XV. LA SIMILITUD EN LA M�SICA. C�MO US� BACH LAS LEYES DE POTENCIAS DE LAS QUE JAM�S OY� HABLAR

EL AN�LISIS de la estructura de diferentes obras musicales ha demostrado que la selecci�n de las notas que han hecho diferentes compositores, en distintas �pocas, tiene algunos elementos comunes. Tr�tese de uno de los Conciertos de Brandemburgo de Bach, del Cuarteto de cuerdas # 3 de Babbit, de obras de piano de Scott Joplin, todas estas obras tienen la misma forma si se considera la estructura en t�rminos de frecuencias. Explicaremos esto a continuaci�n.

En el an�lisis auditivo de diversas obras musicales una cantidad que se ha estudiado es la potencia de audio de la m�sica. Esta cantidad es, en esencia, la energ�a que se emite en forma de ondas sonoras cada segundo, cuando se ejecuta la obra musical. Al analizar c�mo est� estructurada esta cantidad, en t�rminos de la frecuencia, se obtiene lo que se llama su espectro.

�C�mo dependen de la frecuencia los espectros de las diferentes obras musicales?

Los an�lisis hechos de diferentes obras musicales han mostrado que sus espectros dependen de la frecuencia, que llamaremos con la letra f, como (1 /f). Si recordamos lo que se analiz� en el cap�tulo anterior vemos que este espectro es una ley de potencia que, en el lenguaje matem�tico, depende de la frecuencia en forma inversa a la primera potencia de f (ya que el exponente de la f en (1 /f) es 1). Por lo tanto, como ya se describi�, este espectro es autosimilar y en consecuencia, contiene una estructura fractal.

Un espectro del tipo mencionado en el p�rrafo anterior recibe el nombre de espectro rosa.

�Por qu� Bach y muchos otros compositores escogieron el espectro rosa? La realidad es que ning�n m�sico oy� hablar jam�s de estas ideas, ni mucho menos las escogi� de manera deliberada. Para entender lo que sucede explicaremos c�mo se har�a m�sica con otro tipo de espectro.

Una forma ser�a como sigue: cada nota que se escribe es tal que su posici�n y duraci�n no dependen para nada de las notas anteriores ni de su duraci�n. En este caso se dice que la composici�n es completamente al azar o estoc�stica. Un ejemplo de este tipo de m�sica se presenta en la figura 33(a). El espectro de la potencia de audio de este tipo de m�sica es el mismo para cualquier valor de la frecuencia, lo que significa que el valor de la potencia es el mismo para cualesquiera valores de la frecuencia, o sea, que se trata de una cantidad constante. Matem�ticamente, el espectro depende de la frecuencia (1/f⁰), ya que f⁰ = 1. A un espectro de este tipo se le llama blanco. Si se tocara este tipo de m�sica en un instrumento la oir�amos sin estructura; adem�s dar�a la impresi�n de que de una nota a otra siempre habr�a una sorpresa.

Otro tipo de espectro, y�ndose al otro extremo, es el que depende de la frecuencia (1/f²), espectro llamado brown o caf�, nombre que se le dio porque est� asociado al movimiento browniano que se trat� en el cap�tulo IV. En la figura 33(b) se presenta m�sica que tiene el espectro caf�. En la m�sica cada nota y su duraci�n dependen en grado considerable de las notas anteriores. Por lo tanto, la sensaci�n que se tiene al escucharla es que despu�s de haber tocado unas notas las que siguen son previsibles.

Figura 33. (a) Ejemplo de m�sica blanca. (b) Ejemplo de m�sica caf�. (c) Ejemplo de m�sica rosa.

La m�sica que tiene espectro rosa, o sea (1/f), se encuentra, por as� decirlo, entre los casos de m�sica al azar (espectro blanco) y m�sica determinista (espectro caf�). En este caso las notas y su duraci�n no son ni muy previsibles ni muy sorprendentes. Un ejemplo de este tipo de m�sica se muestra en la figura 33(c).

Regresando a la pregunta que se hizo arriba: �por qu� los compositores usaron efectivamente espectros rosas, o sea una ley de potencias (1/f) para componer su m�sica?, se puede afirmar que los compositores han intentado, y por cierto muchos de ellos logrado, componer m�sica interesante. La cuesti�n se deber�a plantear como sigue: �por qu� la m�sica interesante tiene un espectro rosa? La respuesta podr�a ser que la m�sica con este tipo de espectro resulta ser ni muy previsible (espectro caf�) ni muy sorprendente (espectro blanco). El cient�fico holand�s Balthazaar van de Pol afirm� en una ocasi�n que la m�sica de Bach es grandiosa porque es inevitable y al mismo tiempo sorprendente, lo que significa que su espectro es rosa.

Debido a que la m�sica que tiene un espectro rosa es autosimilar, tiene estructura similar en diferentes escalas de frecuencias. Lo que ocurre en una escala de frecuencias debe ocurrir en cualquier otra escala de frecuencias. Si se grabara una composici�n de este tipo en cinta magn�tica a cierta velocidad y se tocara a distintas velocidades, lo que se oir�a ser�a similar a lo grabado. Esto contrasta con lo que ocurre con la voz humana, pues cuando se toca una grabaci�n a una velocidad, por ejemplo al doble de lo que debiera hacerse, se oye muy chillona. Una forma de exhibir la autosimilitud es con ayuda de un aparato electr�nico que genere sonidos de las frecuencias que uno desea. Si se produce un sonido que sea la superposici�n de 2 notas, siendo cada nota una octava (de frecuencia doble) de la anterior y se empieza con una nota de 10 Hertz (Hz), (1 hertz = 1Hz = 1/seg), las siguientes 11 notas ser�an de frecuencias:

 

20 = 2 x l0, 40 = 4 x10, 80 = 8 x 10, 160 =16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 5l2 x l0, 10 240 =1024 x 10 y

20 480 = 2 048 x 10, todas en unidades Hz.

 

Ahora cambiemos cada una de estas notas por otras que sean de frecuencias mayores por un semitono (que corresponde a la diferencia entre dos notas sucesivas de un piano); la frecuencia del semitono se obtiene de la nota anterior multiplicando por 1.05946. Ahora se tocar� el sonido que es la superposici�n de las frecuencias siguientes:

 

10 x 1.0594 = 10.6, 20 x 1.05946 = 21.2,

40 x 1.05946 = 42.38, 80 x 1.05946 = 84.76,

160 x 1.05946 = 169.51, 320 x 1.05946 = 339.03,

640 x 1.05946 = 678.06, 1 280 x 1.05946 = 1356.11,

2560x 1.05946 = 2712.22, 5120 x 1.05946 = 5424.44,

10240 x 1.05946 = 10848.88 y 20480 x 1.05946 = 21697.74 Hz

 

Este sonido se oir� con un tono m�s alto que el anterior.

Si se aumenta otra vez la frecuencia de cada una de las notas en un semitono, la superposici�n de los nuevos sonidos producir� un sonido de tono a�n m�s alto. Si se repite 12 veces el proceso de aumentar en un semitono cada uno de los componentes del sonido, resulta que el sonido que se produce es �indistinguible del original! Ésta es una demostraci�n musical de la autosimilitud.