XIX. EL DISE�O DE ESTRUCTURA EN LA INGENIER�A
VAMOS a construir un fractal de la siguiente forma. Tomemos una
l�nea recta de cierta longitud (figura 36(a)) que supondremos que es de valor
uno. Dividamos ahora esta l�nea en tres partes iguales y quitemos la parte central
(figura 36(b)). Cada segmento de los que quedaron tiene ahora longitud igual
a (1/3).
Enseguida repetimos el mismo procedimiento con cada uno de los segmentos restantes, obteniendo la figura 36(c). Cada uno de los segmentos tiene una longitud de (1/9) (un tercio de un tercio). Por tanto ahora se tienen cuatro segmentos de longitud (1/9) cada uno.
Si se repite este procedimiento con cada uno de los segmentos obtenidos, se encuentran sucesivamente las l�neas mostradas en la figura 36 (d). En cada paso se va encontrando un n�mero mayor de segmentos, pero cada uno de menor longitud.
Si se llevara a cabo este procedimiento un n�mero muy grande de veces, se llegar�a
a obtener un "polvo" formado de un n�mero extraordinariamente grande de segmentos,
cada uno de longitud peque��sima.
Figura 36. Procedimiento para construir el polvo de Cantor.
Supongamos que la longitud de la l�nea original, la de la figura 36(a) es igual a 1. La longitud de cada l�nea de la figura 36(b) es entonces igual a (1/3). Por tanto, como hay dos l�neas, la longitud total de las l�neas de la figura 36(b) es:
En la figura 36(c) hay 4 l�neas y cada una tiene de longitud:
Por tanto, la longitud total de las l�neas de la figura 36(c) es:
En el primer rengl�n de la figura 36(d) hay ocho l�neas y cada una con una longitud igual a:
En consecuencia, la longitud total de las l�neas de este rengl�n es:
Continuando de la misma manera vemos que en el segundo rengl�n de la figura 36(d) hay 16 l�neas, cada una con una longitud de:
En el tercer rengl�n de la figura 36(d) hay 32 l�neas, cada una tiene de longitud:
En resumen, vemos que las longitudes totales de las l�neas de las figuras 36(d) son, sucesivamente:
Cada vez que pasamos de una figura a otra la longitud total va disminuyendo, pero el n�mero de l�neas va aumentando (de l a 2 a 4 a 8 a l6 a 32 a ...).
Si as� continu�ramos indefinidamente, el n�mero de l�neas crecer�a sin l�mite y la longitud total ser�a cada vez m�s y m�s peque�a.
Este conjunto de segmentos se denomina el polvo de Cantor. Ahora comparemos
los segmentos en el primer y segundo renglones de la figura 36(d). Nos damos
cuenta de que ambas figuras son similares; lo mismo sucede al comparar el segundo
y el tercer renglones. Esto nos indica que el polvo de Cantor es un fractal,
con una dimensi�n de 0.63, que es un n�mero comprendido entre 0 y 1. Esta dimensi�n
es mayor que 0, ya que el polvo es mucho m�s que un punto (dimensi�n 0) y mucho
menos que una l�nea continua (dimensi�n 1).
Figura 37. Procedimiento para construir una empaquetadura de Sierpinski.
Uno se puede preguntar si es posible construir un fractal an�logo al polvo de Cantor, pero en lugar de que sea en una dimensi�n, que ocurra en dos dimensiones. La respuesta es positiva.
Tomemos como base un tri�ngulo con los tres lados iguales, o sea equil�tero (figura 37(a)). Enseguida dividimos cada lado en dos partes iguales y construimos otros tres tri�ngulos id�nticos al anterior y los unimos como se muestra en la figura 37(b), dejando en blanco la porci�n central, que tiene la forma del mismo tri�ngulo con el que iniciamos la construcci�n. Enseguida eliminamos el tri�ngulo central.
En el siguiente paso dividimos cada lado de cada tri�ngulo en dos partes iguales y formarnos los tri�ngulos mostrados en la figura 37(c). Asimismo quitamos los tri�ngulos blancos.
