11. La variaci�n proporcional

Corresponde a la sesi�n de GA 2.11 LA PROPORCI�N DEL SUBE Y BAJA

La variaci�n proporcional tiene gran aplicaci�n en situaciones cotidianas, por citar algunos ejemplos: cuando se prepara un pastel, es necesario que todos sus ingredientes guarden una proporci�n, esto es, la leche con la harina y los huevos; al preparar mezclas de materiales para la construcci�n de un cuarto, se debe guardar una proporci�n entre la arena, la grava, el cemento y la cantidad de agua necesaria.

Dentro de la variaci�n proporcional se tienen dos tipos: la directa y la inversa. Estas se explican con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1:

En un laboratorio de fisiolog�a, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que bombea el coraz�n de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes datos:

En la tabla se observa que, cuando aumenta el tiempo, tambi�n aumenta el n�mero de litros de sangre que bombea el coraz�n; esto se ve de izquierda a derecha; ahora, si se ve la tabla de derecha a izquierda, tenemos que, al disminuir los litros de sangre que bombea el coraz�n, tambi�n disminuye el tiempo que tarda en bombear la sangre.

Al expresar las razones de la tabla y obtener sus cocientes se tiene:

como sus cocientes son constantes, las razones son directamente proporcionales. Aplicando la ley fundamental de las proporciones se tiene:

Con base en este ejemplo, se observa que:

Dos o m�s cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante o igual.

Ejemplo 2:

Un dep�sito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual di�metro. �En cu�nto tiempo se llenar�, si primero se utiliza una llave y luego tres?

En la tabla se observa que, al disminuir el n�mero de llaves de agua, aumenta el tiempo necesario para llenar el dep�sito.

Al expresar las razones de la tabla y obtener el producto de los t�rminos de cada raz�n, se tiene lo siguiente:

como los productos son iguales, las razones son inversamente proporcionales.

Para encontrar un t�rmino desconocido en una proporci�n, cuando es una variaci�n inversa, se multiplican los t�rminos de las dos razones, y el producto se divide entre el t�rmino conocido de la otra raz�n.

Retomando el segundo ejemplo, para encontrar el tiempo en el que se llena el dep�sito con tres llaves de agua, se tiene la siguiente proporci�n:

Como ya se mostr� anteriormente, se trata de una variaci�n inversamente proporcional porque los productos de las razones son iguales, aqu� no se aplica la. propiedad fundamental de las proporciones, sino el procedimiento que se tiene en el recuadro, esto es:

esto indica que, al emplearse tres llaves de agua para llenar el dep�sito, se requieren 3.75 horas.

Con base en este ejemplo se observa que:

Dos o m�s cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los t�rminos de cada una de las razones son iguales entre s�.

Aplicando lo anterior, se tiene lo siguiente:

De manera general, se tiene lo siguiente:

La variaci�n directamente proporcional consiste en que si se tienen dos cantidades y una de ellas aumenta o disminuye un cierto n�mero de veces, la otra tambi�n se incrementa o disminuye en igual cantidad. En cambio, cuando aumenta una de esas cantidades y la otra disminuye en igual n�mero, o al disminuir la primera, se incrementa la segunda, entonces se da una variaci�n inversamente proporcional.