VI. MÁS SOBRE FRACTALES. SIMILITUD

EN EL capítulo anterior se vio que un fractal es una figura que mantiene su forma si se le cambia de escala. En el presente capítulo consideraremos con más detalle esta importante propiedad.

Las famosas muñecas rusas están formadas por una muñeca grande en cuyo interior se halla otra muñeca, similar a la grande, pero de menor tamaño. Dentro de esta segunda muñeca hay otra similar, pero de tamaño aún menor. Un conjunto contiene cinco o seis muñecas, todas similares, pero cada una de menores dimensiones. Al pasar de una muñeca a la otra se está cambiando la escala. Al cambiar de escala, las muñecas en conjunto son similares. Si se pudiera tener un conjunto muy grande, infinito, de muñecas, todas iguales pero una más pequeña que la anterior, tendríamos un fractal. Sin embargo, no se puede construir este conjunto porque llega un momento en que resulta imposible tallar una muñeca lo suficientemente pequeña. El conjunto, por lo tanto, constituye una aproximación a un fractal.

Otro ejemplo de similitud parcial es el caso de una etiqueta colocada, por ejemplo, en una caja de chocolates. En la etiqueta está dibujada la misma caja con su etiqueta que, a su vez, muestra la caja de chocolates con la etiqueta, etc. Nótese que al cambiar de escala, o sea en el dibujo que está en una etiqueta, lo que se ve es similar al objeto original. Si se pudiera seguir así un número muy, pero muy grande de veces, de hecho infinito, entonces habríamos formado un fractal. Esta similitud no se puede llevar al infinito, por razones claras.

Otro caso es el de una caricatura en la que un pez se come a otro más chico; éste a otro todavía más chico y así sucesivamente.

En el caso en que un objeto tiene la misma forma al cambiar la escala, es decir, que es similar al anterior, y se cambia la escala un número infinito de veces y se sigue obteniendo una figura similar a las anteriores, se dice que el objeto es autosimilar. Un fractal es un objeto autosimilar. Un ejemplo, como ya se vio, es la trayectoria de una partícula browniana (figura 5).

Otro ejemplo de similitud se da cuando una persona se coloca entre dos espejos paralelos y observa las imágenes de su cuerpo. Pero estas imágenes no son todas iguales, sino que una es más pequeña que la otra. Si los espejos se hallan situados en forma perfectamente paralela, entonces el número de imágenes es infinita y así tenemos un conjunto autosimilar.

La autosimilitud es una idea que ya había sido sugerida en muchas ocasiones a lo largo de la historia. Por ejemplo, en el siglo XVII, el pensador alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) propuso que una gota de agua contenía todo un universo, que a su vez contenía gotas de agua más pequeñas; cada una de estas pequeñas gotas encerraba a su vez un universo que tenía en su interior otras gotas de agua, todavía más pequeñas y cada una de ellas...

Esta autosimilitud y otras muchas que se sugirieron fueron desechadas con el tiempo ya que no se pudieron comprobar experimentalmente. En una gota de agua no hay ningún universo en el sentido propuesto por Leibniz.

Fue hasta la década de 1960 y de 1970 que Mandelbrot volvió a proponer esta idea, pero en un contexto completamente distinto de los anteriores. Se ha demostrado que la autosimilitud se presenta en gran variedad de fenómenos y situaciones muy diversas, como veremos en los capítulos siguientes.