Continuando de esta manera se llega a configurar un objeto como el mostrado en la figura 37(d). Si se sigue as� indefinidamente se construir� un objeto que recibe el nombre de empaquetadura (gasket en ingl�s) de Sierpinski. Nos damos cuenta de que este objeto tiene agujeros en todas las escalas, y que es autosimilar, por lo que es un fractal. La dimensi�n fractal que tiene la empaquetadura de Sierpinski es 1.58. N�tese que esta figura es m�s que una l�nea recta (dimensi�n 1) y menos que una superficie (dimensi�n 2).
Supongamos que la longitud del lado del tri�ngulo de la figura 37 (a) sea igual a 1. El per�metro de este tri�ngulo es igual a la suma de sus tres lados, o sea:
La longitud de cada l�nea de la figura 37(b) es (1/2) Por tanto, cada tri�ngulo negro tiene un per�metro de:
En vista de que hay tres tri�ngulos negros, su per�metro total es:
La longitud de cada l�nea de la figura 37(c) es:
Cada tri�ngulo negro de esta figura tiene un per�metro de:
En vista de que hay nueve tri�ngulos negros, su per�metro total es:
En la figura 37(d), la longitud de cada l�nea es:
En consecuencia, cada tri�ngulo negro tiene un per�metro de:
Dado que hay 27 tri�ngulos negros, su per�metro es:
De estos c�lculos apreciamos que al pasar de una figura a la siguiente, el per�metro de los tri�ngulos negros va aumentando: 3, 4.5, 6.75, 10.125, ... Sin embargo, tambi�n vemos que de una figura a la otra, el n�mero de huecos tambi�n aumenta, por lo que el �rea total de los tri�ngulos negros va disminuyendo. Si se siguiera este procedimiento indefinidamente, concluir�amos que la empaquetadura de Sierpinski �tiene un perimetro infinito pero su �rea es de cero!
Se puede, asimismo, iniciar la construcci�n en dos dimensiones con un cuadrado, en lugar de iniciarla con un tri�ngulo. Al cuadrado se le quita al centro un cuadrado de lado igual a (1/3) del lado original. En seguida se remueven los centros de los ocho cuadrados que quedan y as� se contin�a.
Tambi�n se puede construir el an�logo en tres dimensiones (figura 38). Su construcci�n se inicia con un tetraedro regular (pir�mide cuyas caras son cuatro tri�ngulos equil�teros). Unimos cuatro pir�mides de modo que en el interior quede en blanco una pir�mide igual a ellas; �sta se elimina. Continuando de esta manera se obtiene la versi�n tridimensional de la empaquetadura de Sierpinski. La dimensi�n de esta construcci�n es igual a 2, que es menor que 3 en la cual se construyo. Resulta claro, ya que la generalizaci�n tridimensional no llena completamente el espacio. Este objeto, llamado esponja de Menger tiene ��rea superficial infinita y volumen nulo!
Nos damos cuenta de que las construcciones de Cantor, Sierpinski y Menger son
objetos muy calados, que tienen longitud (Cantor), �rea (Sierpinski) y volumen
(Menger) pr�cticamente nulos, ya que en el l�mite infinito casi no existen ni
segmento, ni tri�ngulo, ni pir�mide, respectivamente. Desde este punto de vista
matem�tico, tales construcciones son patol�gicas.
