9. La equivalencia de fracciones

Corresponde a la sesi�n de GA 2.9 LOS POLIFAC�TICOS

Ahora se considerar�n algunos criterios que permitan identificar y obtener varias fracciones equivalentes a una dada, esto es, que tengan el mismo valor pero que se puedan representar de manera diferente.

Para identificar y obtener fracciones equivalentes se pueden utilizar representaciones gr�ficas y rectas num�ricas, en las que se puede demostrar la equivalencia de dos o m�s fracciones.

Ejemplos

Un anciano prometi� premiar a sus hijos de tal manera que a uno le dar�a un tercio de un terreno por su buena conducta, en tanto que al otro le dar�a por ser una persona laboriosa. �Cu�l de los dos hijos tendr�a la mayor cantidad de terreno?

Para resolver este problema, los hijos decidieron representar gr�ficamente la cantidad de terreno que habr�an de recibir, encontr�ndose con la siguiente situaci�n:

Efectivamente, los dos hijos se dieron cuenta que su anciano padre les dar�a la misma cantidad del terreno, por sus cualidades manifestadas.

Otra forma de representar la equivalencia de fracciones es a trav�s de rectas num�ricas.

Sup�ngase que se requiere saber si es equivalente a

Para comprobar esta situaci�n se utilizar�n 3 rectas num�ricas, en las cuales la primera ser� la unidad a considerar, en tanto que las otras dos servir�n para comprobar si las dos fracciones son equivalentes.

A simple vista se puede apreciar que dichas fracciones son equivalentes, porque se ubican en el mismo punto de la recta num�rica. Por lo tanto, estas equivalencias de fracciones se representan como:

Otro procedimiento para determinar si dos fracciones son equivalentes se basa en una regla pr�ctica.

Obs�rvese que:

Lo anterior se cumple siempre que dos fracciones son equivalentes.

De manera que:

Para encontrar fracciones equivalentes a una fracci�n dada, se multiplica tanto el numerador como el denominador por el mismo n�mero natural.

A continuaci�n se puede mostrar esta situaci�n en una tabla de equivalencias.

Para concluir se puede manifestar que un n�mero racional adquiere diferentes "nombres", cuando se buscan sus fracciones equivalentes.

Por lo tanto, puede utilizarse la fracci�n equivalente m�s conveniente seg�n el tipo de c�lculo que se est� realizando.