III. EL MAGNETISMO Y EL �TOMO: DESCRIPCI�N MICROSC�PICA
ESTRUCTURA AT�MICA DE LA MATERIA
EL CAP�TULO anterior muestra los avances en la descripci�n de
la teor�a electromagn�tica que fueron y son de gran utilidad, pero no resuelven
el misterio del origen microsc�pico de los fen�menos electromagn�ticos, los
cuales son, se podr�a decir, la �ltima causa de los efectos que vemos. Expondremos
aqu� una teor�a de las propiedades el�ctricas y magn�ticas de la materia fundamentada
en la f�sica at�mica moderna y la mec�nica cu�ntica.
Hubo un famoso intento de reformular la teor�a electromagn�tica como una teor�a microsc�pica partiendo de nuestro conocimiento de la existencia del electr�n debida a Lorentz, llamada teor�a del electr�n. Como mencionamos al principio del libro, el modelo de Lorentz se top� con la necesidad de una teor�a m�s completa. El electr�n no es una part�cula cl�sica y por tanto obedece las leyes de la f�sica cu�ntica.
Actualmente sabemos que la materia est� formada por �tomos. Estos tienen su estructura propia, pero para nuestros prop�sitos bastar� con que los consideremos como n�cleos cargados positivamente, alrededor de los cuales giran electrones cargados negativamente, de tal manera que los �tomos como un todo son neutros en su estado natural. Los electrones al girar en sus �rbitas producen un campo magn�tico semejante al de un im�n, como sabemos por la teor�a electromagn�tica. As�, desde el punto de vista de sus propiedades magn�ticas, los materiales est�n formados por peque�os imanes que, si el material no manifiesta magnetizaci�n, necesariamente est�n orientados al azar. Cuando se somete un material a la acci�n de un campo magn�tico, pueden darse dos mecanismos.
En el primero los imanes simplemente se alinean en la direcci�n del campo aplicado, como las br�julas en la Tierra. Este efecto se llama paramagnetismo y este alineamiento produce una resultante en la misma direcci�n del campo, dando como resultado que el material se comporte como un im�n que es atra�do en el sentido de ese campo. En el segundo mecanismo, llamado diamagnetismo, el material tambi�n se comporta como un im�n, pero que se opone al campo que lo produce, siendo repelido por �ste. Aqu� el campo externo obliga a los imanes at�micos a procesar en la direcci�n del campo, generando un momento magn�tico. Tambi�n podemos ahora entender el efecto de la temperatura en los fen�menos magn�ticos, ya que los �tomos est�n tambi�n sujetos a movimientos t�rmicos que se oponen a que se alineen en una cierta direcci�n.
Entender el ferromagnetismo es m�s dif�cil. Estos materiales presentan porciones que tienen magnetizaci�n completa y permanente y se llaman dominios ferromagn�ticos. Fue Pierre Weiss en 1907 quien se dio cuenta de que los materiales ferromagn�ticos est�n formados por estos dominios, los cuales pueden inclusive orientarse de tal manera que el material no exhiba propiedades magn�ticas (Figura 19).
Con un campo magn�tico externo los dominios se pueden reorientar o crecer hasta
formar un im�n. Como ya lo hemos mencionado, este proceso de magnetizaci�n es
irreversible. Para explicar la existencia de los dominios tambi�n se puede pensar
en t�rminos de peque�os imanes, pero que est�n formados por los propios electrones,
los cuales poseen un movimiento magn�tico intr�nseco llamado esp�n. La acci�n
conjunta de los espines dentro de un dominio obedece a la fuerza de intercambio
que es de naturaleza cu�ntica y no tiene an�logo en la f�sica cl�sica.
Figura 19. Los dominios magn�ticos pueden formar diferentes patrones, para minimizar
la energ�a. Se pueden observar experimentalmente por ejemplo con un microscopio
electr�nico. Los dominios magn�ticos se pueden mover por medio de campos externos.
