V. LOS FRACTALES. NUEVAS DIMENSIONALIDADES
EN LAS �ltimas dos d�cadas se ha desarrollado una l�nea de investigaci�n,
iniciada por Benoit Mandelbrot, cuyo tema son los objetos llamados fractales.
Se puede construir un tipo de figuras fractales siguiendo el siguiente ejemplo. Tomemos un tri�ngulo equil�tero cualquiera (figura 7(a)) al que se denominar� iniciador. Div�dase cada lado en tres partes iguales. En las partes intermedias de cada lado a��danse dos lados de un tri�ngulo equil�tero cuyo lado sea igual a la tercera parte del lado original. Se obtiene as� la figura 7(b). Enseguida, div�dase otra vez cada uno de los lados de la figura as� formada en tres partes iguales, y en cada parte intermedia a��danse dos lados de un tri�ngulo equil�tero cuyo lado sea igual a la longitud resultante. Se encuentra as� la forma mostrada en la figura 7(c). Si se contin�a indefinidamente este procedimiento se encontrar� una forma parecida a la mostrada en la figura 7(d). Esta figura es un fractal y, como veremos a continuaci�n, su per�metro tiene longitud infinita.
Analicemos con un poco de detalle el per�metro de estas figuras. Supongamos que el lado del tri�ngulo iniciador de la figura 7(a) sea igual a 1 (en cualquier unidad). El per�metro del tri�ngulo original, que es igual a la suma de las longitudes de sus lados, es entonces igual a 8.
Por construcci�n, cada l�nea recta de la figura 7(b) tiene longitud (1/3). Por tanto, dado que hay 12 l�neas rectas de este tama�o, el per�metro de la figura 7(b) es 12 x (1/3) = 4. El lector se dar� cuenta de que este nuevo per�metro (4) es mayor que el original (3).
Veamos ahora la figura 7(c). Cada l�nea recta de esta figura tiene (1/9) de longitud. En vista de que hay 48 de estas l�neas, su per�metro es 48 x (1/9) = 5.333, mayor que los per�metros de las figuras 7(a) y 7(b).
Vemos entonces que la sucesi�n de valores de los per�metros es: 3, 4, 5.333,...
Esta sucesi�n va creciendo. La causa de que crezca es clara, ya que de un paso
al otro el n�mero de l�neas rectas aumenta m�s r�pidamente de lo que disminuye
la longitud de cada l�nea recta. De hecho, en cada paso de la construcci�n el
n�mero de l�neas se multiplica por el factor 4, mientras que la longitud de
cada l�nea disminuye 3 veces. Por lo tanto, el per�metro se multiplica, de un
paso al otro, por el factor 4 x (1/3) = 1.333, que es un n�mero mayor que 1.
Si el n�mero de pasos es infinito, el per�metro de la figura as� formada tambi�n
resulta ser infinito.
Figura 7. Pasos que siguen para construir el fractal llamado curva de Koch.
Figura 7. Pasos que siguen para construir el fractal llamado curva de Koch (continuaci�n).
La curva de la figura 7(d) se llama curva de Koch.
Nos debemos dar cuenta de que si se comparan las figuras que se forman en dos construcciones sucesivas, se ver� que ambas tienen la misma estructura. Se recordar� del cap�tulo III que lo mismo ocurre con la bah�a cuando se cambia la escala.
Un objeto que presenta la misma estructura al cambi�rsele indefinidamente la escala de observaci�n recibe el nombre de fractal. Por lo tanto, la curva de Koch y la bah�a son fractales.
Mandelbrot asegura que en la naturaleza existen muchos fen�menos de car�cter fractal, de hecho, muchos m�s de los que podemos imaginar. Mencionaremos en forma breve algunos.
La trayectoria que sigue una part�cula que realiza movimiento browniano, descrita en el cap�tulo IV es un fractal. En efecto, al pasar de una escala a otra, como por ejemplo, cuando se pasa de la figura 5 a la 6, las estructuras son similares.
Tambi�n los paisajes naturales presentan caracter�sticas de los fractales.
As�, la forma de las cadenas monta�osas (figura 8) da lugar a que si uno intentara
medir su superficie encontrar�a valores infinitos. Una manera de crear un paisaje
fractal es la siguiente. Tomemos el tri�ngulo de la figura 9(a). El punto medio
de cada lado lo desplazamos cierta cantidad (figura 9(b)). As� el punto A se
traslada al punto B; el punto G al D, y el E al F. Uniendo los puntos B, D y
F con los v�rtices del tri�ngulo se forman cuatro tri�ngulos m�s peque�os que
el original, como se ve en la figura 9(c). Si se sigue este procedimiento muchas
veces con cada uno de los tri�ngulos formados, se logra obtener una figura que
tiene todo el parecido a una monta�a (figura 8). Un programa de computadora
llena los tri�ngulos resultantes con sombreados apropiados que le dan un toque
en extremo realista a la figura.
Figura 8. La forma de una cadena monta�osa es un fractal.
Figura 9. Pasos para construir un paisaje fractal.
