Secuencia�26Matem�ticas I

SESI�N 2

C�LCULO DE RA�CES CUADRADAS

>>>Para empezar

Los babilonios y la ra�z cuadrada

Existen varios m�todos para calcular la ra�z cuadrada de un n�mero. En esta sesi�n aprender�n un m�todo que fue inventado por los antiguos babilonios.

Para obtener la ra�z cuadrada de 32 con el m�todo babil�nico, se siguen los siguientes pasos:

Recuerden que: Para hacer sus c�lculos pueden usar aproximaciones.
Por ejemplo, al hacer la divisi�n 32 � 6 pueden usar el n�mero decimal
5.33 o 5.333.

1. Se escogen dos n�meros que multiplicados den 32 . Por ejemplo, 8 y 4.

2.	Se construye un rect�ngulo de �rea 32 cm² y lados 8 cm y 4 cm (rect�ngulo rojo). A partir de ahora se encuentran rect�ngulos cada vez m�s parecidos a un cuadrado de �rea 32 cm² . Vean c�mo se hace esto:

3. Se promedian las medidas de los lados del rect�ngulo:

Se construye otro rect�ngulo (m�s parecido a un cuadrado) que tenga un lado que mida 6 cm, �cu�nto debe medir el otro lado para que el �rea del rect�ngulo sea 32 cm² ? _______________ . Con estas medidas se construy� el rect�ngulo azul.
Observen que: El �rea de un rect�ngulo se obtiene multiplicando la medida de sus lados. Entonces, si conocen el �rea (32 cm² ) y la medida de uno de los lados (6 cm) la medida del otro lado (x cm) se puede obtener resolviendo la ecuaci�n: 6x = 32.

5. Se vuelven a promediar las medidas de los lados del rect�ngulo:

6.	Se construye otro nuevo rect�ngulo (rect�ngulo anaranjado) que tenga un lado que mida 5.665 cm y otro que mida 32 entre 5.665, es decir 5.648 cm.

Se puede seguir con esta construcci�n y acercarse cada vez m�s al valor exacto de la ra�z de 32. Por el momento, se detendr� aqu� el proceso para observar que el rect�ngulo anaranjado es casi un cuadrado. Sus lados miden: 5.665 cm y 5.648 cm.

Calculen (pueden usar una calculadora):

5.665² = _______________

5.648² = _______________

�Cu�l de los dos n�meros es una mejor aproximaci�n a ? _______________

Los lados del rect�ngulo azul midieron 6 cm y 5.33 cm. Calculen (pueden usar calculadora):

6² = _________________

5.33² =_______________

Comenten:

�Qu� rect�ngulo da mejores aproximaciones a , el azul o el anaranjado?_______________

>>>Consideremos lo siguiente

Con el m�todo babil�nico se puede calcular la ra�z cuadrada de cualquier n�mero. Siguiendo los pasos de este m�todo, calculen la ra�z cuadrada de 7.3.

Pueden usar su calculadora para hacer las operaciones que se indican y una regla para hacer los dibujos de los rect�ngulos.

1. Se escogen dos n�meros que multiplicados den 7.3.
H�ganlo con 1 y 7.3.

2.	Dibujen en sus cuadernos un rect�ngulo de lados 1 cm y 7.3 cm. Ahora van a encontrar rect�ngulos cada vez m�s parecidos a un cuadrado.

3.	Obtengan el promedio de 1 cm y 7.3 cm, �cu�nto es?_______________ Este es uno de los lados del nuevo rect�ngulo.

�Cu�nto mide el otro lado del rect�ngulo?_______________
Para encontrar esta medida pueden resolver la ecuaci�n: 4.15x =7.3.
Dibujen en sus cuadernos un rect�ngulo que tenga las medidas que acaban de encontrar.
Pueden seguir con el m�todo para encontrar rect�ngulos cada vez m�s parecidos a un cuadrado de �rea 7.3 cm².

5.	Obtengan el promedio de 4.15 cm y 1.759 cm, �cu�nto es? _______________Este es uno de los lados del otro rect�ngulo.

6.	Si saben que: 7.3 � 2.95 es aproximadamente 2.474, �cu�nto mide el otro lado del nuevo rect�ngulo?_______________ Dibujen en sus cuadernos un rect�ngulo que tenga las medidas que acaban de encontrar.

7. Encuentren el siguiente rect�ngulo y dib�jenlo en sus cuadernos.

Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del m�todo babil�nico. Comenten:
�Cu�nto es

? ___________________________________________

>>>Manos a la obra

I.	Calcula por pasos la ra�z cuadrada de 10 con el m�todo babil�nico.

1.	Se escogen dos n�meros cuya diferencia sea la menor posible y cuyo producto sea igual a 10, es decir, el 2 y el 5.

Observen que: Podr�an escoger el 1 y el 10, pero los lados del rect�ngulo ser�an muy distintos: medir�an 1 cm y 10 cm. En cambio, si escogen 2 y 5, el rect�ngulo que obtienen se parece m�s a un cuadrado.

2.	Se construye un rect�ngulo de �rea 10 cm² y lados 2 cm y 5 cm (rect�ngulo morado).

Se construye otro rect�ngulo de �rea 10 cm, pero m�s parecido a un cuadrado.

3.	Se obtiene el promedio entre 2 y 5, sumando 2 m�s 5 y dividiendo entre 2. El promedio es:_______________. Este es uno de los lados del nuevo rect�ngulo (rect�ngulo azul).

4.	Si sabes que 10 � 3.5 es aproximadamente 2.86, �cu�nto mide el otro lado del nuevo rect�ngulo?_______________

El m�todo se puede continuar para aproximar mejor , encontrando rect�ngulos de �rea 10 cm² cada vez m�s parecidos a un cuadrado.
Calcula:
2.86² =_______________
3.5² = _______________

�Qu� n�mero usar�as para una mejor aproximaci�n de ?_______________

Comparen sus aproximaciones. �Cu�l es la mejor?_______________

>>>Lo que aprendimos

1.	En tu cuaderno, calcula la ra�z cuadrada de 18. Obt�n 3 rect�ngulos de �rea 18 cm² siguiendo los pasos del m�todo babil�nico.

2.	Completa la siguiente tabla para calcular la ra�z cuadrada de n�meros enteros y decimales. Si el resultado es un n�mero decimal, utiliza s�lo dos cifras decimales para tus respuestas. Puedes usar una calculadora.

a)	�Cu�l es el �rea de un cuadrado cuyo lado tiene 0.1 cm de longitud?_____________________________________________

b)	�Cu�l es la longitud del lado de una figura de 0.25 cm² de �rea?_____________________________________________