Supongamos que la masa del tri�ngulo de la figura 37(a) es igual a 1. Cada tri�ngulo de la figura 37(b) tiene entonces una masa igual a (1/4). Como solamente quedan tres de estos tri�ngulos, la masa total en le figura 37(b) es:
La masa de cada tri�ngulo negro de la figura 37(c) es la cuarta parte de la de un tri�ngulo negro de la figura 37(b). Como la masa de este �ltimo tri�ngulo es (1/4), la masa de cada tri�ngulo negro de la figura 37(c) es:
Dado que en la figura 37(c) hay nueve tri�ngulos negros, cada uno de masa igual a (1/16), la masa total en esta figura es:
La masa de cada tri�ngulo negro de la figura 37(d) es la cuarta parte de la de un tri�ngulo negro de la figura 37(c). En vista de que la masa de este �ltimo tri�ngulo es igual a (1/16), la masa de cada tri�ngulo negro de la figura 37(d) es:
En la figura 37(d) hay 27 tri�ngulos negros y cada uno de ellos tiene una masa de (1/64). Dado que hay 27 de estos tri�ngulos, en la figura 37(d) hay una masa de:
Ahora bien, vemos que los tri�ngulos de cada una de las figuras incluidas en
la figura 37 est�n dentro del �rea del tri�ngulo original (figura 37(a)). Por
tanto, la sucesi�n de tri�ngulos de la figura 37 va teniendo cada vez menos
y menos masa (1, 0.75, 0.5625, 0.4219, ...) y �stas est�n encerradas en la misma
�rea. En consecuencia, la sucesi�n de figuras que da lugar a la empaquetadura
de Sierpinski se va volviendo cada vez m�s y m�s ligera. En el l�mite en que
el n�mero de pasos es extraordinariamente grande, el n�mero de tri�ngulos es
tambi�n muy grande pero la masa total encerrada es muy peque�a, �casi nula!
La empaquetadura de Sierpinski es notablemente ligera.
Figura 39. El punto R se llama ramal.
Otra caracter�stica importante de esta construcci�n es la siguiente. Consideremos una curva como la que se muestra en la figura 39; al punto R se le llama punto ramal. De acuerdo con el "sentido com�n" uno podr�a pensar que una curva no puede consistir solamente de puntos ramales. Sin embargo, si consideramos el per�metro, o sea, la l�nea que encierra la empaquetadura de Sierpinski, �sta es una l�nea formada solamente por puntos ramales. Es decir, en cada punto sale un ramal de la curva. Por supuesto, esto ocurre en el caso en que se ha iterado un n�mero muy grande de veces.
Las empaquetaduras de Sierpinski, tanto en dos como en tres dimensiones, son
modelos de muchas estructuras construidas por el hombre, as� como de varios
fen�menos naturales. Un caso interesante se dio en la ingenier�a civil, cuando
Gustave Eiffel construy� su famosa torre en Par�s, Francia, en 1889 (figura
40). Esta construcci�n de 335 m de altura tiene cuatro lados y cada lado tiene
la forma de una letra A. Los cuerpos de cada parte de la A no est�n construidos
con vigas s�lidas, llenas, sino con armaduras gigantescas. Si uno se fija con
detalle en cada una de estas armaduras, se dar� cuenta de que est�n formadas,
a su vez, de otras armaduras, que est�n formadas de armaduras, que a su vez
son armaduras, que a su vez... As� se obtiene una estructura autosimilar que
constituye un fractal. Si compararnos una armadura y una viga cil�ndrica llena
con la misma capacidad de carga, la armadura resultar� much�simo m�s ligera
que la viga. Eiffel sab�a que las armaduras, cuyos miembros las integran a su
vez armaduras, son todav�a m�s ligeras. As�, vemos que la Torre Eiffel es una
aproximaci�n a la empaquetadura de Sierpinski en tres dimensiones. Adem�s, se
trata de una estructura muy ligera, igual que en el caso de Sierpinski.
Figura 40. La estructura de la Torre Eiffel se acerca a una esponja de Menger.
Otro punto importante y crucial con respecto a la capacidad de carga de una estructura es que, mientras m�s puntos ramales tenga una estructura, mayor ser� la resistencia que pueda soportar. Resulta que la Torre Eiffel cuenta con muchos puntos ramales. El famoso arquitecto estadunidense Buckminster Fuller, dise�ador de los domos geod�sicos muy populares en la d�cada 1960-1970, sab�a que la capacidad de carga reside no en la masa total de la estructura sino en los puntos ramales que tenga. Mientras m�s puntos ramales tenga una estructura m�s se acercar� al ideal de una empaquetadura de Sierpinski y mayor ser� la carga que pueda soportar.
De esta forma se pueden lograr estructuras muy ligeras que son capaces de soportar cargas muy grandes. Mientras m�s se acerquen a una empaquetadura de Sierpinski o a una esponja de Menger, mejor se lograr� este efecto.
