XIV. LEYES DE POTENCIAS. OTRA FUENTE DE SIMILITUD

UNO de los notables descubrimientos de Newton fue la ley de la gravitaci�n universal, seg�n la cual si dos cuerpos tienen masa, cuando est�n cerca uno del otro hay una fuerza de atracci�n entre ellos. As�, por ejemplo, la Tierra atrae a la Luna y el Sol a la Tierra. Para nuestros prop�sitos, lo importante de esta ley es que nos indica, en primer lugar, que la fuerza entre los cuerpos depende de la distancia entre ellos. No da lo mismo tener dos cuerpos muy cercanos uno del otro que muy separados. Mientras mayor sea la distancia entre los cuerpos menor ser� la fuerza entre ellos, ya que a medida que la distancia entre dos cuerpos sea mayor, menor ser� el efecto que uno ejerza sobre el otro.

En segundo lugar, la ley de la gravitaci�n universal nos indica c�mo depende la fuerza de la distancia. Supongamos que dos cuerpos est�n a una distancia de un metro y la fuerza tiene determinado valor. Si la distancia entre estos mismos cuerpos aumenta al doble, o sea a 2 m, entonces la fuerza disminuye a la cuarta parte. Si la distancia aumenta al triple, o sea a 3 m, la fuerza disminuye a la novena parte, etc�tera.

La cuarta parte de la fuerza es igual a 1/4; pero 4 = 2², o sea, 2 elevado a la potencia 2; por lo que la cuarta parte es igual a 1/2².

La novena parte de la fuerza es igual a 1/9; pero 9 = 3², o sea, 3 elevado a la potencia 2; por lo que la novena parte es igual a 1/3², etc. En consecuencia: si la distancia aumenta 2 veces, la fuerza disminuye 1/2² veces; si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza disminuye 1/3² veces; si la distancia aumenta 4 veces, la fuerza disminuye 1/4² veces, etc�tera.

Esto �ltimo se expresa diciendo que la disminuci�n del valor de la fuerza es como el cuadrado de la distancia. En forma abreviada, usando lenguaje matem�tico lo anterior se expresa diciendo que la fuerza depende en forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Inversamente quiere decir que al aumentar la distancia disminuye la fuerza.

Ahora bien, si en lugar de haber considerado la distancia en la escala de metros la hubi�ramos tomado en la escala de kilómetros, la forma en que var�a la fuerza con la distancia no cambia, sigue disminuyendo en raz�n al cuadrado de la distancia. Si se toma una escala en miles o de millones de kil�metros (como ocurre en el caso del sistema planetario), la dependencia de la fuerza con la distancia sigue siendo la misma. Por tanto, como el mismo comportamiento ocurre sin importar la escala, este fen�meno es autosimilar.

Existen otros fen�menos en la naturaleza en los que la dependencia de la distancia no es como el cuadrado, que acabamos de considerar, sino que dependen de otra potencia. Adem�s, puede ocurrir que la fuerza no disminuya al aumentar la distancia, sino que aumente. Por ejemplo, podemos considerar un resorte: si �ste se estira sabemos entonces que ejerce una fuerza que trata de regresarlo a su posici�n original (se dice de equilibrio). Mientras mayor sea la distancia que se estire, mayor ser� la fuerza que el resorte ejerza. Lo mismo ocurre cuando se comprime, mientras mayor sea la distancia que se le comprima, mayor ser� la fuerza que ejerza.

Adem�s, resulta que: si la distancia aumenta al doble, la fuerza aumenta al doble; si la distancia aumenta al triple, la fuerza aumenta al triple, etc�tera.

O dicho de otra manera: si la distancia aumenta 2 veces, la fuerza aumenta 2 veces; si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza aumenta 3 veces, etc�tera.

Vemos ahora que el 2, o el 3, son 2¹ y 3¹, respectivamente, cantidades elevadas a la potencia 1.

En este caso vemos que la fuerza aumenta como la distancia. Usando lenguaje matem�tico se abrevia esta informaci�n diciendo que la fuerza es proporcional a la primera potencia de la distancia.

En este caso, tambi�n hay autosimilitud.

Hemos hablado de relaci�n entre fuerzas y distancias. Sin embargo, en muchos fen�menos alguna cantidad depende de una variable (no necesariamente la distancia), ya sea:

·inversamente, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable disminuye el valor de la cantidad, o bien

·en forma proporcional, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable aumenta el valor de la cantidad.

Adem�s, la dependencia entre la cantidad y la variable de la que depende puede darse por medio de alguna potencia, que no necesariamente tiene que ser siempre ni 2 (como en la ley de la gravitaci�n universal) ni 1 (como en el resorte). Puede ser con otro valor num�rico, ya sea entero o no.

Cuando la dependencia de una cantidad de su variable es como la que acabamos de explicar se dice que el fen�meno está regido por una ley de potencias. En todos estos casos existe la autosimilitud.