El hecho de que el electr�n se comporte como un peque�o im�n nos lleva a suponer que todas las part�culas elementales cargadas podr�an tener momento magn�tico. De hecho as� es y la teor�a de las part�culas elementales incluye el estudio de sus momentos magn�ticos. Pero cuidado, la teor�a electromagn�tica es una teor�a macrosc�pica, basada en experimentos en la escala de nuestras proporciones y el reino de las part�culas elementales puede deparar muchas sorpresas.
Como mencionamos en el cap�tulo 1, las propiedades t�rmicas de las sustancias magn�ticas fueron estudiadas por Pierre Curie, quien estableci� que la susceptibilidad magn�tica de las sustancias paramagn�ticas depende del inverso de la temperatura. En todos los ferromagnetos encontr� un descenso de la magnetizaci�n hasta que la temperatura llegaba a un valor cr�tico, llamada temperatura de Curie (Tc), donde la magnetizaci�n se hace igual a cero (Figura 20); arriba de la temperatura de Curie, los ferromagnetos se comportan como sustancias paramagn�ticas. Tambi�n existen otros ordenamientos magn�ticos (antiferrimagn�tico y ferrimagn�tico) cuyos modelos microsc�picos ser�n discutidos en el siguiente cap�tulo.
El diamagnetismo lo explic� Paul Langevin una d�cada despu�s de los experimentos de Curie. El fen�meno se puede explicar usando las leyes de Maxwell. Cuando se enciende un campo magn�tico, aparece un campo el�ctrico. �ste acelera a un electr�n, produci�ndose as� una corriente, la cual crea una magnetizaci�n contraria al campo aplicado, seg�n la ley de Lenz.
Esta explicaci�n implica suponer que la ley de Lenz se cumple a escala at�mica.
Ya Coulomb sab�a que las leyes ordinarias de electrost�tica y magnetoest�tica
no pod�an ser v�lidas en la escala at�mica. Con esa misma filosof�a, Pierre
Weiss supuso que las interacciones entre las mol�culas magn�ticas se podr�an
descubrir emp�ricamente, por lo que introdujo el campo molecular sin intentar
describir las leyes microsc�picas. Este campo molecular actuar�a sobre cada
mol�cula como un campo externo y ser�a proporcional a la magnetizaci�n y al
tipo de material. Su modelo llev� a la ley Curie-Weiss, que obedecen practicamente
todos los ferromagnetos. Esta coincidencia tan perfecta hizo dif�cil hacerle
mejoras.
Figura 20. El campo molecular de Weiss. Un esp�n escogido (en c�rculo) en un material magn�tico experimenta un campo debido a los otros espines. La magnetizaci�n se hace cero en temperatura de Curie Tc .
Exist�a en esa �poca un enigma experimental: �por qu� no es el hierro espont�neamente ferromagn�tico? Weiss propuso que su campo molecular ten�a diferentes direcciones en algunos pedazos del s�lido. Esto fue probado por Barkhausen en 1919, quien por medio de amplificadores electr�nicos oy� los "clics" cuando un campo externo obliga a los dominios de Weiss a alinearse. Este es un comportamiento irreversible que explica el fen�meno de hist�resis. Medidas de la raz�n giromagn�tica en ferromagnetos probaron adem�s que �ste no es magnetismo at�mico o molecular, sino que s�lo el esp�n electr�nico participa de �l.
As� pues, a pesar de la belleza de los argumentos de Lorentz y Langevin para aplicar la teor�a electromagn�tica a nivel microsc�pico, result� inevitable reconocer que a escala at�mica hab�a algo nuevo y diferente y que hac�a falta una nueva teor�a para enfrentarse a este mundo. De hecho, con el teorema de Bohr-Van Leeuwen qued� claro que la mec�nica estad�stica cl�sica de las part�culas cargadas no es capaz de explicar el comportamiento de ninguna de las sustancias magn�ticas descritas aqu�.
De 1913 a 1925 se desarroll� la "vieja mec�nica cu�ntica". Bohr cuantiz� el �tomo de Rutherford y se empez� a entender bien la estructura de la materia. En 1921, Compton propuso que el electr�n posee un esp�n intr�nseco (gira sobre s� mismo) y momento magn�tico, adem�s de su momento angular orbital y su magnetizaci�n.
