VI. M�S SOBRE FRACTALES. SIMILITUD

EN EL cap�tulo anterior se vio que un fractal es una figura que mantiene su forma si se le cambia de escala. En el presente cap�tulo consideraremos con m�s detalle esta importante propiedad.

Las famosas mu�ecas rusas est�n formadas por una mu�eca grande en cuyo interior se halla otra mu�eca, similar a la grande, pero de menor tama�o. Dentro de esta segunda mu�eca hay otra similar, pero de tama�o a�n menor. Un conjunto contiene cinco o seis mu�ecas, todas similares, pero cada una de menores dimensiones. Al pasar de una mu�eca a la otra se est� cambiando la escala. Al cambiar de escala, las mu�ecas en conjunto son similares. Si se pudiera tener un conjunto muy grande, infinito, de mu�ecas, todas iguales pero una m�s peque�a que la anterior, tendr�amos un fractal. Sin embargo, no se puede construir este conjunto porque llega un momento en que resulta imposible tallar una mu�eca lo suficientemente peque�a. El conjunto, por lo tanto, constituye una aproximaci�n a un fractal.

Otro ejemplo de similitud parcial es el caso de una etiqueta colocada, por ejemplo, en una caja de chocolates. En la etiqueta est� dibujada la misma caja con su etiqueta que, a su vez, muestra la caja de chocolates con la etiqueta, etc. N�tese que al cambiar de escala, o sea en el dibujo que est� en una etiqueta, lo que se ve es similar al objeto original. Si se pudiera seguir as� un n�mero muy, pero muy grande de veces, de hecho infinito, entonces habr�amos formado un fractal. Esta similitud no se puede llevar al infinito, por razones claras.

Otro caso es el de una caricatura en la que un pez se come a otro m�s chico; �ste a otro todav�a m�s chico y as� sucesivamente.

En el caso en que un objeto tiene la misma forma al cambiar la escala, es decir, que es similar al anterior, y se cambia la escala un n�mero infinito de veces y se sigue obteniendo una figura similar a las anteriores, se dice que el objeto es autosimilar. Un fractal es un objeto autosimilar. Un ejemplo, como ya se vio, es la trayectoria de una part�cula browniana (figura 5).

Otro ejemplo de similitud se da cuando una persona se coloca entre dos espejos paralelos y observa las im�genes de su cuerpo. Pero estas im�genes no son todas iguales, sino que una es m�s peque�a que la otra. Si los espejos se hallan situados en forma perfectamente paralela, entonces el n�mero de im�genes es infinita y as� tenemos un conjunto autosimilar.

La autosimilitud es una idea que ya hab�a sido sugerida en muchas ocasiones a lo largo de la historia. Por ejemplo, en el siglo XVII, el pensador alem�n Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) propuso que una gota de agua conten�a todo un universo, que a su vez conten�a gotas de agua m�s peque�as; cada una de estas peque�as gotas encerraba a su vez un universo que ten�a en su interior otras gotas de agua, todav�a m�s peque�as y cada una de ellas...

Esta autosimilitud y otras muchas que se sugirieron fueron desechadas con el tiempo ya que no se pudieron comprobar experimentalmente. En una gota de agua no hay ning�n universo en el sentido propuesto por Leibniz.

Fue hasta la d�cada de 1960 y de 1970 que Mandelbrot volvi� a proponer esta idea, pero en un contexto completamente distinto de los anteriores. Se ha demostrado que la autosimilitud se presenta en gran variedad de fen�menos y situaciones muy diversas, como veremos en los cap�tulos siguientes.