un cuasicristal a lo largo de una l�nea recta. En el texto se ilustra la importancia de la media dorada para esta constucci�n.

La l�nea recta LK cruza varios cuadrados de la red, como por ejemplo, el ABCD. Ahora bien, cada vez que la l�nea entre en un cuadrado, desde el v�rtice superior izquierdo se trazar� una l�nea perpendicular a la l�nea recta. As�, en el cuadrado ABCD, el v�rtice superior izquierdo es D; desde D se traza la l�nea DQ, perpendicular a la l�nea LK De esta manera se forman en la l�nea los puntos Q, P, R, T,S,... y resulta que las distancias QP, RT, TS s�lo adquieren dos valores. Las distancias QP, RT, TS son iguales entre s�; asimismo, las distancias PR, SV, WX, ... son tambi�n iguales entre s�. De las dos distancias que se forman, una es m�s grande que la otra. Por ejemplo, PR es menor que QP. Resulta que la relaci�n entre estas dos distancias diferentes que as� se forman es:

�igual a la media dorada! Si llamamos longitud grande igual a "1" y a la peque�a igual a "0", entonces las longitudes en las que se divide la l�nea transversal, a partir de Q, son (figura 31(c)):

1011010110110...

que es precisamente la secuencia de Fibonacci, que se trat� en el cap�tulo anterior (v�ase (A) de la p�gina 72). Si ahora consideramos la l�nea LK y en los puntos Q, P, R,... se colocan �tomos, se forma un cuasicristal en una dimensi�n.

Para los casos de dos y tres dimensiones se puede hacer algo an�logo. Sin embargo, esto implica consideraciones en las que no entraremos y solamente diremos que se puede hacer con ayuda de una computadora. Para el caso de dos dimensiones lo que se obtiene es el arreglo mostrado en la figura 32. Si uno se fija con cuidado, los puntos de esta red no forman una red peri�dica. Resulta que estos puntos corresponden a los v�rtices de la red mostrada en la figura 30. N�tese que esta red cubre completamente todo el plano pero no es peri�dica.

Por otro lado, el patr�n de difracci�n de electrones que produce una red como la mostrada en la figura 32 es �precisamente el patr�n mostrado en la figura 29! En consecuencia, el patr�n de la figura 29 obtenido experimentalmente, corresponde a una red con simetr�a de 72°.

Figura 32. Cuasicristal construido en dos dimensiones siguiendo el procedimiento correspondiente a la figura 31 en un plano.

Podemos afirmar que las redes que se construyeron en las figuras 31(c) y 32 son cuasicristales, en una y dos dimensiones, respectivamente.

De la manera en que se construyeron estos cuasicristales vemos que llevan inmersos dentro de sus estructuras una caracter�stica de autosimilitud, que se encuentra en la secuencia de Fibonacci.