En la geometr�a euclidiana se ense�a que hay una relaci�n determinada entre, por ejemplo, el �rea que ocupa una figura y la longitud de la l�nea que encierra a dicha �rea. As�, por ejemplo, para un cuadrado, la longitud de su per�metro elevada al cuadrado es igual a 16 veces el �rea encerrada. En efecto, supongamos que el lado del cuadrado es de 3 cm. Entonces el per�metro es:
Si se eleva al cuadrado se obtiene:
Por otro lado, el �rea del cuadrado de lado 3 cm es:
| per�metro² = 16
x �rea. |
(1) |
En un cuadrado, el per�metro al cuadrado es igual a 16 veces el �rea encerrada.
Si se trata de un c�rculo, la longitud del per�metro elevada al cuadrado es igual a cuatro veces p (la letra griega pi) por el �rea encerrada:
| per�metro² = 4p
x �rea. |
(2) |
Recu�rdese que el n�mero p (pi) es igual a 3.14159...
De manera general, el cuadrado del per�metro de una figura geom�trica es igual al �rea encerrada, multiplicada por un n�mero. Este n�mero depende de la forma particular de la figura que se est� tratando: para el cuadrado el n�mero es 16 y para el c�rculo 4p.
Un tipo de relaci�n an�loga se encuentra entre el volumen de un cuerpo y el �rea de la superficie que lo encierra. En efecto, se puede demostrar que en una figura c�bica el cubo del �rea es igual a 216 veces el cuadrado del volumen encerrado. Por ejemplo, si el lado de un cubo mide 2 cm, entonces el �rea total del cubo es 6 veces el �rea de cada cara, ya que tiene 6 caras. Pero el �rea de cada cara es (2 cm) x (2 cm) = 4 cm². Por tanto:
Elevemos ahora este valor al cubo:
Por otro lado, el volumen del cubo se obtiene elevando al cubo la longitud de su lado:
Elevando al cuadrado este valor:
| �rea³ = 216 x volumen². |
(3) |
Para otro tipo de figuras, el factor que multiplica al (volumen)² no es 216, este coeficiente depende de la figura particular de que se trate.
En el caso de las figuras que son fractales, las relaciones que obtuvimos no se satisfacen. Consideremos, por ejemplo, el caso del cerebro de los mam�feros; se sabe que su corteza presenta numerosas circunvoluciones. De mediciones hechas con mucha precisi�n resulta que la relaci�n entre el volumen del cerebro y el �rea de la superficie que lo encierra no sigue el patr�n mencionado arriba para las figuras geom�tricas regulares. Se encuentra ahora que el cubo del �rea ya no es proporcional al volumen elevado al cuadrado, sino que:
| �rea³ = A x volumen
a, |
(4) |
donde A es un n�mero, an�logo al 216 de la ecuaci�n (3), pero el exponente a (alfa) no es igual a 2 como en la ecuaci�n (3) sino que tiene un valor entre 2.73 y 2.79.
Se puede demostrar que de esta relaci�n puede inferirse que la superficie que encierra al cerebro es fractal. Este resultado se ha explicado en relaci�n con las necesidades que la evoluci�n va creando para los mam�feros.
De hecho, cuando en una figura se satisface la relaci�n (3) entre su �rea y su volumen, la figura es euclidiana. Si no, como en el caso del cerebro que se est� considerando, entonces es fractal.
Otro ejemplo del campo biol�gico se da en la estructura nasal de algunos animales. La membrana que cubre el hueso de la nariz es tal, que la relaci�n entre �rea y volumen encerrado no sigue un patr�n geom�trico euclidiano, sino fractal. Ciertos animales tienen esa membrana con un �rea muy grande para el volumen que encierran. La membrana podr�a estar relacionada con el sentido del olfato y, por ejemplo, en el caso de los camellos su gran �rea les ayudar�a a localizar; husmeando, el agua tan escasa en el desierto.
La descarga y el nivel de las crecidas de los r�os son otro ejemplo de fractales. Resulta que estas cantidades, tomadas anualmente, tienen valores muy persistentes. Se ha intentado dar, infructuosamente, diversas explicaciones a este hecho. Aparentemente la �nica explicaci�n que tiene visos de conformarse con los resultados experimentales es que estas cantidades se comportan como fractales.
Tambi�n se han aplicado las ideas de los fractales a la econom�a. Un an�lisis detallado del comportamiento en el cambio de precio de las mercanc�as muestra que su estructura es an�loga a la de un fractal. Esto se debe a que al cambiar de escalas temporales la determinaci�n de los cambios, se encuentran estructuras similares.
En ling��stica tambi�n se producen estructuras fractales. Se ha estudiado las relaciones que sigue en un idioma la frecuencia en el uso de las palabras. Pues resulta que este comportamiento es fractal. Uno de los par�metros de este fractal da la medida de qu� tan rico es el uso del vocabulario a trav�s de la frecuencia relativa del uso de palabras poco comunes.
Se ha determinado que los fractales tambi�n se dan en la teor�a de los circuitos el�ctricos y en la teor�a de la informaci�n, por mencionar s�lo algunos campos. Se han abierto de esta manera vastos horizontes de estudio y aplicaci�n que apenas empiezan a explorarse.
