Secuencia�31Matem�ticas I

Relaciones de proporcionalidad

En esta secuencia aprender�s a formular la expresi�n algebraica que corresponde a la relaci�n entre dos cantidades que son directamente proporcionales. Tambi�n aprender�s a asociar los signifi cados de las variables en la expresi�n y = kx, con las cantidades que intervienen en dicha relaci�n.

SESI�N 1

CAMBIO DE MONEDA

>>>Para empezar

Historia de la moneda

Los or�genes de la moneda como forma de pago se remontan al siglo VII antes de Cristo, en la antigua Grecia. La moneda surge como una necesidad de superar las formas de intercambio como el trueque. Para ello, hab�a que darle cierto valor a algo tan peque�o como un simple trozo de metal. La soluci�n fue fabricar la moneda con metales preciosos como el oro y la plata.

Las monedas registran acontecimientos que ocurrieron hace miles de a�os y hechos que s�lo se conocen a trav�s de ellas.

Existen algunos emperadores romanos de los que se conoci� su existencia por aparecer en las monedas que ellos mismos mandaron acu�ar.

En la secuencia 21 de su libro de Matem�ticas I resolvieron problemas de conversiones o de “tipo de cambio” del d�lar respecto del peso: un d�lar equivale a $11.70. ¹ El tipo de cambio entre la moneda de un pa�s y la de otro es la cantidad de dinero que se recibe por la unidad en el otro tipo de moneda. En la actualidad hay negocios que se dedican a cambiar monedas de un pa�s por monedas de otro. Estos negocios se llaman casas de cambio.

En esta sesi�n aprender�s a realizar conversiones entre la moneda de M�xico y las monedas de distintos pa�ses.

>>>Consideremos lo siguiente

La tabla 1 muestra algunas conversiones que se hicieron en una casa de cambio con monedas de distintos pa�ses respecto del peso mexicano.

Pa�s	Nombre de la moneda	Cantidad en la moneda correspondiente	Cantidad recibida en pesos mexicanos
Estados Unidos de Am�rica	D�lar estadounidense	10	117
Espa�a	Peseta espa�ola	100	7.48
Inglaterra	Libra esterlina	200	3 666
Jap�n	Yen japon�s	200	17.8
Guatemala	Quetzal guatemalteco	150	210

Tabla 1

Vicente fue de viaje a los Estados Unidos de Am�rica y a Guatemala. A su regreso, cambi� las monedas que le sobraron: 13 d�lares estadounidenses y 8 quetzales guatemaltecos.

Contesten las siguientes preguntas:

a) �Qu� cantidad en pesos recibi� Vicente por los 8 quetzales guatemaltecos? ________________
b) �Qu� cantidad en pesos recibi� Vicente por los 13 d�lares estadounidenses?______________

>>>Manos a la obra

I.	Completen la siguiente tabla para encontrar la cantidad en pesos que equivale a 8 quetzales guatemaltecos.

Tabla 2

Los quetzales guatemaltecos y los pesos son cantidades directamente proporcionales, �cu�l es la constante de proporcionalidad que permite multiplicar cualquier cantidad de quetzales guatemaltecos y encontrar su equivalente en pesos?____________________________________________________

II.	Un equipo de otra escuela hizo la siguiente observaci�n: Si llamamos x a la cantidad de quetzales guatemaltecos que se van a cambiar y llamamos y a la cantidad de pesos que se obtienen por el cambio, la siguiente expresi�n algebraica permite obtener la cantidad y de pesos:

y = 1.4 x

Comenten:

a) �Est�n de acuerdo con la expresi�n algebraica que encontraron en el otro grupo?

b)	Con esta expresi�n encuentren cu�ntos pesos obtienen si cambian 8 quetzales. �Obtuvieron el mismo resultado que al llenar la tabla?

III.	Llamen x a la cantidad de d�lares que se van a cambiar y llamen y a la cantidad de pesos que se obtiene por el cambio. �Cu�les de las siguientes expresiones algebraicas permiten obtener y a partir de x ?

y =x
11.70x = y
11.70 y = x
x = y
y= 11.70 x
x = 11.70 y

Comparen las expresiones que escogieron.

IV.	Completen la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las distintas situaciones de proporcionalidad de la tabla 1.

Tabla 3

>>>A lo que llegamos

A las situaciones de proporcionalidad les corresponden expresiones algebraicas que permiten encontrar las cantidades multiplicando por la constante de proporcionalidad.
Por ejemplo, si la cantidad de d�lares estadounidenses que se van a cambiar se representa como x, y la cantidad de pesos que se obtienen se representa como y, entonces la expresi�n algebraica:

y = 11.70 x

permite saber la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar cierta cantidad de d�lares (x). La constante en este caso es: 11.70 pesos por cada d�lar.
Esta expresi�n es llamada la expresi�n algebraica que corresponde a la situaci�n de proporcionalidad.

>>>Lo que aprendimos

1.	Completa la siguiente tabla para encontrar las cantidades de pesos que se obtienen al cambiar distintas cantidades de d�lares canadienses.

a)	�Cu�l es la constante de proporcionalidad que permite calcular la cantidad de pesos obtenidos al cambiar d�lares canadienses? ____________________________________________________

b)	�Cu�l es la expresi�n algebraica para calcular la cantidad de pesos obtenidos al cambiar d�lares canadienses? ____________________

¹ Tipo de cambio vigente al 24 de noviembre de 2005.