Esto fue probado en 1925 por S. Goudsmit y G. E. Uhlenbeck, quienes demostraron
que el esp�n del electr�n es 
/
2 (con
= 
, h la
constante de Planck) y al momento magn�tico le asignaran el doble del esperado
para una part�cula cargada girando. En 1896 Zeeman mostr� que las l�neas espectrales
se pod�an descomponer en conjuntos, llamados multipletes, si los �tomos emisores
se sujetan a campos magn�ticos intensos. La teor�a del electr�n de Lorentz dio
una explicaci�n razonable de este efecto. Sin embargo, el efecto Zeeman an�malo
ya no pudo ser explicado de la misma manera. En �l se observ� que las l�neas
D del sodio, en presencia de un campo magn�tico fuerte, se part�an en
cuartetos y multipletes mayores. Land�, al estudiar el efecto Zeeman an�malo,
introdujo el famoso factor g y Goudsmit y Uhlenbeck le asignaron un factor
de g = 2 al esp�n del electr�n para que concordaran los resultados. Este factor
de dos s�lo se entendi� bien algunos a�os m�s tarde cuando Dirac uni� la teor�a
de la relatividad con la mec�nica cu�ntica.
La mec�nica cu�ntica se desarroll� muy r�pidamente. En 1923 De Broglie introdujo la mec�nica ondulatoria: el electr�n no es simplemente una part�cula, sino que tambi�n tiene caracter�sticas de onda. En 1926 aparece la ecuaci�n de onda debida principalmente a E. Schröedinger y equivalente a la ecuaci�n de movimiento de la mec�nica cl�sica de Newton. Mientras tanto, W. Heisenberg y H. A. Kramers probaron que se podr�a escribir esta mec�nica en forma matricial y Max Born y Norbert Wiener colaboraron en demostrar que a cada cantidad f�sica le corresponde un operador. La conexi�n entre teor�a cu�ntica y mec�nica estad�stica surge desde la cuantizaci�n de la radiaci�n hecha por Planck en 1900.
La mec�nica cu�ntica incluye el llamado principio de incertidumbre de Heisenberg que limita nuestro poder de informaci�n. Cuando estamos en el mundo microsc�pico, donde la constante de Planck se vuelve importante, no podemos conocer exactamente la posici�n y la velocidad de una part�cula en forma simult�nea. Precisar una implica perder precisi�n en la otra. En 1927 Pauli invent� las matrices de esp�n y su principio de exclusi�n, el cual volveremos a mencionar en un momento.
Simult�neamente al desarrollo de la mec�nica cu�ntica, Hartree, Fock, Heiter, London, Slater y muchos otros hac�an c�lculos at�micos y moleculares como una de las aplicaciones de la nueva ciencia. Para 1930, fecha del famoso y ya mencionado congreso de Solvay sobre magnetismo, ya se hab�an sentado las bases de la teor�a moderna de la materia y sus propiedades.
En 1921 Arthur Compton, un joven f�sico estadounidense quien trabajaba con Rutherford en Cambridge, tuvo la idea de que el electr�n deber�a poseer un momento angular intr�nseco o esp�n y por lo tanto actuar como un im�n.
Este esp�n no se debe confundir con el momento magn�tico que se produce al orbitar un electr�n alrededor de un n�cleo, el cual, adem�s, era conocido. Compton ten�a una base para proponer el esp�n, pues diversos experimentos no pod�an ser explicados de manera satisfactoria. Uno de ellos, el llamado experimento de Einstein-de Hass (1915) mostr� que el factor de Land� o raz�n giromagn�tica val�a 2 en vez de 1 como la teor�a predec�a. Esta raz�n giromagn�tica mide la raz�n entre el momento magn�tico y la componente del momento angular en una direcci�n. Para medirlo, se suspende una barra magn�tica de una fibra de cuarzo y se magnetiza pasando corriente por un alambre enredado en ella. De esta forma la barra adquiere un momento magn�tico y un momento angular que se determina por medio de la rotaci�n angular de la fibra de cuarzo. La magnetizaci�n se debe por entero al movimiento de los electrones, pues la raz�n es negativa.
