Secuencia�27Matem�ticas I

Relaci�n funcional

En esta secuencia analizar�s en situaciones problem�ticas la presencia de cantidades relacionadas y representar�s esta relaci�n mediante una tabla y una expresi�n algebraica.

SESI�N 1

LA EXPANSI�N DEL UNIVERSO

>>>Para empezar

La expansi�n del Universo.

Hasta principios del siglo XX los astr�nomos pensaron que el Universo hab�a sido siempre del mismo tama�o. Sin embargo, en 1929, el astr�nomo Edwin Hubble observ� que las galaxias se est�n alejando unas de otras. Este descubrimiento confirm� una teor�a de extraordinaria importancia para la ciencia: la teor�a de la Expansi�n del Universo.
A la velocidad con la que una galaxia se aleja de la Tierra se le llama velocidad de alejamiento y, de acuerdo con el descubrimiento de Hubble, las galaxias que est�n m�s lejos de la Tierra son tambi�n las que se alejan a mayor velocidad.

El megaparsec es una unidad que se usa para medir distancias astron�micas.
1 megaparsec es igual a 3.082 x 10¹⁸ km que equivale a 3.26 millones de a�os luz

>>>Consideremos lo siguiente

Una galaxia que est� a 1 megaparsec de distancia
se aleja de la Tierra a una velocidad de 50 km/s;
otra galaxia que est� a 2 megaparsecs se aleja de
la Tierra a una velocidad de 100 km/s, y
as� sucesivamente.

A partir de esta informaci�n, contesten las siguientes preguntas:

a)	�A qu� velocidad se aleja una galaxia que est� a 3 megaparsecs de distancia?___________________________________

b)	�A qu� velocidad se aleja una galaxia que est� a 6 megaparsecs de distancia?___________________________________

c)	Representen con la letra d la distancia en megaparsecs a la que se encuentra una galaxia, y v la la velocidad de alejamiento, �qu� expresi�n algebraica usar�an para encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia?__________________________

>>>Manos a la obra

I.	Completen la siguiente tabla para encontrar la velocidad con la que se alejan algunas galaxias a partir de las distancias a las que se encuentran.

a)	Para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por un n�mero, �cu�l es ese n�mero? _____________

b)	Completen la siguiente expresi�n algebraica para encontrar la velocidad de alejamiento v a partir de la distancia d:

� d

Comparen sus expresiones algebraicas y comenten:

La velocidad de alejamiento es directamente proporcional a la distancia a la que est� la galaxia, �cu�l es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia?

II.	Usen la expresi�n algebraica que encontraron para hacer los siguientes c�lculos:

a) Si la distancia es igual a 50 megaparsecs, �cu�l es la velocidad de alejamiento v(en km/s)?_____________
b) Si d = 600 megaparsecs, �cu�l es la v (en km/s)?_____________
c) Si d= 100 megaparsecs, �cu�l es la v (en km/s)?_____________

>>>A lo que llegamos

En la expresi�n algebraica v = 50d, conocida como Ley de Hubble, la velocidad de alejamiento depende o est� en funci�n de la distancia. Seg�n dicha f�rmula, para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por 50. Se dice entonces que entre la velocidad y la distancia hay una relaci�n funcional. En este caso, la relaci�n funcional es una relaci�n de proporcionalidad.

Recuerden que:
Por convenci�n,
��v=50�d
se escribe
��v=50d

III.	Contesten las siguientes preguntas:

a)	Si la galaxia Centauro se encuentra a 1.31 megaparsecs y la galaxia Andr�meda a 0.7 megaparsecs, �cu�l de las dos se aleja m�s r�pidamente de la Tierra? __________________________________________________

b) Si una galaxia se aleja a 5 km/s, �a qu� distancia estar�?__________
c) �A qu� distancia estar� una galaxia que se aleja a 1 km/s?_________

d)	�Cu�l de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar la distancia (d) a partir de la velocidad de alejamiento (v)? Subr�yenla.

d= 50v

d= 50 � v

d � 50 = v

d = v � 50

Comparen sus respuestas. Usen la expresi�n algebraica para verificarlas.

>>>A lo que llegamos

En las relaciones funcionales hay cantidades que var�an y otras que no var�an . En la relaci�n funcional dada por la Ley de Hubble:

La distancia d a la que se encuentra cada galaxia var�a.
La velocidad v con la que se aleja una galaxia var�a , dependiendo de la distancia.
El n�mero 50 por el que se multiplica la distancia para encontrar la velocidad no var�a .

A las cantidades que var�an se les llama variables , y a las que no var�an se les llama constantes . En este caso:

50 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable v a partir de la variable d .
es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable d a partir de la variable v .

>>>Lo que aprendimos

1. Un atleta corre la tercera parte de un kil�metro por minuto.

a)	Completen la siguiente tabla para calcular la distancia que recorre el atleta en diferentes momentos de una carrera.

Tiempo (en minutos)	Distancia recorrida (en kil�metros)
1

3

5
	2
10
11
60

b)	Si d es la distancia que recorre el atleta y t el tiempo transcurrido, escriban una expresi�n algebraica para calcular la distancia que recorre el atleta al variar el tiempo. _______________________________

c) Utilicen la expresi�n algebraica para responder las siguientes preguntas:

Si t = 10 minutos, �cu�nto es d en kil�metros? _____________
Si t = 12 minutos, �cu�nto es d en kil�metros?_____________
Si t = 22 minutos, �cu�nto es d en kil�metros?_____________

En esta relaci�n funcional:

d) �Cu�les son las variables ?_____________ y _______________

e)	�Cu�l es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia a partir del tiempo?_____________________________