El hecho de que en las figuras regulares, las que trata la geometr�a euclidiana, la relaci�n entre el cuadrado del per�metro y el �rea (v�anse las ecuaciones (1) y (2) de la p�gina 28), o bien, entre el �rea al cubo y el cuadrado del volumen (v�ase la ecuaci�n (3) de la p�gina 29) se d� con exponentes que son n�meros enteros (por ejemplo, el 3 del �rea al cubo y el 2 del cuadrado del volumen) se debe a que se est� tratando con una, dos y tres dimensiones. Sin embargo, cuando se trata de fractales (v�ase la ecuaci�n (4) de la p�gina 30), entonces, como vimos arriba, ya no se tienen estas relaciones con n�meros enteros en los exponentes. Por tanto, los fractales son figuras que no corresponden a una dimensionalidad entera.
Lo que est� ocurriendo es que la geometr�a euclidiana, con sus dimensiones enteras, no logra alcanzar la esencia de las formas irregulares. Consid�rese un ovillo de cuerda. Si se le observa desde muy lejos (figura lO(a)) se le ver� como un punto, es decir, una figura de dimensi�n nula. Si el observador se acerca ver� que el ovillo ocupa un espacio parecido a una esfera, o sea, de tres dimensiones (figura 10(b)). Si el observador se sigue acercando advertir� con detalle la cuerda que forma el ovillo y �ste se transforma, en realidad, de dimensi�n uno (figura 10(c)). Si seguimos acerc�ndonos, es decir; nos disminuimos imaginariamente para apreciar la estructura microsc�pica de la cuerda, la cuerda empieza a verse nuevamente de tres dimensiones, porque se empezar� a apreciar las fibras que lo componen, que podr�n verse como columnas tridimensionales. As� se puede continuar. De esta manera, se aprecia que no se puede hablar de la dimensionalidad de la cuerda de una manera "objetiva". Todo depende de la perspectiva del observador, esto es, de la escala en que se haga la observacion.
Mandelbrot dio un paso muy atrevido al proponer que se asignara a los fractales
dimensiones que no fueran n�meros enteros. La dimensi�n fraccionaria propuesta
constituy� una manera de poder medir de otra forma caracter�sticas no definidas
claramente. Por ejemplo, el grado de irregularidad de una l�nea, como la bah�a,
o la aspereza de una superficie. Mandelbrot propuso la forma de calcular la
dimensi�n de un objeto fractal y demostr� que el n�mero que as� se obtiene no
depende de la escala en que se hacen las observaciones. Recu�rdese que si se
asignan dimensiones enteras, entonces, como en el caso del ovillo de cuerda,
la dimensi�n va cambiando al cambiar la escala de observaci�n.
Figura 10.a) De lejos, un ovillo se ve como un punto. Su dimensi�n es 0;
b) m�s de cerca vemos el ovillo como una esfera. Su dimensi�n es 3; c) todav�a
m�s cerca vemos la cuerda del ovillo. Su dimensi�n es 1.
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Figura 1-4. Sucesi�n de fotograf�as que muestran la ca�da de una gota de tinta en agua. Al caer la gota, se transforma en un anillo de v�rtices, que se expande hasta volverse inestable, dando lugar a un nuevo anillo de v�rtices. Este proceso se repite much�simas veces, es decir se forma un fractal. En las fotograf�as se ven distintos estados de los fractales as� formados. |
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5-16. Diversos fractales generados
por computadora. En cada caso se ha utilizado un procedimiento repetitivo
diferente, como se ejemplifica en el texto. |
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Fotos del Doctor Jose Luis del Río,
Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa
y de Jorge Lodigiani Rodriguez, División de Ciencias Biológicas
y de la salud Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa. |
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Figura 11. La forma de una rama es fractal.
Figura 12. Un rayo tiene forma de fractal.
Por tanto, el grado de irregularidad de un fractal es el mismo a medida que se cambia de escala. Es decir; hay una irregularidad regular, valga la expresi�n.
Como ilustraci�n mencionamos que la curva de Koch (figura 7(d)) tiene una dimensi�n igual a 1.2618.
Una de las caracter�sticas de un fractal es que conserva la misma forma si se le ve en distintas escalas, como en el caso de las l�neas asociadas al movimiento de una part�cula browniana (figuras 5 y 6). Esta caracter�stica de los fractales se llama auto similitud.
Es posible construir figuras fractales siguiendo un procedimiento bien determinado, o como se dice m�s t�cnicamente, un algoritmo, por ejemplo, el procedimiento para construir la curva de Koch. De la misma manera se puede construir una superficie que se parece mucho a la terrestre (figura 9). Este algoritmo ha sido utilizado en la filmaci�n de pel�culas con el fin de crear superficies. Se ha demostrado que la superficie terrestre tiene una dimensi�n fractal de 2.7, hecho que han utilizado muy provechosamente los ge�logos.
Otros empleos son los de fabricar patrones semejantes a los del crecimiento de las especies biol�gicas (figura 11) o las de una descarga el�ctrica como un rayo (figura 12).
En cap�tulos posteriores trataremos en detalle algunos de los casos mencionados, en los que aparecen objetos fractales.