Adem�s de este experimento, exist�an otros, tales como el efecto Zeeman an�malo,
que estaban en desacuerdo con la teor�a en boga. En 1925, Wolfgang Pauli investig�
el problema de por qu� las l�neas del espectro de los metales alcalinos no eran
singuletes como lo predec�a la teor�a de Bohr sino un doblete, o sea, hab�a
dos l�neas en vez de una. Esto pod�a ser explicado si se supon�a que el electr�n
pod�a existir en dos estados. Sin embargo, el experimento crucial que mostr�
la existencia del esp�n fue realizado por Otto Stern y Walter Gerlach en 1921.
En su cl�sico experimento, un haz de �tomos monovalentes, como el hidr�geno,
el litio o la plata, viajaban a lo largo de un eje atravesando un campo magn�tico
perpendicular a dicho eje. Hab�a gradientes muy grandes, ya que el campo era
inhomog�neo. En sus experimentos, Stern y Gerlach estudiaron la divisi�n del
haz de �tomos en el estado base y en estados excitados. Se esperaba que en el
estado base no hubiera divisi�n, pero se encontr� que el haz se divid�a en dos
componentes. El an�lisis mostr� que este efecto pod�a ser consecuencia del electr�n
en la parte m�s externa del �tomo. La proyecci�n del momento magn�tico del estado
base pod�a tomar, pues, dos valores. Esto condujo a G. Uhlenbeck y S. Goudsmit
a introducir la hip�tesis que un electr�n posee un momento angular intr�nseco
en adici�n a su momento angular orbital. Uhlenbeck y Goudsmit, quienes por cierto
no recibieron el premio Nobel, mostraron que los multipletes espectrales
pod�an ser explicados con esta hip�tesis, introduciendo el esp�n s que
pod�a tomar dos valores, + 
� — ,
de tal forma que el momento angular intr�nseco del electr�n era + 
� —
. Adem�s, se pod�a explicar el valor de dos para el factor de Land� en el experimento
de Einstein-de Hass.
El concepto de esp�n electr�nico apareci� al principio como una hip�tesis extra que deb�a ser agregada al resto de la teor�a cu�ntica. Se pensaba que el esp�n pod�a ser tratado en forma an�loga a un trompo girando sobre su eje. Debe enfatizarse, sin embargo, que no existe una teor�a cl�sica rigurosa del esp�n.
La culminaci�n de estos estudios fue la formulaci�n por Dirac de su famosa ecuaci�n din�mica, la cual incluye el esp�n electr�nico y la relatividad especial. En su teor�a, las propiedades del esp�n se obtienen en forma natural de la misma y no se necesitan hip�tesis adicionales.
No se puede subestimar la influencia del esp�n en la f�sica moderna. Puede afirmarse que �ste es uno de los conceptos centrales de esta ciencia, y tanto en la f�sica cu�ntica como en los fen�menos cooperativos ha jugado un papel fundamental para entender una gran diversidad de fen�menos.
Retomemos el problema del ferromagnetismo, pero esta vez como un fen�meno colectivo. �Qu� entendemos por un fen�meno colectivo? Supongamos que caminamos en una calle bastante transitada y que a dos cuadras adelante de nosotros ocurre un accidente. De inmediato esa informaci�n se transmite por medio de la gente en forma de un movimiento colectivo y por tanto nos enteramos de qu� pas� bastante antes de verlo. Es claro que un fen�meno as� involucra a muchas personas. Esto es lo que en f�sica se llama un fen�meno de muchos cuerpos. Cabe adelantar que el estudio del magnetismo como un fen�meno cooperativo desempe�� un papel decisivo en la mec�nica estad�stica cu�ntica y en la termodin�mica de las transiciones de fase. Hoy, con la teor�a del grupo de renormalizaci�n, el estudio de las transiciones de fase es uno de los campos m�s importantes en el estudio de la materia.
