15. El �rea de poligonos regulares

Corresponde a la sesi�n de GA 2.15 CONSERVACI�N DE LA FIGURA

Hasta ahora se han visto las f�rmulas para determinar el �rea de pol�gonos de tres y cuatro lados (tri�ngulos y algunos cuadril�teros, respectivamente), pero tambi�n hay figuras de cinco, seis, siete, n lados y de forma regular e irregular.

Un pol�gono regular es una figura que tiene sus lados iguales y sus �ngulos congruentes (de igual medida).

Para determinar la f�rmula del pol�gono regular de cinco lados (pent�gono) se hacen las siguientes consideraciones:

sea el pent�gono regular ABCDE

en donde:

Obs�rvese que el pent�gono est� dividido en cinco tri�ngulos de igual medida, esto es:

Lo cual se puede representar de la siguiente manera:

simplificando esta expresi�n se obtiene:

�rea del pentagono =

pero el t�rmino 5 � b determina el per�metro (p) del pent�gono y "h" es el apotema (a), en consecuencia:

�rea del pent�gono

esto significa que el �rea de un pent�gono regular es igual al semiproducto del per�metro por el apotema.

Con esta f�rmula puede hallarse el �rea de cualquier pol�gono regular conociendo su apotema y la medida de uno de sus lados (su per�metro se obtiene multiplicando su n�mero de lados por la medida de uno de ellos); por esto se le conoce como la f�rmula general para obtener el �rea de un pol�gono regular.

Ejemplo:

Obtener el �rea de una superficie hexagonal, si su per�metro es de 18 cm y su apotema es de 2.6 cm.

Por otro lado, al construir pol�gonos cada vez con m�s lados, �stos tienden a formar una circunferencia, la cual es el per�metro de un c�rculo y su apotema es el radio.

Una circunferencia se define como una l�nea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

C�rculo se puede definir como la superficie plana limitada por una circunferencia.

El radio (r) es el segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de una circunferencia.

Di�metro (D) es el segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro y su longitud equivale a dos veces la longitud de un radio D = 2 r.

Hechas las consideraciones anteriores, la f�rmula del �rea de un c�rculo se deduce a partir de la f�rmula general para hallar el �rea de un pol�gono de n lados.

Se sustituye el per�metro (p) por la longitud de la circunferencia (2 r) y el apotema (a) por el radio (r), esto es:

simplificando esta expresi�n queda finalmente:

Ejemplo:

Se desea comprar un terreno para construir un lienzo charro que tenga un radio de 20 m. �Cu�l deber� ser el �rea del terreno?