Secuencia�14Matem�ticas I

Sesi�n 3

DESCOMPOSICI�N DE FIGURAS

>>>Para empezar

Ahora ya sabes las f�rmulas para obtener el �rea de diversas figuras geom�tricas: cuadrado, rect�ngulo, tri�ngulo, rombo, romboide y trapecio; adem�s, sabes de d�nde provienen esas f�rmulas.

�C�mo se te ocurre que puede calcularse el �rea de este pol�gono regular?

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>>>Consideremos lo siguiente

Calculen el �rea de un hex�gono regular cuyo lado mida 3 cm.

Comenten a otros equipos la manera en que resolvieron el problema. En particular mencionen:

�Qu� medidas tuvieron que investigar para calcular el �rea?
Si usaron alguna f�rmula, �saben c�mo se obtiene dicha f�rmula?

>>>Manos a la obra

Observa que:
Los tri�ngulos en los que se dividi� el pol�gono regular est�n formados por un lado del pol�gono y los dos lados del �ngulo central

I.	En un grupo, a un equipo se le ocurri� dividir el pol�gono regular en tri�ngulos iguales para calcular el �rea de cada tri�ngulo y luego sumarlas. Se dieron cuenta que requer�an conocer la medida de la altura de uno de los tri�ngulos y la midieron.

Recuerda que:
El �rea de un tri�ngulo se calcula multiplicando su base por su altura y dividiendo el resultado entre dos.

a)	�Cu�l es el �rea de cada uno de los tri�ngulos en que se dividi� el hex�gono? ____________________________________________

b)	�En cu�ntos tri�ngulos fue dividido el hex�gono? ____________________________________________

c) �Cu�l es el �rea total del hex�gono?
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II.	En los pol�gonos regulares, la altura de los tri�ngulos iguales en que se dividen se llama apotema. Completen la tabla considerando los siguientes pol�gonos regulares.

a)	�En cu�ntos tri�ngulos iguales se puede dividir el oct�gono regular? _____________________________________________________

b) �Y el pent�gono regular? __________________________________
c) �Y un dec�gono regular? __________________________________
d) �Y un dodec�gono regular? ________________________________
e) �Y un pol�gono regular de 15 lados?__________________________
f) �Y un pol�gono regular de n lados? ___________________________

Discutan en grupo, y con ayuda del profesor, si consideran que, con respecto a la actividad anterior, los siguientes dos procedimientos son equivalentes:

Recuerda que:
El per�metro de un pol�gono se calcula sumando la medida de todos sus lados. Si el pol�gono es regular, el per�metro puede calcularse multiplicando el n�mero de lados por la medida de cada lado.

1.	Calcular el �rea de cada tri�ngulo y multiplicarla por el n�mero de tri�ngulos en que se dividi� el pol�gono.

2.	Calcular el per�metro del pol�gono, multiplicar el resultado por la medida del apotema y dividirlo entre dos, es decir, el �rea de un pol�gono regular es igual a:

III.	Subrayen las respuestas correctas. Recuerden que la medida de la base del tri�ngulo es el lado del pol�gono regular y la altura del tri�ngulo es el apotema del pol�gono regular.

a) �Cu�les son las dos f�rmulas con las que se puede calcular el �rea de un oct�gono regular?

�rea = 8 � �rea de cada tri�ngulo�

�

b)	�Cu�les son las dos f�rmulas con las que se puede calcular el �rea de un pol�gono regular de 13 lados?

c)	�Cu�les son las dos f�rmulas con las que se puede calcular el �rea de un pol�gono regular de n lados?

�rea = n � �rea de cada tri�ngulo

IV.

Regresen al hex�gono regular que mide 4 cm de lado (del problema inicial). Utilicen la f�rmula

para calcular su �rea y comparen el resultado con el que obtuvieron.

>>>A lo que llegamos

Hay varias maneras para calcular el �rea de un pol�gono regular:

1.	Si no se acuerdan de la f�rmula del �rea, pueden dividirlo en tri�ngulos iguales y hacerlo sumando las �reas de estos tri�ngulos.

2.	Si saben la f�rmula: obtienen el per�metro, lo multiplican por la medida del apotema y el resultado lo dividen entre dos:

Si se llama P al per�metro y

al apotema puede escribirse:

P es el per�metro

Habr�s notado que hay distintas maneras para calcular el �rea de un pol�gono, esto ocasiona que pueda haber distintas f�rmulas; no obstante, �stas son equivalentes.