El problema para poder explicar el ferromagnetismo consiste en lo siguiente: ya sea que los peque�os imanes que forman la materia sean electrones en sus �rbitas o espines de electrones, las fuerzas magn�ticas entre ellos no son lo suficientemente intensas para producir un ferromagneto. La interacci�n magn�tica se puede despreciar compar�ndola a la fuerza electrost�tica entre electrones. Con una simultaneidad que se ha repetido muchas veces en la historia de la ciencia, Dirac y Heisenberg descubrieron la fuerza de intercambio. Este efecto es bastante misterioso, ya que es totalmente cu�ntico y no tiene an�logo cl�sico; �el ferromagnetismo no existir�a si la constante de Planck h fuera cero!
Cuando Pauli introdujo su notaci�n matricial para el esp�n, qued� claro que
el esp�n es una cantidad vectorial. Esto implica que podemos imagin�rnoslo como
una flechita. �Qu� puede suceder si tenemos dos electrones cada uno con su flecha
de esp�n asociados y alineados ambos en alguna direcci�n? Pues que los espines
pod�an quedar paralelos o antiparalelos, lo que se ve claramente en la figura
21.
Figura 21. Las flechas representan espines paralelos y antiparalelos.
Cada electr�n dentro de un �tomo est� caracterizado por un conjunto de n�meros cu�nticos que nos dicen sus propiedades f�sicas. El principio de exclusi�n de Pauli establece que no puede haber dos electrones en un �tomo con el mismo conjunto de n�meros cu�nticos. Esto implica que en una misma �rbita s�lo puede haber dos electrones, ya que la �rbita da una serie de caracter�sticas comunes y s�lo queda la posibilidad de que los espines sean antiparalelos. Este principio de exclusi�n lo cumplen todas las part�culas que tienen esp�n fraccionario, como es el caso del electr�n.
Tenemos entonces que, por un lado, los electrones sufren una repulsi�n electrost�tica (ley de Coulomb) y, por otro, que tienen que cumplir el principio de exclusi�n. Por dicho principio los espines paralelos tienden a separarse y eso reduce su repulsi�n. Se llama "intercambio" a la diferencia de energ�a entre la configuraci�n de espines paralelos y la configuraci�n de espines antiparalelos. Esta energ�a de intercambio favorece al ferromagnetismo solamente si el aumento de energ�a cin�tica causado por la separaci�n es mayor que el descenso en la energ�a potencial electrost�tica. Los detalles de esta interacci�n son complicados, pero lo importante es apreciar que las fuerzas involucradas son el�ctricas y que son mucho m�s intensas que las magn�ticas, entendi�ndose as� el llamado magnetismo fuerte.
Con este modelo, cuando la temperatura est� abajo de la temperatura cr�tica, se producen las llamadas "ondas de esp�n" (Figura 22). Se forma una onda magn�tica en el material, en la cual participan todos los espines o peque�os imanes. Como se observa es claramente un efecto cooperativo. Arriba de la temperatura cr�tica las vibraciones t�rmicas son demasiado importantes y desaparecen las ondas de esp�n. Adem�s las ondas de esp�n est�n cuantizadas y esos cuantos se llaman magnones. Pero aqu� vamos a dejar ya la historia microsc�pica del magnetismo.
A pesar de que se ha investigado mucho sobre el intercambio no se ha logrado
enunciar un postulado universal de primeros principios, como lo son las leyes
de Maxwell o las de Newton en la mec�nica cl�sica, De hecho, se tienen s�lo
descripciones semicuantitativas que aunque exitosas en algunos aspectos, pueden
todav�a ser mejoradas.
Figura 22. (a) Estado base de un ferromagneto simple: todos los espines paralelos.
(b) una excitaci�n posible: un esp�n se invierte. (c) Se forma una onda de esp�n:
el extremo del esp�n precesa formando conos. (d) Una onda de esp�n vista en
perspectiva. (e) Espines vistos desde arriba. La onda se dibuja por la punta
de los espines.
